1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法(新教材,重难点分层培优提升)(解析版)

1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法
（新教材，重难点分层培优提升）
类型一、绝对值的有关概念
1．（23-24·吉林延边·阶段练习）在下列数中，绝对值最大的数是（）
A．0B．1-C．2-D．1
【答案】C
【分析】本题考查的是绝对值与有理数的大小比较，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
先计算出各选项的绝对值，再进行大小比较即可．
=-=-==，
【详解】解：∵|0|0,|1|1,|2|2,|1|1
而210
>>，
∴->-=>，
|2||1||1|0
故选：C．
-，那么a=．
2．（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）如果a的相反数是0.74
【答案】0.74
【分析】本题主要考查了绝对值和相反数的知识，根据“只有符号不相同的两个数互为相反数；互为相反数
3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各数：(1)3
4
--
；(2)()0.5-+-⎡⎤⎣⎦；(3)6217⎡⎤⎛
⎫-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
；
(4)()2-+．
4．（2024·辽宁抚顺·三模）下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（）
A ．2-
B ．1
-C ．3
D ．0
5．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）若有理数m 在数轴上的位置如图所示，则化简3m m ++结果是
．
6．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知|2||1|6a a ++-=，则=a ；
7．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知3535x x -=-，则x 的取值范围是．
8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果0a b c ++=且c b a >>．则下列说法中可能成立的是（）
A ．a 、b 为正数，c 为负数
B ．a 、c 为正数，b 为负数
C ．b 、c 为正数，a 为负数
D ．a 、b 、c 为正数
9．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．
10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较大小：7
6
-65
--
．
11．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小：①1-与0.01-；②2--与0；
③0.3-与13-；
12．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题：
4.5+，1
4
2
--，0， 2.5-，6，5-，()3+-．(1)负数集合：{
．．．．．．}；
(2)用“<”把它们连接起来是；
(3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上．
大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可；13．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果2
1(2)0a b ++-=，则a b +的值为（
）
A ．1
B ．3
C ．1-
D ．3
-
14．（23-24·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知|3||5|0x y -++=，求||x y +的值．
15．（21-22七年级上·陕西·期中）已知（a ＋2）2＋|b ﹣3|＝0，c 是最大的负整数，求a 3＋a 2bc ﹣1
2a 的值．
二、填空题
16．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若12x <<，求代数式2121x x x
x x x
---+=．
17．（23-24·上海杨浦·期末）12345x x x x x -+-+-+-+-的最小值为．
18．（2024七年级下·北京·专题练习）已知1
12
x -<<，化简|||2|3x x ---=．
三、解答题
19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a ，b ，c 对应的数如图所示，b c =．
(1)确定符号：a ______0，b ______0，c _____0，b c +_____0，a c -______0；(2)化简：a c b +-；
(3)化简：a a c --．
20．（23-24·北京海淀·期中）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．
(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：
a b +______0，c a -______0，2b +______0．
(2)化简：22a b c a b ++--+．【答案】(1)>，<，>(2)322
a c --
21．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：32x -=．解：当30x -≥时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =，所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法，求解方程：3270x --=，得到的解为．
22．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）阅读下列材料：我们知道x 表示的是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即0x x =-，也就是说，x 对表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -
表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离．
