2024-2025学年辽宁省三校高三数学上学期10月联考试卷及答案解析

2024—2025学年度上学期高三10月联合教学质量检测
高三数学试卷
本试卷共5页 满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合{
}21
A x x =-<，{}3
B x a x a =<<+，若{}15A B x x ⋃=<<，则a =（
）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C 【解析】
【分析】先求出集合A ，再根据并集得出参数的值.
【详解】因为()1,3A =,()1,5A B ⋃=，又因为(),3B a a =+，所以35,a +=即a =2.故选：C.
2. 如图，在ABC V 中，点D 是BC 边的中点，3AD GD = ，则用向量AB ，AC
表示BG 为（ ）
A. 2133
BG AB AC
=-+u u u u r u
u r u u u r B. 1233
BG AB AC
=-+u u u r u u
u r u u u r C. 2133BG AB AC
=-u u u r u u u r u u u r D. 2133
BG AB AC
=+u u u r u u u r u u u r
【答案】A 【解析】
【分析】利用向量的线性运算求解即可.
【详解】3AD GD =
，故23
AG AD = ，
则()
2212133233
B C G BA BA BA AG AD AB A AB AC =+=+=+⨯
+=-+
.故选：A
3. 在等比数列{}n a 中，记其前n 项和为n S ，已知3212a a a =-+，则8
4
S S 的值为（ ）A. 2 B. 17 C. 2或8
D. 2或17
【答案】D 【解析】
【分析】根据等比数列通项公式求得1q =或2q =-，再利用等比数的求和公式求解即可.【详解】解：由等比数列的通项公式可得2
1112a q a q a =-+，整理得220q q +-=，解得1q =或2q =-．当q =1时，
1
841
824S a S a ==；当2q =-时，()(
)
814
844
1841
111171
11
a q S q q q S q a q q ---====-+--．所以8
4
S S 的值为2或17．
故选：D ．
4. 每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为25%，下雨的概率为20%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（ ）A. 5% B. 10%
C. 15%
D. 45%
【答案】B 【解析】
【分析】根据概率公式直接得出结论.
【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为25%20%35%10%+-=.故选:B
5. 若直线:3l y kx k =+-
与曲线:C y =恰有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 4,+3∞⎛⎫
⎪⎝⎭
B. 43,32⎛⎤
⎥⎝⎦
C. 40,
3⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D. 43,32⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】B 【解析】
【分析】先得到直线过定点()1,3P ，作出直线l 与曲线C ，由图求出直线l 过点()1,0A -时的斜率和直线l 与曲线C 相切时的斜率即可树形结合得解.
【详解】由()313y kx k k x =+-=-+可知直线l 过定点()1,3P ，
曲线:C y =两边平方得()2
2
10x y y +=≥，
所以曲线C 是以()0,0为圆心，半径为1且位于直线x 轴上方的半圆，
当直线l 过点()1,0A -时，直线l 与曲线C 有两个不同的交点，此时3032
k k k =-+-⇒=
，当直线l 与曲线C 相切时，直线和圆有一个交点，圆心()0,0到直线l
的距离1d ，两边平方
解得43
k =
，所以结合图形可知直线l 与曲线C 恰有两个交点，则4332
k <≤.故选：B.
