矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析

第一章 误差分析与向量与矩阵的范数
一、内容提要
本章要求掌握 绝对误差、相对误差、有效数字、误差限 的定义及其相互关系；掌握 数 值稳定性 的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析 ；熟练掌握向量和矩阵范数 的 定义及其性质。

1 .误差的基本概念和有效数字 1) .绝对误差和相对误差 的基本概念
设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，则 称x a 为近似值a 的绝对误差，简称
x a
为误差.当x 0时，=称为a 的相对误差.在实际运算中，精确值 x 往往是未知的，所
x a
以常把—匚作为a 的相对误差.
2) .绝对误差界和相对误差界 的基本概念
设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，如果有常数 e a ，使得
此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的， 但是它们越小，说明a
近似x 的程度越好，即a 的精度越好.
3) .有效数字
设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，写成
k
a 10 O.a i a 2 a n
其中a i (i 1,2,)是0,1, ,9中的一个数字，q 0,k 为整
数.如果
x a - 10kn
2
则称a
为x
的具有n
位有效数字的近似值.
4) .函数计算的误差估计 如果y
f(x 1,x 2, ,x n )为n 元函数，自变量*,X 2, ,X n 的近似值分别为a 1,a 2, ,a n ,
称e a
为a
的绝对误差界
或简称为误差界.称
a
是a
的相对误差界
它可以是有限或无限小数的形式, 如果a 有n 位有效数字，则a 的相对误差界满足:
x a l a l
1 2a 1
101
其中 丄
_f(a 1,a 2, ,a n ),所以可以估计到函数值的误差界，近似地有
X
k a
X
k
n
f(X i ,X 2, ,X n ) f(a i ,a 2, ,a n ) e a
取y f(x,x 2)为X i , X 2之间的四则运算，则它们的误差估计为,
数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高.
如果x i 和X 2是两个十分接近的数，即 a i 和a 2两个数十分接近，上式表明计算的相对误
差会很大，导致计算值 a i a 2的有效数字的位数将会很少。

从关系式中可以看出，如果 x 2很小，即a 2 a 2
5)
.数值稳定性的概念、设计算法时的一些 基本
原则
⑴ 算法的数值稳定性：一个算法在计算过程中其 舍入误差不增长称为数值稳定 。

反之, 成为数值不稳定。

不稳定的算法是不能使用的。

⑵在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减 。

⑶在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数 。

⑷注意简化运算步骤，尽量减少运算次数。

⑸ 多个数相加，应把绝对值小的数相加后，再依次与绝对值大的数相加。

2.向量和矩阵范数
把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来， 在某种意义下，这个实数提供了向量
和矩阵的大小的度量。

对于每一个范数，相应地有一类矩阵函数，其中每一个函数都可以看 作矩阵大
小的一种度量。

范数的主要的应用：
一、 研究这些矩阵和向量的误差估计 。

二、 研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。

f (X i , X 2 , X) f(a i ,a 2, ,a n )
X k
(X k a
a k )
如果令n 2，设X 1, X 2的近似值分别为a 1, a 2，其误差界为 咅a 1
X 2
a 2
e
a i a 2
a
2 e
a 1 ； e
a 1
a i e a 1
|a ^e a 1
|a22
对于两个数作相减运算时，由于其相对误差界:
站
e
a 2
a i a 2
对于两个数作相除运算时，由于其相对误差界:
e
a i
a i e a i
l a 2e
a i
2
a
2
a 2
n
k 1
e a
e
a i
a i
定义存在R n
( n 维实向量空间)上的一个非负实值函数，记为 f (x) X ，若该函数
满足以下三个条件：即对任意向量
X 和y 以及任意常数
(2)齐次性 X
则称函数"为R n
上的一个向量范数.
常用三种的向量范数
般情况下，对给定的任意一种向量范数
，其加权的范数可以表为
l X
||w |舷|，
其中W 为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。

向量范数的连续性定理R n
上的任何向量范数
X 均为X 的连续函数。

向量范数的等价性定理 设| |和| |为R n
上的任意两种向量范数，则存在两个与向量
X 无关的正常数 C 1和C 2，使得下面的不等式成立
C 1 X X
C 2 X ，其中 X R n .
2).矩阵范数 定义存在R n n
( n n 维复矩阵集合)上的一个非负实值函数，记为 f(A) A ，对
任意的A, B R
n n
均满足以下条件:
R (实数域)
(1)非负性 X 0，并且X
0的充分必要条件为 X 0;
(3)三角不等式
X y||
设任意n 维向量X (X |,X 2,
X T
为向量X 的转置)，
n
X i
i 1
向量的1-范数
n
X i
i 1
2 1
2
向量的2-范数
maXX i ,
向量的
-范数
(1)非负性：对任意矩阵 A 均有 A 0,并且 0的充分必要条件为A O ；
三种常用的矩阵的算子范数
(3)三角不等式：|A B
B ,代 B R nn ; (4)相容性：|| AB A AB
R n n
,
则称为R
n n
上的矩阵范数。

