求曲线的方程 课件

l1
⊥
l2
，
பைடு நூலகம்
所
以
|PM|
＝
1 2
|AB|.
而
|PM|
＝
x－22＋y－42，
|AB|＝ 2x2＋2y2，
所以 2 x－22＋y－42＝ 4x2＋4y2，
化简，得 x＋2y－5＝0 为所求轨迹方程．
[点评] 1.直译法求轨迹方程是常用的基本方法，大多数 题目可以依据文字叙述的条件要求，直接“翻译”列出等式整 理可得．
[解析] 解法一：如图所示，设点 A(a,0)，B(0，b)，M(x， y)，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 a＝2x，b＝2y，即 A(2x,0)， B(0,2y)．因为 l1⊥l2，所以 kAP·kPB＝－1.而 kAP＝24－－20x(x≠1)， kPB＝42－－20y，
所以1－2 x·2－1 y＝－1(x≠1)． 整理得，x＋2y－5＝0(x≠1)．
(5)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标 x， y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程．
(6)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参 数，例如求动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立 这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程．
命题方向 直译法求曲线的方程 [例 1] 过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1、l2，若 l1 交 x 轴于 A 点，l2 交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨 迹方程．
(3)待定系数法：根据条件能知道曲线方程的类型，可设出 其方程形式，再根据条件确定待定的系数．
(4)代入法：动点 M(x，y)随着动点 P(x1，y1)的运动而运动， 点 P(x1，y1)在已知曲线 C 上运动，可根据 P 与 M 的关系用 x， y 表示 x1，y1，再代入曲线 C 的方程，即可得点 M 的轨迹方程．
因为当 x＝1 时，A、B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，所以线 段 AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x＋2y－5＝0.
综上所述，点 M 的轨迹方程是 x＋2y－5＝0.
解法二：设 M(x，y)，则易知 A、B 两点的坐标分别是(2x,0)，
(0,2y) ， 连 结
PM. 因 为
[点评] 在求轨迹方程时，要注意挖掘题目中的隐含条件， 若轨迹满足已知曲线的定义，选取定义法求轨迹方程较简便．
命题方向 定义法求曲线方程 [例 3] 设圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意 弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
[解析] 设所作弦的中点为 P(x，y)，连结 CP，则 CP⊥OP， |OC|＝1，OC 的中点 M(12，0)，∴动点 P 的轨迹是以点 M 为圆 心，以 OC 为直径的圆，∴轨迹方程为(x－12)2＋y2＝14.∵点 P 不能与点 O 重合，∴0<x≤1，故所作弦的中点的轨迹方程为(x －12)2＋y2＝14(0<x≤1)．
2．解题过程中，要注意使用某种形式时是否受到某些条 件的限制而丢掉个别点，如使用斜率求解时限制条件是斜率存 在，因而可能漏掉斜率不存在的点．必须找一找是否漏掉了．有 时也可能使范围扩大了，多出了不合要求的点，要通过最后的 检验“防失、去伪”．
命题方向 代入法求曲线的方程 [例 2] 已知△ABC 的两个顶点坐标为 A(－2,0)，B(0， －2)，第三个点 C 在曲线 y＝3x2－1 上移动，求△ABC 重心 的轨迹方程．(注：设△ABC 顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3， y3)，则△ABC 重心坐标为 G(x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3)．)
曲线方程的求法
1．解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程 ； (2)通过曲线的方程，研究 曲线的性质 ．
2．求曲线的方程的步骤
求曲线方程的常用方法 (1)直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动 点的几何关系，再利用解析几何的有关公式进行整理、化简． (2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定 方程，再确定其中的基本量．
[解析] 设 C(x1，y1)，重心 G(x，y)，由重心坐标公式得 3x＝－2＋0＋x1,3y＝0－2＋y1，
即 x1＝3x＋2，y1＝3y＋2， ∵C(x1，y1)在曲线 y＝3x2－1 上， ∴3y＋2＝3(3x＋2)2－1. 化简得 y＝9x2＋12x＋3. 故△ABC 的重心的轨迹方程为 y＝9x2＋12x＋3.(不包括和 直线 AB 的交点)