6. 已知()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛
⎫⎛
⎫=+
+>< ⎪⎪⎝
⎭⎝
⎭为偶函数，()()sin g x x ωϕ=+
，则下列结论不正确的
A. π6
ϕ=
B. 若()g x 的最小正周期为3π，则23
ω=
C. 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为710,33⎛⎫
⎪⎝
⎭
D. 若π4g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为2
【答案】D 【解析】
【分析】先根据()f x 是偶函数求ϕ判断A 选项；根据最小正周期公式计算可以判断B 选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C 选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D 选项.【详解】()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛
⎫⎛
⎫=++>< ⎪⎪⎝
⎭⎝
⎭为偶函数，则
ππππ
π,Z,,,3226
k k ϕϕϕ+=+∈<∴=∣∣A 选项正确；若()g x 的最小正周期为3π，由()sin()g x x ωϕ=+则2π
2
3π,3
T ωω
=
=∴=
，B 选项正确；πππ(0,π),(,π)666
x x ωω∈+
∈+ 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则
5ππ7π710
π,26233
ωω<+≤<≤,C 选项正确；
若π()sin(6g x x ω=+ πππsin +446g ω⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ+2π463k ω
=+或ππ2π
+2π463k ω=+，Z k ∈，则 2
83
k ω=+或28,Z k k ω=+∈，
又因为0ω>，则ω的最小值为2
3
，D 选项错误.
故选:D.
7. 已知()6
12a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项为1280-，则a =（ ）
A. ―2
B. 2
C. D. 1
【解析】
【分析】根据已知条件，结合二项式定理并分类讨论，即可求解.
【详解】由题意，62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()()6662166C 2C 2r
r r r r r
r r a T x a x x ---+-⎛⎫=⋅=- ⎪
⎝⎭
，令620r -=，则3r =，令621r -=-，则7
2
r =
不符合题意，所以()6
12a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭的常数项为()333
6
C 21280a --=-，解得2a =-．故选：A .
8. 已知函数2
2()log f x x mx x =-+，若不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m
的取值范围是（ ）A. 23log 33,89+⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B. 23log 33,94+⎛⎫
⎪⎝
⎭C. 23log 33,94+⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ D. 23log 33,
89+⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】
【分析】不等式()0f x >可化为2log 1x
mx x
-<
，利用导数分析函数()2log x g x x =的单调性，作函数
()1h x mx =-，()2log x
g x x
=
的图象，由条件结合图象列不等式求m 的取值范围.【详解】函数2
2()log f x x mx x =-+的定义域为(0,+∞)，不等式()0f x >化为：2log 1x
mx x
-<
．令()1h x mx =-，()2log x g x x
=，
()222222
1
log e log log e log x x
x x g x x x --='=，故函数()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减．当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，
当01x <<时，()0g x <，
当x →+∞时，()0g x →，当0x >，且0x →时，()g x ∞→-，画出()g x 及()h x 的大致图象如下，
因为不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，故正整数解为1,2．
故()()()()2233h g h g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log 2212
log 3
313m m ⎧
-<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩
，解得23log 3943m +≤<.
故选：C.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数232023
i i i i 1i
z ++++=+ ，则下列结论正确的是（ ）
A. 1i 2
z -=-
B. 1i 2
z -=
C. 1i 2
z +=-
D. z =
【答案】ACD 【解析】
【分析】利用234i+i +i +i 0=对分子化简，然后利用复数的除法化简，可求共轭复数、复数的模依次判断即可得出结果.
【详解】因为i,411,42i ,i,431,4n
n k n k k n k n k
=+⎧⎪-=+⎪=∈⎨
-=+⎪⎪=⎩Z ，所以234i+i +i +i 0=，所以()
()()()23423
23202323505i+i +i +i i i i 1i i i i i i i i 111
i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 22
z +++--++++++-======-++++
++- ，
所以A 正确，B 错误，
111i i=222
z +=---，C 准确，
所以z ==D 正确.
故选：ACD
10. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABC V 的三个内角均小于120°时，使得120AOB BOC COA ︒∠=∠=∠=的点O 即为费马点；当 ABC V 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（ ）A. 正三角形的的费马点是正三角形的中心
B. 若P 为ABC V 的费马点, 且 0PA PB PC ++=u u r u u r u u u r r
，则ABC V 一定为正三角形
C. 若ABC V 三边长分别为2
D. ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ， π
22
A ,bc ∠=
=，若点P 为ABC V 的费马点，
则PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=
.