我们可定义如下的矩阵范数:
m i
a
ij
，矩阵的m -范数
(矩阵范数与向量范数 n
2 a
ij j 1
矩阵的F -范数(Frobenius )范数。

相容性定义) 对于一种矩阵范数| | M 和一种向量范数| |V
，如
果对任意n x n 矩阵A 和任意n 维向量x ,满足
Ax
V A
M x V ，
则称矩阵范数 M 与向量范数| |V 是相容的。

3)矩阵的算子范数
定理已知R n
上的向量范数| |V
, A 为n x n 矩阵，定义
M
ma °x
Ax|
V
X|
m ax
1Ax
V
M
是一种矩阵范数，且与已知的向量范数相容, 称之为 矩阵的算子范数。

A i
m
max
1 j n
i 1
a
ij
列范数)
n
max
1 i m
j 1
a
ij
.max
（A 〒 A ）,
其中max (A T A)表示矩阵A
T
A 的最大特征值。

(行范数)
(谱范数)
对任何算子范数|| ,单位矩阵I R n n
的范数为1,即I 1。

可以证明：
① 任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数；任意给定的向量范数必然存在 与之相容的矩阵范数（如从属范数）
② 一个矩阵范数可以与多种向量范数相容（如 矩阵m
1
范数与向量P -范数相容）;多
种矩阵范数可以与一个向量范数相容（如 矩阵F 范数和矩阵2范数与向量2范数相
容）。

③ 从属范数一定与所定义的向量范数相容，但是矩阵范数与向量范数相容却未必有从 属关系。

（如，|F 与向量卄2、 m 与向量相容，但无从属关系）。

④ 并非任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。

4）矩阵范数的性质 ①设||为R
n n
矩阵空间的一种矩阵范数，则对任意的
n 阶方阵A 均有 （A ） A .
其中（A ） max det I A 0为方阵A 的谱半径。

注意：当 A A T 时，A 2 max A
T
A
. max A 2
对于任给的& >0,则存在R
n n
上的一种算子范数
使得
对于R nn
上的一种算子矩阵范数
，如果A R nn
且I A <1，则
I
n A
可逆且
I n A
典型例题分析
解：现将近似值写成标准形式:
在直接根据有效数字定义得出,
5，即a 有5
位有效数字;
2 n 1，即b 有1位有效数字;
max
A
(A
)。

M
（依赖矩阵A 和常数£）,
A M
(A)
例1. 1:下列近似值的绝对误差限均为 0.005，问它们各有几位有效数字?
a 138.002,
0.0312, c 0.86 10 4
a 0.138002 103
,
0.312 10 1
,
0.86 10 4
,
1 2 xc —10 kn 4n 2 n 2，即c 无有效数字。

2
例1. 2：已知x 的相对误差为0.003，求a m
的相对误差。

解：此题要利用函数计算的误差估计，即取 f x x m , f x m x m1
，则由
f x f a f a x a ，可推出 x m
a m
m a
m 1
x a ，故a m 的相对误差为 m m
x a x a m m
0.003m 。

a
a
例1 . 3:此为减少运算次数达到避免误差危害的例子 3
2
利用3位算术运算求f x x 6.1x
3.2x 1.5在x
4.71处的值。

表中给出了传统的方法的计算的中间结果。

在这里我们使用了两种取值法： 截断法和舍入法。

x
2
x
3
x
6.1x 2
3.2x
精确值
4.71 22.1841 104.487 111 13
5.323 01 15.072 3位数值（截断法） 4.71 22.1 104 135 15.0 3位数值（舍入法）
4.71
22.1
104
135
15.1
精确值：f 4.71
104.487111 135.323 01 15.072 1 .5
14.263 899
3位数值（截断法）：f 4.71 104 134 15.0 1.5 13.5
3位数值（舍入法）：f 4.71
105 135
15.1 1.5
13.4
上述3位数值方法的相对误差分别是
作为另一种办法，用秦九韶方法（嵌套法）可将 f x 写为
1.38 4.71 3.2 4.71 1.5
6.54 3.2
4.71 1.5
3.34
4.71 1.5 1
5.7 1.5 14.2
14.263899 13.5
14.263899
0.05，截断法
14.263899 13.4
14.263899
0.06，舍入法
f x x 3
6.1x 2
3.2x 1.5
x 6.1 x 3.2 x 1.5
那么，3位数值（截断法）：f 4.71
4.71 6.1 4.71 3.2 4.71 1.5 14.2
可见使用秦九韶方法（嵌套法）已将截断近似计算的相对误差减少到原方法所得相对误
差的10%之内。