例1：解方程6x =．解：∵06x x =-=，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为6±，即该方程的解为6x =±．例2：解不等式12x ->．解：如图，首先在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为1x <-或3x >．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程53x -=的解为______；
(2)解不等式2219x ++<；
(3)若123x x -++=，则x 的取值范围是_______；
故答案为：8x =或2x =．
（2）2219
x ++<（3）123x x -++=，
表示到1的点与到2-的点距离和为3，
故答案为：21x -£<．
23．（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示x 和3-的两点之间的距离表示为
．(2)若34x +=，则x =
．(3)32x x --+最大值为，最小值为．
24．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，a 可以理解为0a -，它表示：数轴上表示数a 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A ，B ，分别用数a ，b 表示，那么A ，B 两点之间的距离为AB a b =-，反过来，式子a b -的几何意义是：数轴上表示数a 的点和表示数b 的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数1-的点和表示数3-的点之间的距离是_________．
(2)数轴上点A 用数a 表示，则
①若35a -=，那么a 的值是_________．
②36a a -++有最小值，最小值是_________；
③求123202*********a a a a a a ++++++++++++ 的最小值．
25．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：8+，6-，3+，4-，8+，4-，5+，3-．
(1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地多少千米？
(2)若出租车的收费标准为：起步价10元（不超过5千米），超过5千米，超过部分每千米2元，不超过5千米则收取起步价，求李师傅在这期间一共收入多少元？
26．（23-24·黑龙江哈尔滨·阶段练习）刚刚闭幕的第33届“哈洽会”，于2024年5月16日至21日在哈尔滨市举办，中外宾客齐聚冰城．为确保全市道路交通安全有序，哈尔滨市公安交通管理局在开幕式当日对会展中心周边区域，以及部分道路进行交通管制和诱导分流．萧萧作为哈市青年当日也贡献了自己的一份力量．如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A 站，东至L 站，途中共设12个上下车站
点，“哈洽会”开幕式当日，萧萧参加该线路上的志愿者服务活动，从C站出发，最后在某站结束服务活动，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：
5,3,4,5,8,2,1,3,4,1
+-+-+-+--+．
(1)请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？
(2)若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次萧萧志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？
(3)已知油箱中要保持不低于10%的油量才能保证汽车安全行驶，若萧萧开始志愿服务活动时该汽车油量占
油箱总量的11
70，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存
储油多少升？
一、单选题
1．（22-23七年级上·云南保山·期末）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，在下列结论中：①0a b ->；②0ab <；③a b a b +=--；④()0b a c ->，正确的个数有（）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）
A ．0ab >
B ．4b a ->
C ．2a b a b +=
D ．()()230a b +-<
3．（23-24七年级上·山东德州·期末）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则b a b c a c --+--的化简结果为（）
A ．2c
-B ．2a C ．2b D ．22b c
+
4．（18-19七年级上·北京海淀·期末）如图，数轴上点A ，M ，B 分别表示数a a b
b +，，，若AM BM >，则下列运算结果一定是正数的是（）
A ．a b +
B ．a b -
C ．ab
D ．a b -
5．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合|5||3|8a a ++-=的整数a 的值有（
）
A ．5个
B ．7个
C ．8个
D ．9个
二、填空题
6．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知a 、b 为整数，202320a b +--=，且b a <，则a 的最小值为．
7．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若0a b c ++=，且a b c >>，以下结论：
①0a >，0c >；
8．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知x a b ，，为互不相等的三个有理数，且a b >，若式子||||x a x b -+-的最小值为2，则2023a b +-的值为．
三、解答题
9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）出租车司机小王某天下午营运全是东西走向的玄武大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行驶记录如下：(单位：千米)
15+，3-，13+，11-，10+，12-，4+，15-，16+，19-
(1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车地点的距离是多少千米？
(2)若汽车耗油量为a 升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？