【答案】ABC 【解析】
【分析】对A ，根据正三角形中心的性质结合费马点定义易判断；对B ，取AB 的中点D ，由
0PA PB PC ++=
可得点P 是ABC V 的重心，再结合条件可得点P 是ABC V 的中心，得证；对C ，利
用三角形旋转，结合费马点定义，构造正三角形转化线段长求解；对D ，由向量数量积定义，结合费马点定义和三角形等面积法列式求解.
【详解】对于A ，如图O 是正三角形ABC 的中心，根据正三角形的性质易得
o 120AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，所以点O 是正三角形ABC 的费马点，故A 正确；
对于B ，如图，取AB 的中点D ，则2PA PB PD += ，因为0PA PB PC ++=
，
所以2PC PD =-u u u r u u u r
，所以,,C P D 三点共线，且点P 是ABC V 的重心，
又点P 是ABC V 费马点，则o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，
则o 60APD BPD ∠=∠=，又AD BD =，易得PA PB =，同理可得PC PB =，所以PA PB PC ==所以点P 是ABC V 的外心，所以点P 是ABC V 的中心，即ABC V 是正三角形.故B 正确；
对于C ，如图，在Rt ABC △中，1AB =
，BC =，2AC =，o 30ACB ∠=，
点O 是Rt ABC △的费马点，将COA 绕点C 顺时针旋转o 60，得到CED △，易证COE ，ACD 是正三角形，
则OC OE =，OA DE =，CD AC =，且点,,,B O E D 共线，所以o
90BCD ∠=
，所以
BD =
=
=又OA OB OC DE OE OB DB ++=
++==，
的
.故C 正确；
对于D ，由费马点定义可得o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，设PA x =，PB y =，PC z =，,,0x y z >，由ABC PAB PAB PAB S S S S =++V V V V
，可得
111122222
xy xz yz ++=⨯，
整理得xy yz xz ++=
，所以111222PA PB PB PC PC PA xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (
)1122xy yz xz =-
++=-=，故D 错误.故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，解答D 选项的关键在于利用三角形等面积法求
出xy yz xz ++=
.11. 在四面体ABCD 中，棱AB 的长为4，AB BD ⊥，CD BD ⊥，2BD CD ==
，若该四面体的体积为
）A. 异面直线AB 与CD 所成角的大小为π3
B. AC
的长可以为C. 点D 到平面ABC
D. 当二面角A BC D --
是钝角时，其正切值为【答案】
ACD
【解析】
【分析】根据等体积法可结合三角形的面积公式可得sin CDE ∠=
A ，根据余弦定理即可求解
B ，根据等体积法即可求解
C ，根据二面角的几何法，结合同角关系即可求解D.
【详解】在平面ABD 内过D 作DE AB ∥，且ED AB =,由于AB BD ⊥，故四边形ABDE 为矩形，
CD BD ⊥，DE BD ⊥，BD DE C = ，CD ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，故BD ⊥平面CDE ，
故11233C ABD C EDA B CDE CDE CDE V V V S BD S ---===
⋅=⨯=
，11
sin 24sin 4sin 22
CDE S CD DE CDE CDE CDE
=⋅⋅∠=⨯⨯∠=∠
故1124sin 233C ABD CDE V S CDE -=
⨯=⨯∠⨯=
，因此sin CDE ∠=由于()0,CDE π∠∈，所以3
CDE π
∠=
或
23
π
，由于CDE ∠为异面直线AB 与CD 所成角或其补角，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为3
π
，A 正确，
当23CDE π∠=
时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，
此时AC ==当3
CDE π
∠=
时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥
，此时
4AC ==,故B 错误，
由于BC =
=,4AB =,
当AC =
cos BAC ∠=
=
sin BAC ∠=
，11sin 422ABC S AB AC BAC =
⋅⋅∠=⨯⨯= ,
当4AC =时，161683cos 2444BAC +-∠=
=⨯⨯
，故sin BAC ∠=
，1
sin 2
ABC S AB AC BAC =
⋅∠= ,故点D 到平面ABC
的距离为d ===,C 正确，当4AC =时，4AB AC ==,2CD BD ==,取BC 中点为O ，连接OA ,OD ,则AOD ∠即为二面角A BC D --
的平面角，
12OD BC =
==
,AO ==所以
22
cos 0AOD ∠==
=<
,故AOD ∠为钝角，符合题意，此
时sin tan cos AOD
AOD AOD
∠∠=
=∠，
当4AC =，由于2DBC
S =
，点A 到平面BDC
距离为d ===,
设A 在平面BDC 的投影为H ,
则
AH =,故
HD
==HC =
=,
因此点O 为以D ,C
为圆心，以半径为,显然交点位于BC ,同D 的一侧，故此时二面角A BC D --为锐角，不符合要求，故D 正确，
故选：ACD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知,a b +∈R ，41a b +=，则
ab
a b
+的最大值是________．【答案】19
【解析】
的
【分析】先求出11a b
+的最小值，再将ab
a b +化为1
11a b
+，即可求得答案.
