一类卷积型Volterra积分方程解的存在性和吸引性

一类卷积型Volterra积分方程解的存在性和吸引性
张艳艳;简伟刚
【摘要】根据非紧性测度和吸引性的定义,利用经典的Shauder不动点原理,对如下一类带有卷积型的Volterra积分方程:u(t)=p(t)+g(t,u(t))∫t0 a(t-
s)f(t,s,u(s))ds,t∈R+(1)进行了研究,其中a∈L1loc(R+)是标量核,函数p,g和f满足定理2.1中的某些条件,得出了方程式(1)存在具有一致局部吸引性的解.
【期刊名称】《江西科学》
【年(卷),期】2017(035)006
【总页数】4页(P848-851)
【关键词】Volterra积分方程;非紧性测度;Shauder不动点原理;一致局部吸引性【作者】张艳艳;简伟刚
【作者单位】江西师范大学数学与信息科学学院,330022,南昌;豫章师范学院自然科学系,330103,南昌
【正文语种】中文
u(t)=p(t)+g(t,u(t))a(t-s)f(t,s,u(s))ds,t∈R+
进行了研究，其中是标量核，函数p,g和f满足定理2.1中的某些条件，得出了方程式(1)存在具有一致局部吸引性的解。

早在1985年，Deimling在文献[1]中研究了二次积分方程形如:
x(t)=f(t,x(t))u(t,s,x(s))ds,t∈[0,1]
的解的存在性和渐近稳定性。

2003年，Banas在文献[2]中将方程(2)中的t∈[0.1]
的推广到了t≥0。

x(t)=f(t,x(t))u(t,s,x(s))ds,t≥0
并研究了其解的存在性和渐近稳定性。

同年，Banas
和Rzepka在文献[3]中给出了一致局部吸引性和渐近稳定性的概念一致。

在2008年，Banas和O′Regan在文献[4]中研究了包含式(3)在内的二次Volterra积分方程:
x(t)=p(t)+ds,t≥0
的解的存在性和吸引性。

在式(4)的基础上，本文将主要研究a(t)=·且0<α<1的情况。

为了更好的证明本文的结果，需做一些记号以及引入一些定义。

本文中，用R表示实数集，R+表示[0,∞)。

记BC(R+)为R+上所有有界连续函数
所构成的空间，其上的范数为
‖u‖=sup{|u(t)|:t≥0},u∈BC(R+)。

设(E,‖·‖)是一个Banach空间，集合X⊂E，记和ConvX分别表示为X的闭包和凸闭包。

用B(u,r)表示以u为中心，r为半径的闭球，为方便起见，简记Br为B(θ,r)，其中θ为E中的零元。

ME表示由E中的所有非空有界子集组成的集族，RE表示
由ME中所有相对紧的集合构成的集族。

定义1：称映射μ:ME→R+为E上的非紧性测度，是指它满足以下6个条件：
1)ker μ={X∈ME:μ(X)=0}是非空的，且ker μ⊂RE；
2)若X⊂Y,则μ(X)≤μ(Y)；
4)μ(ConvX)=μ(X)；
5)对任意的λ∈[0.1]，μ(λX+(1-λ)Y)≤λμ(X)+(1-λ)μ(Y)；
6)设{Xn}为ME中的一个闭集序列，若且Xn+1⊂Xn，n=1,2,3,…，则Ø。

下面介绍一下文献[5]中给出的非紧性测度的定义。

首先，取定非空有界集X⊂BC(R+)和正数T，对于任意的u∈X和ε>0，用
ωT(u,ε)表示函数u在区间[0,T]上的连续模，即
ωT(u,ε)=sup{|u(t)-u(s)|:t,s∈[0,T],|t-s|≤ε}
其次，令
ωT(X,ε)=sup{ωT(u,ε):u∈X}，
设t∈R+是固定的常数，记
X(t)=sup{u(t):u∈X}，
diamX(t)=sup{|u(t)-v(t):u,v∈X|}。

最后，定义在族ME上的映射μ通过以下公式给出
由文献[5]，μ是空间BC(R+)上的非紧性测度。

接下来再介绍一下吸引性的概念[2-4,6-7]。

设K是BC(R+)空间上的非空子集，Q是从K到BC(R+)上的一个算子，考虑下列的算子方程：
u(t)=(Qu)(t),t∈R+
定义2：若对方程(6)中的每个解u=u(t)，v=v(t)，都有
成立，则称方程(6)的解是全局吸引的。

定义3：若存在一闭球B(u0,r)⊂BC(R+)，使得对方程(6)的任意解u(t)和v(t)，且u(t)，v(t)∈B(u0,r)∩K，都有式(7)成立，则称方程(6)的解是局部吸引的。

