(小学奥数)数阵图(二)

1. 瞭解數陣圖的種類
2. 學會一些解決數陣圖的解題方法
3. 能夠解決和數論相關的數陣圖問題
.
一、數陣圖定義及分類：
1. 定義：把一些數字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數陣圖.
2. 數陣是一種由幻方演變而來的數字圖.數陣圖的種類繁多，這裏只向大家介紹三種數陣圖：即封閉型數陣圖、輻射型數陣圖和複合型數陣圖.
3.
二、解題方法：
解決數陣類問題可以採取從局部到整體再到局部的方法入手： 第一步：區分數陣圖中的普通點(或方格)和關鍵點(或方格)；
第二步：在數陣圖的少數關鍵點(一般是交叉點)上設置未知數，計算這些關鍵點與相關點的數量關係，得到關鍵點上所填數的範圍；
第三步：運用已經得到的資訊進行嘗試．這個步驟並不是對所有數陣題都適用，很多數陣題更需要對數學方法的綜合運用．
複合型數陣圖
【例 1】 由數字
1、2、3組成的不同的兩位數共有9個，老師將這9個數寫在一
個九宮格上，讓同學選數，每個同學可以從中選5個數來求和．小剛選的5個數的和是120，小明選的5個數的和是111．如果兩人選的數中只有一個是相同的，那麼這個數是_____________．
例題精講
知識點撥
教學目標
5-1-3-2.數陣圖
31
32
33
212223131211
【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵字】迎春杯，中年級，決賽，3題
【分析】 這
9個數的和：111213212223313233++++++++
10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）
由小剛和小明選的數中只有一個是相同的，可知他們正好把這9個數全部
都取到了，且有一個數取了兩遍．所以他們取的數的總和比這9個數的和多出來的部分就是所求的數．那麼，這個數是12011119833+-=．
【答案】33
【例 2】 如圖
1，圓圈內分別填有1，2，……，7這7個數。

如果6個三角形的
頂點處圓圈內的數字的和是64，那麼，中間圓圈內填入的數是 。

【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵字】希望杯，五年級，復賽，第5題，5分
【解析】 2
【答案】2
【例 3】 如下圖（1）所示，在每個小圓圈內填上一個數，使得每一條直線上的三
個數的和都等於大圓圈上三個數的和.
（1）
17
8
94
【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空
【解析】 為敘述方便，先在每個圓圈內標上字母，如圖（2），
（2）
a c
b
49817
則有a+4+9=a+b+c （1）
b+8+9=a+b+c （2）
c+17+9=a+b+c （3）
（1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，則 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，
c=28-（17+9）=2解：見圖.
17
89411
2
15
【答案】
17
8
9411
2
15
【例 4】 請你將數字
1、2、3、4、5、6、7填在下面圖（1）所示的圓圈內，使
得每個圓圈上的三個數之和與每條直線上的三個數之和相等.應怎樣填？
【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空
【解析】 為
了敘述方便，將各圓圈內先填上字母，如圖（2）所示.設
A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k （A+B+C ）+（A+F+G ）+（A+D+E ）+（B+D+F ）+（C+E+G ）=5k ，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k ，2（A+B+C+D+E+F+G ）+A=5k ，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k ，56+A=5k.，因為56+A 為5的倍數，得A=4，進而推出k=12，因為在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨設B=1，F=5，D=6，則C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，
E=12-（4+6）=2.，解：得到一個基本解為：（見圖）
7
6543
2
1
【答案】
7
6543
2
1
【例 5】 在左下圖的每個圓圈中填上一個數，各數互不相等，每個圓圈有
3個相鄰
(即有線段相連的圓圈)的圓圈。

將左下圖中每個圓圈中的數改為3個相鄰圓圈所填數的平均值，便得到右下圖。

如果左下圖中已有一個數1，請填出左下圖中的其他數，使得右下圖中的數都是自然數。

【考點】複合型數陣圖 【難度】4星 【題型】填空 【關鍵字】走美杯，6年級，決賽，第10題，10分
【解析】 答案不唯一。

要求四個灰色圓圈中所填的數除以
3的餘數相同，另外四個
圓圈中所填的數除以3的餘數也相同。

注：題中左、右兩圖是兩個不同的圖，左圖要求各數互不相同(見答案)，右圖中各數是根據左圖改的，只要求
是自然數，可以相同。

【答案】
【例 6】 將
1至8這八個自然數分別填入圖中的正方體的八個頂點處的內，並使
每個面上的四個內的數字之和都相等。

求與填入數字1的有線段相連
的三個內的數的和的最大值。

【考點】複合型數陣圖 【難度】4星 【題型】填空 【考點】 【難度】星 【題型】填空
【關鍵字】希望杯，六年級，二試，第13題，15分
【解析】 因為
1到8的和為36，而上面四個數的和等於下麵四個數的和，所以都為
18。