【详解】因为,a b +∈R ，41a b +=，
故
(
)111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，当且仅当
4b a a b
=，结合41a b +=，即11
,63==a b 时等号成立，
所以11
119ab a b a b =≤
++，即ab a b +的最大值是19，
故答案为：
1
9
13. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角，每个面角是
π
3
，所以正四面体在每个顶点的曲率为π
2π3π3
-⨯
=，故其总曲率为4π．我们把平面四边形ABCD 外的点P 连接顶点A 、B 、C 、D 构成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为______．【答案】4π【解析】
【分析】根据曲率的定义求解即可.
【详解】由定义可得多面体的总曲率2π=⨯顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为()2π5π42π14π⨯-⨯+⨯=.故答案为：4π.
14. 过双曲线22
221(0,0)y x a b a b
-=>>的上焦点1F ，作其中一条渐近线的垂线，垂足为H ，直线1F H 与
双曲线的上､下两支分别交于,M N ，若3NH HM =
，则双曲线的离心率e =__________.
【解析】
【分析】设双曲线右焦点为2F ，HM t =，3NH t =，由题意结合双曲线定义可依次求出1F H 、
1OF 、1F M 、1F N 、2F N 和2F M ，接着分别在1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △中结合余弦定理
求出1cos OF M ∠，进而建立等量关系式求出t ，从而求得2b a =，进而由离心率公式即可得解.【详解】设双曲线右焦点为2F ，由题()10,F c ，双曲线的一条渐近线方程为a
y x b
=-即0ax by +=，
过该渐近线作垂线，则由题1F H b =
，1OF c =，
设HM t =，则由题3NH t =，1F M b t =-，13F N b t =+，所以232F N b t a =+-，22F M b t a =-+，
所以在1Rt F OH 中，111
cos F H b
OF M OF c
∠=
=
①，在12F MF △中，()()()()()
222
222
11221112
||||22cos 222F M F F F M b t c b t a OF M b t c F M F F +--+--+∠=
=
-⋅②，
在12F NF △中，()()()()()
2
2
2
222
11221112
||||3232cos 2322F N F F F N b t c b t a OF M b t c F N F F +-++-+-∠=
=
+⋅③，
由①②得
()()()()()
2
2
2
2222b t c b t a b
b t
c c
-+--+=
-，化简解得ab t a b =+，
由①③得
()()()()()
2
2
2
3232232b t c b t a b b t c c
++-+-=+，化简解得
()3ab t b a =-，所以
()
23ab ab
b a a b b a =⇒=
+-，
故双曲线的离心率
c e a
===
=.