当式(7)的极限关于集合B(u0,r)∩K是一致的，即对任意的ε>0，存在T>0，使得当t>T时，对方程(6)的任意解u(t),v(t)∈B(u0,r)∩K，都有
|u(t)-v(t)|≤ε,
则称方程(6)的解是一致局部吸引的。

为了进一步研究方程(1)，作如下假设。

(H1) 函数p:R+→R是有界连续的。

(H2) 函数a:R+→R是连续的。

(H3) 函数g:R+×R→R是连续的，且存在连续函数m:R+→R+，使得对任意的
t∈R+和u,v∈R，有
|g(t,u)-g(t,v)|≤m(t)|u-v|
(H4) 函数f(t,s,u)=f:R+×R+×R→R是连续的，且存在函数n:R+×R+→R+是连续的和非减连续函数Ω:R+→R+且Ω(0)=0，使得对任意的t,s∈R+和u,v∈R,有
|f(t,s,u)-f(t,s,v)|≤n(t,s)Ω(|u-v|)
(H5) 函数h,b,c,d:R+→R+通过以下公式定义
h(t)=m(t)|a(t-s)|n(t,s)ds，
b(t)=m(t)|a(t-s)||f(t,s,0)|ds，
c(t)=|g(t,0)||a(t-s)|n(t,s)ds，
d(t)=|g(t,0)||a(t-s)||f(t,s,0)|ds。

函数h,b,c,d分别在R+上连续，且为了下文叙述方便，作以下记号：
H=sup{h(t):t∈R+}，B=sup{b(t):t∈R+}，
C=sup{c(t):t∈R+}，D=sup{d(t):t∈R+}。

(H6) 存在r0>0使得以下不等式成立：
‖p‖+HrΩ(r)+Br+CΩ(r)+D≤r。

且HΩ(r0)+B<1也成立，为方便起见，记k=HΩ(r0)+B。

定理1：假设(H1)～(H6)成立，则积分方程(1)在BC(R+)上存在解，且它的解是一致局部吸引的。

证明：在BC(R+)空间上对算子F做如下定义：
(Fu)(t)=p(t)+g(t,u(t))a(t-s)f(t,s,u(s))ds,t∈R+。

由假设知，对任意的u∈BC(R+)，函数p和函数g(·,u(·))在R+上连续。

首先，说明算子F:Br0→Br0。

对于任意的u∈BC(R+),存在T>0和ε>0，设t1,t2∈[0,T]且|t1-t2|<ε，不妨设t1<t2，由假设(H2)和(H4)可得：
|a(t2-s)f(t2,s,u(s))ds-a(t1-s)
f(t1,s,u(s))ds|≤|a(t2-s)||f(t2,s,u(s))-f(t1,s,u(s))|ds+|a(t2-s)-a(t1-s)|
|f(t1,s,u(s))|ds+|a(t2-s)||f(t2,s,u(s))ds|≤(f,ε,‖u‖)|a(s)|ds+|a((t2-t1)+s)-
a(s)|ds+|a(s)|
ds
记：
(f,ε‖u‖)=sup{|f(t2,s,v)-f(t1,s,v)|
:s,t1,t2∈[0,T],s≤t1≤t2,|t1-t2|≤ε,
|v|≤‖u‖},
=sup{|f(t,s,u(s))|:s,t∈[0,T],s≤t,u∈BC(R+)}。

根据f(t,s,v)在集合[0,T]×[0,T]×[-‖u‖,‖u‖]上的一致连续性可得：当ε→0时，有‖u‖)→0。

因此，对于任意的T>0，函数t|→a(t-s)f(t,s,u(s))ds在[0,T]上连续，故其在R+上连续。

因此，Fu在R+上连续。

对于任意的u∈BC(R+),对固定的t∈R+，由假设可得
|(Fu)(t)|≤‖p‖+(m(t)‖u‖+|g(t,0)|)
|a(t-s)|(n(t,s)Ω(‖u‖)+|f(t,s,0)|)ds≤‖p‖+h(t)‖u‖Ω(‖u‖)+b(t)‖u‖+c(t)
Ω(‖u‖)+d(t)。

根据假设(H5)可得Fu∈BC(R+)，即算子F:BC(R+)→BC(R+)。

下面，对任意的u∈Br0⊂BC(R+)，对固定的t∈R+，有
‖Fu‖≤‖p‖+H(t)‖u‖Ω(‖u‖)+B(t)‖u‖+C(t)Ω(‖u‖)+D(t)≤‖u,
即算子F:Br0→Br0。