(3)出租车油箱内原有5升油，请问：当0.05a =时，小王途中是否需要加油？若需要加油，至少需要加多少升油？若不需要加油，说明理由．
10．（23-24七年级下·四川资阳·期末）（1）【阅读理解】“a ”的几何意义是：数a 在数轴上对应的点到原点的距离，所以“2a ≥”可理解为：数a 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：“2a <”可理解为：；我们定义：形如“x m ≤，≥x m ，x m <，x m >”（m 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
例如：315
x x -≤+我们将x 作为一个整体，整理得：315
x x -≤+3
x ≤再根据绝对值的几何意义：表示数x 在数轴上的对应点到原点的距离不大于3，可得：解集为33x -≤≤仿照上述方法，解下列绝对值不等式：①254
x x -<-②1312313
x x -+<-．
11．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -．例如数轴上表示数2和5的两点距离为|25|3-=；数轴上表示数3和1-的两点距离为|3(1)|4--=；由此可知|63|+的意
义可理解为数轴上表示数6和3-这两点的距离；
|4|x +的意义可理解为数轴上表示数x 和4-这两点的距离；
(1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A 和B ，要在流水线上设一个材料供应点P 往两个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小？
(2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A B C ，，，要在流水线上设一个材料供应点P 往三个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A B C ，，三点的距离之和最小？
(3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A B C D ，，，，要在流水线上设一个材料供应点P 往四个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A B C D ，，，四点的距离之和最小？
(4)①|3||4|x x ++-的最小值是_________，此时x 的范围是_________；
②|6||3||2|x x x ++++-的最小值是_________，此时x 的值为_________；
③|7||4||2||5|x x x x ++++-+-的最小值是_________，此时x 的范围是_________．
（3）①根据（1）的结论即可得出答案；②根据（2）的结论即可得出答案；③根据（3）的结论即可得出答案．
【详解】（1）解：当点P 在点A 左边时，2PA PB PA PA AB PA AB +=++=+，
当点P 在A 、B 之间时，PA PB AB +=，
当点P 点点B 的右边时，2PA PB AB PB PB AB PB +=++=+，
∴当点P 在A 、B 之间时，才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小；
（2）解：当点P 在点A 左边时，2PA PB PC PA PA AC PB PA PB AC ++=+++=++，
当点P 在A 、B 之间时，PA PB PC PB AC ++=+，
当点P 在B 点时，PA PB PC AC ++=，
当点P 在B C 、之间时，PA PB PC PB AC ++=+，
当点P 在点C 的右边时，2PA PB PC PC PB AC ++=++，
∴当点P 在B 点时，才能使P 到A B C ，，三点的距离之和最小
（3）解：当点P 在点A 左边时，42PA PB PC PD PA AB CB AD +++=+++，
当点P 在A 、B 之间时，2PA PB PC PD PB CB AD +++=++，
当点P 在B C 、之间时，PA PB PC PD BC AD +++=+，
当点P 在C D 、之间时，2PA PB PC PD BC AD PC +++=++，
当点P 在点D 的右边时，24PA PB PC PD BC AD DC PD +++=+++，
∴当点P 在B C 、之间时，才能使P 到A B C D ，，，四点的距离之和最小；
（4）解：①由（1）可得：当34x -≤≤时，有最小值，最小值为()437--=，
∴|3||4|x x ++-的最小值7，此时x 的范围是34x -≤≤；
②由（2）可得：这是在求点x 到6-，3-，2三点的最小距离，
∴当3x =-时，有最小值，最小值为|6||3||2||36||33||32|8x x x ++++-=-++-++--=；
③由（3）可得：这是在求点x 到7-，4-，2，5四点的最小距离，
∴当42x -≤≤时，由最小值，最小值为|7||4||2||5|742518x x x x x x x x ++++-+-=++++-+-=．12．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）有数a b c 、、在数轴上的大致位置如图所示：
(1)a c +__________0，b c -__________0，a b -__________0（用“＞”、“<”、“=”）；
(2)化简||||||a c b c a b ++---．
13．（23-24七年级上·江西上饶·期中）如图所示，数轴上从左到右的三个点A ，B ，C 所对应的数分别为a ，b ，c ．其中点A 、点B 两点间的距离AB 的长是2021，点B 、点C 两点间的距离BC 的长是1000．
(1)若以点C 为原点，直接写出点A ，B 所对应的数；
(2)若原点O 在A ，B 两点之间，求a b b c ++-的值；
(3)若O 是原点，且18OB =，求a b c +-的值．
【答案】(1)点A 所对应的数a 为3021-，点B 所对应的数b 为1000
-(2)3021
(3)a b c +-的值为3003-或3039
-【分析】本题考查了数轴与绝对值的意义，理解绝对值的意义是解答本题的关键．
（1）根据题意先求解AC 的长，结合数轴的定义可求解点A ，B 所对应的数；
（2）根据数轴上点的特征可得a<0，0b >，0c >，0b c -<，结合绝对值的性质化简可求解；
，14．（22-23七年级上·北京·期中）已知a ，b 在数轴上的位置如图所示：
(1)用“>”、“<”或“=”填空：____0a ，____0a b +，____0b a -；
(2)化简：||||2||a b a a b +--+；
(3)若21a b =-=，，x 为数轴上任意一点所对应的数，则代数式||||x a x b -+-的最小值是______；此时x 的取值范围是______．。