【点睛】思路点睛：依据题意设双曲线右焦点为2F ，HM t =，则结合双曲线定义可得1Rt F OH 、
12F MF △和12F NF △的边长均是已知的，接着结合余弦定理均可求出三个三角形的公共角1OF M ∠的余弦
值1cos OF M ∠，从而可建立等量关系式依次求出t 和2b a =，进而由离心率公式得解.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足(
)*
1N n n S a n =-∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2
2
2
12n n T S S S =+++ ，求n T .
【答案】（1）1()2
n n a = （2）1235111((3232
n n
n n T --=+-⋅【解析】
【分析】（1）应用1n n n S S a --=，再结合等比数列定义及通项公式计算即可；（2）先化简得出2
1
1
1
1()
()2
4
n n n S --+=，再应用分组求和及等比数列前n 项和公式计算.小问1详解】
因为数列{a n }的前n 项和，满足1n n S a =-，当2n ≥时，可得111n n S a --=-，
两式相减得1n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以112
n n a a -=，令1n =，可得1111S a a =-=，解得112
a =，所以数列{a n }构成首项为
12，公比为1
2
的等比数列，所以{a n }的通项公式为1111()(222
n n
n a -=⋅=.【小问2详解】
由（1）知1(2
n
n a =，可得11(2
n
n S =-，
所以2
22111111()]12()()1((22224
[1n n n n n n S -=-⋅=+=-+-，
【
则222121111()[1()]
244(111)111124
n n n n T S S S -⋅-=+++=+++-
+-- 1235111()()3232n n n --=+-⋅.16. 如图，正四棱台ABCD EFGH -中，24,EG AC MN ==上为上下底面中心的连线，且MN 与侧面
.（1）求点A 到平面MHG 的距离；（2）求二面角E HM G --的余弦值.【答案】（1
（2）23
-
【解析】
【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得平面法向量，利用点面距向量公式，可得答案；（2）求得两个平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.【小问1详解】
由题意，易知,,MN MA MB 两两垂直，分别以,,MA MB MN 为,,x y z 轴建立直角坐标系，如下图：
则()()()()1,0,0,0,0,0,0,2,1,2,0,1A M H G --，取()()0,2,1,2,0,1MH MG =-=-
，
设平面MHG 的法向量(),,n x y z = ，则20
20
n MH y z n MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
，令2z =，则1,1x y ==，所以平面MHG 的一个法向量()1,1,2n =
，取()1,0,0MA = ，点A 到平面MHG
的距离MA n d n ⋅===
.【小问2
详解】
由（1）可知()()()()2,0,1,0,2,1,0,0,0,2,0,1E H M G --，
取()()()()2,2,0,2,0,1,2,2,0,2,0,1HE ME HG MG ===-=-
，
设平面EHM 的法向量()1111,,m x y z = ，则11111122020
m HE x y m ME x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =-，则221,2y z ==，所以平面EHM 的一个法向量()11,1,2m =-
，
设平面HMG 的法向量()2222,,m x y z = ，则222222220
20
m HG x y m MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21x =，则111,2y z ==，
所以平面EHG 的一个法向量()21,1,2m =
，
设二面角E HM G --的大小为θ，则
1212
1142
cos 1143m m m m θ⋅-++=-=-=-++⋅ .17. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s 的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布(
)2
,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本标
准差S.
（ⅰ）利用该正态分布，求()250.25399.5P X <<；
（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z 表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E （Z ）；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布(
)2
,N μσ
，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，
()()220.9545,330.99731P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=
.
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x 轴上从原点O 出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都
1
2
，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(),0n 的概率为
()160n P n ≤≤，试证明数列{}1n n P P --是等比数列()259n ≤≤，求出数列{}()160n P n ≤≤的通项公
式，并比较59P 和60P 的大小.
【答案】（1）300 （2）（ⅰ）0.8186；（ⅱ）16.372
（3）证明见解析，1
58
211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭
=⎨⎛⎫
⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩
，5960P P >【解析】
【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案.（2）（ⅰ）根据正态分布的对称性求得正确答案.（ⅱ）根据二项分布的知识求得正确答案.