对于舍入近似计算则改进更大，其相对误差已减少
95%以上。

多项式在求值之前总应以秦九韶方法
（嵌套法）表示，原因是这种形式使得算术运算次
数最小化。

本例中误差的减小是由于算术运算次数从
4次乘法和3次加法减少到2次乘法和
3次加法。

减少摄入误差的一种办法是减少产生误差的运算的次数。

术运算的相对误差。

a 1 a ?
a 3
由函数运算的误差估计式
a 2 x a
X 2 a 2 X 3 a 3
从而，相对误差可写成
1.21 3.65 1 1.21 3.63 9.81 2
1 10 2
0.00206 # 3位数值（舍入法）：f 4.71 4.71 6.1 4.71 3.2 4.71 1.5 14.2
则相对误差分别是
14.263899 14.2
1.38 4.71 6.55 3.2 3.35 4.71 0.004 5,（截断法）
3.2
4.71 1.5 4.71 1.5
1.5
15.8 1.5
14.263899 14.3
14.3
0.0025,（舍入法）
例1 . 4:已知近似值
1.21 a 2
3.65 , a 3 9.81均为有效数字，试估计如下算
解: X 1 由已知，
2
a 1
f X 1, X 2 , X 3 10k
X 1 X 2
10 2
X 3 , f X 2 a 2 a 1, a 2 , a 3 a 1 10
a 2 X 3 a 3,
a 3
2 102。

f X 1, X ,X 3
f a
i , a 2 ,a
3
f
M a
1，a
2，a
3
X
1
a
1 +
X 2
a
i ，a
2，a
3
X
2
a 2
X 3 a 1, a 2 , a 3
X
3 a
3
若 x 3.000, a 3.100, 则绝对误差x a 0.1, 相对误差为:
x a 0.100
x 3.000
0.0333 0.333 10
若 x 0.0003000, a 0.0003100,
若 x 0.3000 相对误差为: a
0.1 10 4
,
X a 0.000100
X
0.0003000
10 4
,a 0.3100 10 a
0.1 103
,
X a 0.1 103
相对误差为: 4
则绝对误差x
则绝对误差x 0.333 10
1
；
x 0.3000 104 0.333
10 1 ；
这个例子说明绝对误差有较大变化时， 相对误差相同。

作为精确性的度量, 可能引起误解，而相对误差由于考虑到了值的大小而更有意义。

绝对误差
例1 . 5:在R 2
中用图表示下面的点集，并指出它们的共同性质。

S] x X 1 1, x R 2，x||x 1,X R 2 , S 3 X X 1,x R 2
解： 这些点集的共同性质是：它们都是有界、闭的、
凸的，关于原点对称的。

X i
1
/ P
P .
,1 P .其中X
i 表示
X i 的模. 此范数
称P-范数，而且l, 2 范数为当p=l,
时的范
数。

而当
时，有
证明: 事实上,
max X i
1 i n
max X i
1 i n
两边开 P 次方得 n
(|x P )
i 1
，由于 P
im
，故x
1 . 7:证明 ||2为C n
空间上向量范数。

证明：(1)对任给n 维向量 X (X 1,X 2, ,X n )T
C n
, 若 x 0，则 X 1,X 2,
,X n 不全为
零，故
x y 2 (x y,x y) (x,x)
(y, x) (x, y) (y, y) x 2
2(x,y) y 2
x 2 2x |||y y 2
=
(X 2 y 2)2。

由向量范数的定义，| |2
为c n
空间上的向量范数。

例 1. 8 设 A = 0 2 4，求制 m 、A F 、I A i 、A 和 A|2。

a
ij
i i j i
(A T
A) 20,从而 A 2
■, max (A T A) 20 2 5。

|x |〔2 J|X i |2
X22
|x 『0
(2)对任给 C , x (X i ,X 2, ,X n )T C n
，则
2
X
22
(3) X i
对任给x
(X i ,X 2, ,X n )T
c n
, y (y i ,y 2,
,y n )T C n
则由
Cauchy-Schiwatz 不等式:
(x,y) ..(x,x) ,(y,y) X 2 y 2 可得
A i
max
i j n i
a
ij
i
max i, 2, 4 max
a ij max i, 6 6 ；
i i n
i j n
i 0
注意到，A T
A = 0
2 0 4
i 0
0 4 8 ，令 0 8 i6
det I A T A
i
0 0
0 4 8
i
4
i6 64
i 0
0 8
i6
得,
1247
； A F
3
i 22
42
1 0 _________________________________________ ______
⑴ 设A ,则A1=_5_, A =3_ |A F='、14, A2=.7 2、、10 及A 的
2 3
谱半径(A)= 3 。