因為每個面的數字和相等，所以一個面上應當大小數搭配，也就是說，和最小的數字1在同一個面上的應該有較大的數。

嘗試最大的三個數8，7，6，則和1，8，7在同一個面上的數應該是18-1-8-7=2，和1，8，6在同一個面上的數應該是18-1-8-6=3，和1，7，6在同一個面上的數應該是在同一個面上的數應該是18-1-7-6=4，剩下一個5填在剩下的○中，經檢驗，符合題意，那麼與1相連的三個○的和是67821++=
6
1
82
7
4
5
3
【答案】21
【例 7】 將自然數1到11分別填在右圖的圓圈內，使得圖中每條直線上的三個圓圈內
的數的和相等．
18-c -d 18-b -c
c +
d -6
b+c -612-d
12-c
12-b d
c
b
6
11
10
9
8
75
4
32
16
【考點】複合型數陣圖 【難度】5星 【題型】填空
【解析】 設左下角的數為a ，每條直線上的三個數的和為S ．由於這
11個數的和為
121166++
+=．從左下角引出的5條直線的總和為5S ，其中左下角的數多計
算了4次，則5664S a =+；又由三條橫線及左下角引出的一條斜線上的數的總和可得466S a =+．從而結合上面的兩個式子可得18S =，6a =，即左下角的數為6，每條線上的數之和為18．再設大正方形其他三個圓圈上的數分別
為b ，c ，d ，於是可得各個圓圈中的數如圖所示．除6以外的10個數分別為：b ，c ，d ，12b -，12c -，12d -，18b c --，18c d --，6b c +-，6c d +-．由於18121818b c c c d --+-+--=，得到330b c d ++=，即303b d c +=-．所以，只要選取適當的b ，c ，d 的值，使得上面的10個數各不相同即可．比如，選擇9c =，1b =，2d =，則可得到如右上圖所示的一種填法．本題答案不唯一，下麵再給出兩種填法。

3
10
52
7
94
86
111
5
4
983
7102
111
6
【答案】
3
10
52
7
948
6
111
5
4
983
7102
111
6
【例 8】 在下圖中，在每個圓圈中填入一個數，使每條直線上所有圓圈中數的和都
是234，那麼標有★的圓圈中所填的數是_____________．
★f
e
d
c b a
★
【考點】複合型數陣圖 【難度】5星 【題型】填空
【關鍵字】迎春杯，中年級，決賽，11題 【分析】 為表述方便，將圓圈中數用字母替代（如右圖）．
根據題意，有
234a f ++=★ ⑴ 234b c ++=★ ⑵ 234e d ++=★ ⑶ 234a b e ++= ⑷ 234c d f ++= ⑸
⑴+⑵+⑶-⑷-⑸，有3234⨯=★，即234378=÷=★．
【答案】78
【例 9】 請將
1，2，3，…，10這10個自然數填入圖中的10個小圓圈內，使得
圖中的10條直線上圓圈內數字之和都相等．那麼乘積
⨯⨯=？
A B C
C
A
B
【考點】複合型數陣圖【難度】5星【題型】填空
【關鍵字】迎春杯，高年級，決賽，10題
【解析】對於本題，可以通過“10條直線上圓圈內數字之和都相等”(實際上是11條)這一等量關係，將每一個小圓圈中的數表示出來．由於每一條直線上的數之和都為A B C
++，可得圖中每一個小圓圈中的數如下圖。

由於中間豎直方向的線段以及從左下角A出發的只有兩個數字的那條線
段，它們的數字和都是A B C
A B C B C A C
++=-=-，可
++，可以得到，332得2
=，只能是1
B C
B=，
C=，6
B C B C
+=-，即6
A B C
=+，代入得2333
⨯⨯=⨯⨯=
A B C
A B C
28
=+=，則86148
【答案】86148
⨯⨯=⨯⨯=
A B C
【例 10】下圖中有11條直線．請將1至11這11個數分別填在11個圓圈裏，使每一條直線上所有數的和相等．求這個相等的和以及標有*的圓圈中所填
的數．
﹡
【考點】複合型數陣圖【難度】5星【題型】填空
【解析】設每行的和為S，在左下圖中，除了a出現2次，其他數字均只出現了1次，並且每個數字都出現了，於是有4(12311)66
=+++++=+；
S a a
a ﹡ a
﹡
在右上圖中除了a 出現5次，其他數字均只出現了1次，並且每個數字都出現了，於是有5(12311)4664S a a =+++++=+． 綜合以上兩式，4665664S a
S a =+⎧⎨
=+⎩
，解得6a =，18S =．
考慮到含有*的五條線，有4(12311)18590t *+++++-=⨯=，即424t *-=．
可見t 是4的倍數，在1～11間可能為4和8，但t 為8時*也為8，重複．所
以4t =，7*=．
即每行相等的和為18，標有*的圓圈中所填的數為7． 最終的填法如右下圖．
t ﹡
11
10
9876
5
4
3
21
【答案】11
10
9876
5
4
3
21
【例 11】 “美妙的數學花園”這
7個字各代表1~7中的一個數，並且每個圓中4
個數的和都是15。