其次，取球Br0中的非空子集X，任意取定u,v∈X，对固定的t∈R+，有
|(Fu)(t)-(Fv)(t)|≤|g(t,u(t))-g(t,v(t))||a(t-s)|(|f(t,s,u(s))-f(t,s,0)|
+|f(t,s,0)|)ds+(|g(t,v(t))-g(t,0)|+
|g(t,0)|)|a(t-s)||f(t,s,u(s))-f(t,s,v(s))|ds≤(h(t)Ω(r0)+b(t))diamX(t)+h(t)
r0Ω(2r0)+c(t)Ω(2r0)
因此有
diam(FX)(t)≤(h(t)Ω(r0)+b(t))diam
X(t)+h(t)r0Ω(2r0)+c(t)Ω(2r0)
根据式(10)和假设(H5)可得
diam(FX)(t)≤k diamX(t)
其中，k=HΩ(r0)+B，由假设(H6)可知k<1。

下面，任意取定T>0和ε>0，设u∈X，t1,t2∈[0,T]，且|t1-t2|<ε，不妨设
t1<t2，根据假设和式(9)得
|(Fu)(t2)-(Fu)(t1)|≤|p(t2)-p(t2)|
+(|g(t2,u(t2))-g(t2,u(t1))|+|g(t2,u(t1))-g(t1,u(t1))|)×|a(t2-s)|(|f(t2,s,u(s))-
f(t2,s,0)|+|f(t2,s,0)|)ds+g(t1,u(t1))|a(t2-s)f(t2,s,u(s))ds-a(t1-
s)f(t1,s,u(s))ds|≤ωT(p,ε)+(HΩ(r0)+B)ωT(u,ε)+(g,ε)((T)Ω(r0)+(T))
|a(s)|ds+((T)r0+(T))L
记：
‖u‖
|a((t2-t1)+s)-a(s)|ds+|a(s)|ds,
(g,ε)=sup{|g(t2,u)-g(t1,u)|:t1,t2∈[0,T],|t1-t2|≤ε,u∈[-r0,r0]},
(T)=sup{n(t,s):t,s∈[0,T],s≤t},f(T)=sup{n(t,s):t,s∈[0,T],s≤t},
(T)=max{m(t):t∈[0,T]},(T)=max{|g(t,0)|:t∈[0,T]}。

由g=g(t,u)在[0,T]×[-r,r0]上的一致连续性和f=f(t,s,u)在[0,T]×[0,T]×[-r,r0]上的
一致连续性和上述式(12)可得
≤
因此，有
ω0(FX)≤kω0(X)
根据BC(R+)空间上的非紧性测度的定义，结合式(11)和式(13)有
μ(FX)≤kμ(X)
接下来，令考虑序列注意到⊂n=1,2,…，这种集合是非空的闭凸集，根据式(14)得≤knμ(Br0),n=1,2,…。

由于k<1，所以有根据定义1可知集合是非空有界闭凸集，且Y∈ker μ。

注意到定义1条件6)中的由于μ(X∞)≤μ(Xn)，对任意的n都成立，所以μ(X∞)=0，即X∞∈ker μ，则
diamY(t)= diamY(t)=0
容易观察到算子F:Y→Y的。

下证算子F在集合Y上是连续的。

取定ε>0，对于任意的u,v∈Y且‖u-v‖≤ε，根据式(15)和FY⊂Y知，存在T>0，当t≥T时，有
|(Fu)(t)-(Fv)(t)|≤ε
取t∈[0,T]，由式(9)和假设(H5)可得
|(Fu)(t)-
(Fv)(t)|≤(h(t)Ω(r0)+b(t))diamX(t)+h(t)r0Ω(2r0)+c(t)Ω(2r0)≤(HΩ(r0)+B)ε+Hr0Ω(2ε)+CΩ(2ε)
上述式子结合式(16)可得算子F在Y上连续。

最后，根据经典的Schauder不动点原理得算子F在集合Y中至少存在一个不动点u。

显然，函数u=u(t)是方程(1)的解，考虑集合Y的构造和Y∈ker μ，根据定义3知方程(1)的解是一致局部吸引的。

注记2.2：当本文a(t)=·且0<α<1时，此时和文献[4]中的定理1一致。

u(t)=p(t)+g(t,u(t))a(t-s)f(t,s,u(s))ds,t∈R+
where a∈(R+) is a scalar kernel,function p,g and f satisfied certain conditions in the theorem 2.1.Then according to the definition of noncompactness measure and attractivity,and using conjunction the classical Schauder fixed point principle,we get the existence and uniform local attractivity of solutions to equation (1).
【相关文献】
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