(2)x (3, 0, 4, 12)T R4，则|x 1= 19 , x = 12 , x 2= 13
(3)记x (X1,X2,X3)T R3，判断如下定义在R3上的函数是否为R3上的向量范数 (填是或不是)
凶X1 2X2 3x3 (是—)；；X X1 2X2 3x3 (不是—)；|X X1 x X3(不是)。

(4)使•, 70 8.36660026534 的近似值a的相对误差限不超过0.1 %，应取几有效
数字，a = .
2、证明
(1) X X1 nx ; (2) X X2 nx
3、设II X ”为R n上任一范数，P R n n是非奇异矩阵，定义X = PX，证明：算子范数|A p= PAP-1。

4、设A为n阶非奇异矩阵，U为n阶酉矩阵•证明：
(1)初2 1；⑵||AU〔2W |A〔2
5、已知e 2.71828 ，问以下近似值X A有几位有效数字，相对误差是多少？
(1) X e, X A 2.7 (2)X e, X A 2.7
e e
(3) X , X A 0.027, (4) X , X A 0.02718.
100 100
6、给定方程X226X 1 0，利用.168 12.961，求精确到五位有效数字的根。

并求两个根的绝对误差界和相对误差界。

7、在五位十进制计算机上求
100 50
S 545494 i i ,
i 1 i 1
的和，使精度达到最高，其中j 0.8, i 2。

8.在六位十进制的限制下，分别用等价的公式
30的近似值，近似值分别为多少？求对数时相对误差有多大?
1
9 i 5i
*
5
9
5i
*
(1)i 5
禺,(2) e 5
-
X 2 ,
i 0
i!
i 0
i!
（.2 1）6
，取...2 1.4，直接计算f 和利用下述等式
1
3, 99 70、、2 ; 2 2
计算，那一个最好?
11.如何计算下列函数值才比较准确。

(1)
1 2x 1 x
（是）;为给定向量1-范数的加权的范数，其中取对角矩阵，
W
9. 若用下列两种方法 （3）
N 1
1.4习题解答 1 、解
N 1
dx
冬,其中N 充分大;
x
(4)」°^,对 x
sin x
1。

（1）有定义,
A 1 = 3, A = 5,
=14 , ||A 2 = • 7 2 10 及 (A) =
3。

T
4
x (3, 0,
4, 12) 「
R 4，则 |x 1=血 x
0.1%， （不是）;不满足向量范数性质 1；（不是）； a =8.3667。

、70 a 即-—； ------- 2、只就（2）证明
max x k
k
不满足向量范数性质
1。

因.70 8.36660026534
、、70 a 0.001，贝V ——
，由定义可
得,
X k
2
x 2
，a 1
8
, 要是得相对误差限不超过
101 n
2a 1
max x k
k
1^
10
1
n
0.001 时，有 n 4。

计算f
(1) e 5
计算e 5
的近似值, 问那种方法能提供较好的近似值？请分析原因。

10.计算f
,2 16'
x
(2厂
x 1
从而, |x| |凶2亦|卜|。

3、首先，证明
P Px是向量范数。

事实
上,
1）因P R n n是非奇异矩阵, 故x 0，Px 0，故Px 0时，x 0,且当x 0
时，|Px 0,于是, X p p x 0当且仅当x 0
时,
Px =0成立;
2 )对R，x p P Px Px
x y || | Px Py Px
向量范数。

再
A P max
x 0 AX P
X P
max卅
x0
p x
PAP
max
x 0
1
p x
Px ，
Px，因P非奇异，故x与y为一对一，于是
A p m a x PAP 1y
|y|
PAP
4、证明：（1），由算子范数的定义
U 2啤予當曲严H H
x U Ux max
2—
X 0
2
H
X X max
—
x 0
X 2
max——2
x 0 | 2
2
证明：（2），
AU 2 . max AU H AU
,max U H A H AU A H A
max
A2，
UA max UA
2
此结论表明酉阵具有保H H
UA max AU U A max
A H A A2。