如果學比美大，美比園大，那麼，園表示 。

【考點】複合型數陣圖 【難度】5星 【題型】填空
【關鍵字】（走美杯3年級決賽第11題，12分） 【解析】 首先找出從1到7中四個數之和為15的有以下四組：①1、2、5、7；②2、3、
4、6；③1、3、4、7；④1、3、
5、6需要從其中選出3組，其中每兩個組間都有兩個相等的數，且這三組都含有同一個數，分析發現這三組可為①、
③、④或②、③、④，當這三組數為①、③、④時即1，2，5，7；1，3，4，7；1，3，5，6．其中①、③公有的是1，7；①、④公有是1，5；③、④公有1，3，即“妙，花，數”應為3，7，5其中之一．則剩下數字2，4，
6應為美、
學、園其中之一．又因為學>美>園，所以學6=，美4=，園2=．當這三組數為②、③、④時同樣的方法可分析出園2=．
美5花4
妙1
学7
的3数6
园2
【答案】2
【例 12】 圖
2中的五個問號分別表示五個連續的自然數，它們的和等於130，三角
形內兩個數的和等於53，圓內三個數的和等於79，正方形內兩個數的和等於50。

那麼，從左向右，這五個問號依次是
？
？
？？
？
【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵字】希望杯，四年級，復賽，第5題，5分
【解析】 根據題意答案為：25，28，27，24，26
【答案】25，28，27，24，26
【例 13】 右圖是大家都熟悉的奧林匹克五環標誌．請將19分別填入五個圓相互分
割的九個部分，並且使每個圓環內的數字之和都相等．
【考點】複合型數陣圖 【難度】5星 【題型】填空 【解析】 設每個圓內的數字之和為k ，則五個圓內的數字之和是5k ，它等於19的和45
再加上兩兩重疊處的四個數之和．而兩兩重疊處的四個數之和最小是123410+++=，最大是678930+++=，所以，5453075k ≤+=，5451055k ≥+=，即
1115k ≤≤．當11k =，13，14時可得四種填法(見右下圖)．
d
c b a 987
654
32
112
34567
89
12345
67
8
9
98
765432
1
當15k =時，如右上圖，設兩兩重疊處的四個數分別為a ，b ，c ，d ，由上面的分析可知，a ，b ，c ，d 分別為6，7，8，9，由於6915+=，7815+=，那麼，不論a 為多少，最左邊的數總是會與b ，c ，d 中的某一個相同，矛盾．所以當15k =時沒有符合題意的填法．
當12k =時，1254515a b c d +++=⨯-=．如果a ，b ，c ，d 中有一個數為3，比如3a =，那麼12b c d ++=，這樣與b ，c 在同一個圓內的那個數將與d 相同．可見a ，b ，c ，d 都不能為3．如果a ，b ，c ，d 中至少有3個數大於3，那麼它們至少為4，5，6，另一個數至少為1，它們的和將不小於145616+++=，矛盾．所以a ，b ，c ，d 中至少有2個數小於3，這2個數只能為1和2，那麼另兩個數之和為12．如果這兩個數中有一個為a 或者d ，那麼最左邊或者最右邊的數將與a ，b ，c ，d 中的某一個相同，矛盾；如果這兩個數為b 和c ，那麼與b ，c 在同一個圓內的那個數將只能為0，這也不可能出現．所以當12k =時也沒有符合題意的填法．
【答案】當11k =，13，14時可得四種填法
9
87
65432
112
34
567
89
1
2
345
67
8
99
8
765
4321
【例 14】 2008
年奧運會在北京舉行。