（3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得n P ，利用差比较法比较59P 和60P 的大小.【小问1详解】
2050.12550.23050.453550.24050.05300x ≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
【小问2详解】
（ⅰ）0.95450.6827
(250.25399.5)0.68270.81862
P X -<<=+
=.
（ⅱ））∵Z 服从二项分布()20,0.8186B ，∴()200.818616.372E Z =⨯=.【小问3详解】当359n ≤≤时，()12112111
,222
n n n n n n n P P P P P P P -----=
+-=--，1221
111131
,,222244
P P P P ==⨯+=-=.
∴{}1(259)n n P P n --≤≤是以
1
4为首项，12
-为公比的等比数列，2
111(259)42n n n P P n --⎛⎫
-=⋅-≤≤ ⎪
⎝⎭
.
2
2132111111,,,(259)44242n n n P P P P P P n --⎛⎫⎛⎫
-=-=⋅-⋯-=⋅-≤≤ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
.
累加得：
1
15816058111422111111,(259),1
362236212
n n n n P P P n P P --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎝⎭-==-⋅-≤≤==+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+.
∴1
58
211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫
⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩
∵5858
5960111111033232P P ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，∴5960P P >.注：比较59P 和60P 的另一个过程：58
596059592112111
,13623622
P P P P ⎛⎫=-⋅>-==-<< ⎪
⎝⎭.18. 已知函数()1
e x
x f x +=
.（1）求函数()f x 的极值；
（2）若不等式()e ln 1x
f x a x +≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）已知直线l 是曲线()y f x =在点()()
,t f t 处的切线，求证：当1t >时，直线l 与曲线()y f x =相交于点()()
,s f s ，其中s t <.
【答案】（1）极大值为1，没有极小值 （2）[]e,0- （3）证明见解析【解析】
【分析】（1）求导，利用导数判断()f x 的单调性和极值；
（2）根据题意可得ln 0x a x +≥恒成立，构建()ln ,0g x x a x x =+>，分类讨论a 的符号，利用导数求最值，结合恒成立问题分析求解；
（3）根据导数的几何意义可得当1t >时，方程211
0e e e
x t t
x tx t t ++++-=有小于t 的解，构建()211
e e e
x t t
x tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >，利用导数研究函数零点分析证明.小问1详解】
由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()e
x x
f x '-=，令()0f x '=时，0x =，则x ，f ′(x )，()f x 的关系为
x
()
,0∞-0(0,+∞)
f ′(x )
+
0-
()
f x 单调递增
极大值
单调递减
所以，当0x =时，()f x 取到极大值为1，没有极小值.【小问2详解】
若()e ln 1x
f x a x +≥，即ln 0x a x +≥恒成立，
设()ln ,0g x x a x x =+>，则()1a x a g x x x
'+=+
=，①当0a =时，则()0g x x =>恒成立，符合题意；
②当0a >时，则()0g x '≥，可知()g x 在(0,+∞)上单调递增，
因为11
e e 10a a g --⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
，所以ln 0x a x +≥不恒成立；
③当0a <时，x ，()g x '，()g x 的关系为
x
()
0,a -a
-()
,a ∞-+()
g x '-
+
【
()
g x 单调递减极小值单调递增
可知()g x 的最小值为()()min ln g x a a a =-+-，则()ln 0a a a -+-≥，因为0a <，则()1ln 0a --≥，解得e 0a ≤-<；综上所述：实数a 的取值范围是[]e,0-.【小问3详解】因为()1e x x f x +=
，()e x x f x '-=，则()1
e t t
f t +=，e t t k -=即切点坐标为1,
e t t t +⎛⎫
⎪⎝⎭
，切线l 斜率为e t
t k -=，可得l 的方程为()1e e t t t t y x t +--=-，即21
e e
t t
t t t y x -++=+，联立方程21
e e 1e t t
x
t t t y x x y ⎧
-++=+
⎪⎪
⎨
+⎪=⎪⎩，可得2110e e e x t t
x tx t t ++++-=，由题可知：当1t >时，方程211
0e e e
x t t
x tx t t ++++-=有小于t 的解，设()211e e e
x t t
x tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >且()0h t =，则()e e x t x t h x '-=+，设()()F x h x ='，则()1