5、解:
（1）由于e X A 再由相对误差界的公式,
(2)由于e X A
再由相对误差界的公式,
2-范数的不变
性。

e X A
1
，由有效数字定义可
知,
，由有效数字定义可知,
x A有2位有效数字；又a1
X A有4位有效数字；又a i
(3)由于
e X A
-10 2 3
,由有效数字疋义可知， X A 有 2位有效数字； 又 a 1
2
，
再由相对误差界的公式，
e X A
1
10
1 2 1
10
1
|X A |
2 2
4
(4)由于
e X A
-10 2
5
,由有效数字疋义可知， X A 有 4位有效数字； 又 a 1
2
，
再由相对误差界的公式，
e X A
1
10
14 1
10 3。

|X A |
2 2
4
6、给定方程x 2
26x 1 0，利用,168 12.961，求精确到五位有效数字的根。

并求两个根的绝对误差界和相对误差界。

解：由二次方程求根公式知，为13 J68 , X 2 13 . 168。

若利用..168 12.961，
则近似根a 1 25.961具有5位有效数字，而x 2 13 .. 168 13 12.961 0.039 a 2， 只有2位有效数字。

若改用
a 1，a 2均具有5位有效数字。

它们的绝对误差界和相对误差界分别
为:
计算机作加减法时，先将相加数阶码对齐，根据字长舍入，则
6 6 6
s 0.54549 10 0.0000008 10 0.0000008 10
100个
0.000002 106 0.000002 106
50个
6
x 2 13
168
1 13 .168 1
25.961
0.038519 a 2
则此方程的两个近似根 a 2
10 1
1 106
；径」 2 a 2
九
1015
6 10
“。

100
7. s 545494
50
i ，其中
0.8,
0.54549 10
5位尾数左移变成机器零，这便说明用小数做除数或用大数做乘数时，容易产生大的舍入误
O
O
O
0.00018 10 0.54549 10 0.54567 10 545670
8 •分析：由于f (x) ln(x x
2
1),求f (x)的值应看成复合函数。

先令 y x x 2 1，由于开
方用六位函数表， 则y 的误差为已知，故应看成z g(y) ln( y), 由y 的误差限y y 求g(y)的误
差限In(y) ln(y )。

解：
2
当x 30时求y 30 •. 30 1，用六位开方表得
0.0167 10 1
0.167，其具有3位有效数字。

故
110kn
10 1 3
10
4。

由 z g(y) ln( y) 得 g (y) 曰
是,
若用公式f (x) y 30 29.9833 可见，用公式f (x)
令y x
z z
-，故
y
10 4 ln(x x 2
1), 59.9833 102
0.599833
曰
是,
ln(
x
0.3 10 2。

x 2 1 ,此时 z g(y) ln(y)，则
其具有6位有效数字。

故
1026
10
4。

z
10 4
x 2 1)计算更精
确。

6
0.834 10
差，应尽量避免.
若改变运算次序，先把 100 i 相加，50 i 相加。

再与54549相加。

即
0.8 0.8 2
100个
50个
6
2 0.54549 10 0.8 102
0.2 10 50 0.54549 10
2
1.8 10
0.54549 10
y 30 29.9833
.解：方法（1 ）的误差由Taylor展开可得, a
i
10! 510，其中在5与
0之
间。

而方法（2）得误差是
9 5i
i 0
i!
由此可知方法
近似值。

10.解:
2
）
e
10
!
510
9 5i
i 0
i!
9 5
i!
e 10
5
10!
邑510
10! i 0 i!
510
e
10!
9 5i
i 0
i!
510
10
! 9 5i
i 0
i!
，其中
得误差是方法（1 ）的
1
9 5
i 0 i!
倍，故方法
143.7
给出较准确的
所给出的5个公式可分别看作
f1 x x 1 6,
3 2x 3, f
4 x
2的近似值a
数计算的误差估计公式可得:
f ,2 f a
f1 a f2 \ 2 f2 a
11 .以（2 ）和
6a
63
63
70
99 70x
3 2x 3, 3 2x 3,
1.4时，相应函数的计算值。

而
卜;2
17
2a
2a
6a 15 6 0.45
■- 2
a
0.02 。

利用函
0.06144 ；
6 2.4 70.01308
6 0.4 0.24
；
0.005302。

由此可见，使用公式
（3）为例其它同理
解：（2）只需取x 1
\ x
3计算时误差最小。

1
x
x
N i dx 1
(3) 2 arctg (N 1) arctg N arctg
N 1 x 1 N(N 1)
注：令arctg (N 1), arctg N，则tg N , tg N 1。

由于arctg (N 1) arctg N ,由差角公式：tg( )tg tg。

得
1 tg tg
x tg tg arctg 进而有arctg ( N 1) arctg N arctg
1 tg tg 1 N (N 1)。