“奧”、“運”、 “會”、“北”、“京”這五個漢
字代表五個連續的自然數，將其分別填在五環圖案的五個環內，滿足“奧”+“運”+“會”=“北”+“京”。

這五個自然數的和最大是 。

京
北
会
运
奥
【考點】複合型數陣圖 【難度】5星 【題型】填空 【關鍵字】迎春杯，四年級，初賽，第2題）
【解析】 不妨設最小一個數是
x ，那麼這5個數是x ，x+1，x+2，x+3，x+4.但無
法將它們對應，但無論怎麼樣，列出的方程一定是這個形式的：（x+a ）+
（x+b）+（x+c）=（x+d）+（x+e），其中a、b、c、d、e分別是0、1、
2、3、4.方程解得：x=（d+e）-（a+b+c），如果連續5個自然數最大，
那麼最小的那個自然數也必須取得最大，顯然減號前是3、4，減號後0、1、2時，x取得最大值4，所以這5個數是4、5、6、7、8，和為30
【答案】30
【例 15】如圖，A，B，C，D，E，F，G，H，I代表九個各不相同的正整數，且每個圓中所填數的和都等於2008。

這九個數總和最小為。

【考點】複合型數陣圖【難度】5星【題型】填空
【關鍵字】走美杯，5年級，決賽，第12題，15分
【解析】假設9個數總和是M，則M A B C D E F G H I
=++++++++,上面三個環的總和為：
+=+時，總和最小為2008336027
⨯+=。

C G
⨯=--，所以當12
32008M C G
【答案】6027
【例 16】如圖，A，B，C，D，E，F，G，H，I代表九個各不相同的正整數，A，B，C，D，E，F，G，H，I的總和是2008，並且每個圓中所填的數和都
等於M。

(1)M最大為多少？(2)M最小為多少？
【考點】複合型數陣圖【難度】6星【題型】填空
【關鍵字】走美杯，6年級，決賽，第11題，15分
【解析】上面三個環裏數的和為3M，32008
=--，所以M最大可
M C G
++=，32008
M C G
以取668，此時C，G分別為1，3。

五環的和是52008
M B D F H
=++++，要使M 最小，只要取B D F H
M=。

+++最小為12，此時404
【答案】最大668，最小12
【例 17】將數字1~9分別填在下圖空白的正六邊形格子中，使得箭頭所指直線方向上空格中所填的數字和等於該箭頭所在格中的給定數（每個方向上所填
的數互不相同，且到寫有另一個給定數字的格為止）。

例如：
20,
22,19A B C D E F G H C I J K M N +++=+++++=+++=。

當填寫完後，字母
C 處所寫的數字是_____________。

D C A H
E G M
F I B K N 1027
20
2822
6919
24102020
26J 23
A. 4
B. 5
C. 7
D. 9
【考點】複合型數陣圖 【難度】6星 【題型】填空
【關鍵字】迎春杯，中年級，復試，7題
【解析】 3l 4l C ，提示：在下圖中，直線1l 上的6個數之和是，只有12345722+++++=，
直線2l 上的5個數之和是35，只有5678935++++=，所以G 等於5或7； 直線3l 上的4個數之和是12，只有：123612+++=或124512+++=，再考慮到G 等於5或7，得到5,1G M ==或2或4。

直線4l 上的3個數之和是20，並且1M =或2或4，只有47920++=，所以4M =，再考慮到1l 上的數不大於7，所以7C =。

下圖是一種填法（填法不唯一）。

3125417348459591
71782131292123523926
2020102419
9622
282027
106
【答案】C=7。

【例 18】 用數字1至9填滿空格，一個格子只能填入一個數字，每個數字在每一行，
每一列（相連或不相連）及每個粗線圍成的區域中至多出現一次。

【考點】數陣圖與數論 【難度】5星 【題型】填空
【關鍵字】走美杯，3年級，決賽，第11題，12分
【解析】 如圖1，因為a 、b 、c 、d 所在列已經出現8，所以a 、b 、c 、d 不等於8，
在這四個數所在的粗黑線圍成的區域中可知8e =，那麼g 、f 不等於8，而在h 、i 所在的列中出現了數字8，所以h 、i 不等於8，那麼8j =，之後用同樣的方法可以得出結果如圖2。

h g i f j e d c b a 6
6128
73
83
7
19954图1732458194139278593
645716254187623图2
45991738378216646258
【答案】
【例 19】 用l —9填滿三角形空格，一個格子只能填入一個數字，使每個數字在每
一行，每一列(包括不相連的行，列)及每個粗黑線圍成的區域中至多出現一次．
【考點】數陣圖與數論 【難度】6星 【題型】填空
【關鍵字】走美杯，初賽，六年級，第10題
【解析】解題順序如第二附圖，依照A、B、C、D……的順序.。