e x
x F x '-=
，因为1t >，x ，()F x '，F (x )的关系为
x
()
,1∞-1
()
1,t ()
F x '-
+
F (x )
单调递减
1e e
t t -+，单调递增
可知F (x )的最小值()()()min 10F x F F t =<=，且()1e 0e t
t
F -=+>，可知()01,1x ∃∈-，使()00F x =，
当()0,x x ∞∈-时，()0F x >，即h ′(x )>0；
当()0,x x t ∈时，()0F x <，即h ′(x )<0；
可知h (x )在()0,x ∞-内单调递增；在()0,x t 内单调递减，
可知h (x )的最大值()()()0max 0h x h x h t '=>=，且()()2110e t t h -+-=
<，可知h (x )存在小于t 的零点，
所以当1t >时，直线l 与曲线y =f (x )相交于点()(),s f s ，其中s t <，得证.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
19. 蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M 的方程为222()x y b r +-=，直线x my =与圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y ，直线x ny =与圆M 交于()33,E x y ，()44,F x y ．原点O 在圆M 内．设CF 交x 轴于点P ，ED 交x 轴于点Q ．
（1）当0b =
，r =，1
2
m =-，2n =时，分别求线段OP 和OQ 的长度；（2）①求证：34121234
y y y y y y y y ++=．②猜想|OP |和|
OQ |的大小关系，并证明．
【答案】（1）53
OP OQ == （2）①证明见解析；②猜测OP OQ =，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求,,,C D E F 各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线CF 和ED 的方程，并求它们与x 轴的交点坐标，可得问题答案.
（2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立.
②分别求出点P 和点Q 的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立.
【小问1详解】
当0b =
，r =，1
2
m =-，2n =时，圆M ：225x y +=，
直线CD ：12x y =-，由22512x y x y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩
⇒12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，故()1,2C -，()1,2D -；直线EF ：2x y =，由2252x y x y
⎧+=⎨=⎩⇒21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，故()2,1E ，()2,1F --.所以直线CF :122112y x ++=+-+，令0y =得53x =-，即5,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
；直线ED :122112y x --=---，令0y =得53x =，即5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.所以：53
OP OQ ==
.【小问2详解】
①由题意：22b r <.
由()222x y b r x my ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩⇒()()222my y b r +-=⇒()2222120m y by b r +-+-=，则1y ，2y 是该方程的两个解，由韦达定理得：12222122211b y y m b r y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩
，
所以1222
122y y b y y b r +=⋅-.同理可得：3422342y y b y y b r +=⋅-，所以34121234
y y y y y y y y ++=⋅⋅.②猜测OP OQ =，证明如下：
设点(),0P p ，(),0Q q .
因为,,C P F 三点共线，所以：414100y y x p x p --=--⇒411414
x y x y p y y -=-，又因为点C 在直线x my =上，所以11x my =；点F 在直线x ny =上，所以44x ny =.所以()1441141414
y y n m ny y my y p y y y y --==--；同理因为,,E Q D 三点共线，可得：()
2323y y n m q y y -=
-.由①可知：34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅⇒12341111y y y y +=+⇒14321111y y y y -=-⇒23411423
y y y y y y y y --=⋅⋅⇒23141423
0y y y y y y y y ⋅⋅+=--， 所以()()14231423y y n m y y n m p q y y y y --+=+--()23141423y y y y n m y y y y ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭
0=.即p q =-，所以OP OQ =成立.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是联立直线与圆的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，进行化简处理，设计多个字母的运算，整个运算过程一定要小心、仔细.。