基于有载频率的简支梁桥自振频率计算方法

4B 1B 3 2 B4 + B 4 3 B1 B3 i B4
2
( 12c)
其中 a1 = s nm b 1m s1 , a2 =
n b1 t1 2 t1 n 1
2 n n b1
s m b1 m s1+ sn ( m b1 + m s1 ) k b 1
第 24 卷第 1 期 2011 年 2 月
振 动 工 程 学 报
Journal o f Vibrat ion Engineering
Vo l. 24 N o. 1 F eb. 2011
基于有载频率的简支梁桥自振频率计算方法
谭国金, 宫亚峰, 程永春, 刘寒冰, 王龙林
( 吉林大学交通学院 路桥系 , 吉林 长春 130022) 摘要 : 由于车辆的存 在 , 在桥梁的 动力试验中 , 测试到的桥梁频率 实际上是以桥梁振 动为主要振 动形式的 车 桥耦 合系统的振动频率 ( 工程上称为有载频率 ) , 而非桥梁自身的固有频率。基于车 -桥系统的耦合振动模型和模态分析 技术 , 提出了多个车辆作用下的桥梁有载频率计算方法。在中小跨径的公路桥梁的动态检 测中 , 往往采用单个车辆 对桥梁进行激振。对此推导出了单个车 辆作用下的桥梁有载频率的简便计算公式。基于单个车辆作用下的桥梁有 载频率计算公式 , 进一步得到了基于有载频率计算桥梁自振频率的解析表达式。最后以某 钢筋混凝土梁为例 , 采用 有限元方法计算出的桥梁有载频率为基础数 据 , 充分验证了方法的可行性和有效性。 关键词 : 桥梁工程 ; 桥梁自振频率 ; 桥梁有载频率 ; 车 -桥耦合系统 ; 模态分析 方法 中图分类号 : T U 352. 12; T U 311. 3 文献标 识码 : A 文章编号 : 1004-4523( 2011) 01-003105
图 1 车 -桥相互作用模型
¨ N 2 n
s nq n( t ) = N
∑
i= 1
n
( x = ai ) m bi y bi ( t) ( 5)
¨
在此车辆 -桥梁的相互作用系统中, m 为桥梁单 位长度的质量, E 为桥梁的弹性模量, I 为桥梁截面 的抗弯惯性矩 , y ( x , t ) 为桥梁的位移 , m bi 为第 i 个车 辆的车体质量, y bi ( t ) 为第 i 个车辆车体质量的绝对 位移, m si 为第 i 个车辆的车轮质量, y si ( t ) 为第 i 个车 辆车轮质量的绝对位移, ai 为第 i 个车辆距梁端的 距离。 k bi 为第 i 个车辆的悬架刚度 , k ti 为第 i 个车辆的 轮胎刚度。 应用达朗伯原理 , 第 i 个车辆的车体质量运动 方程和第 i 个车辆的轮胎质量运动方程分别为 m bi y bi + k bi [ y bi ( t ) - y si ( t) ] = 0 m si y si ( t) + k ti [ y si ( t) - y ( x , t ) ( x - a i ) ] k bi [ y bi ( t) - y si ( t ) ] = 0 ( 2) 对车-桥系统进行受力分析可知 , 每个车辆轮胎 对桥梁的作用力由车辆的重力和惯性力两部分组 成。 因此可建立由 N 个车辆作用下的桥梁竖向运动 方程
[ 8] [ 7]
1 理论模型的建立
1. 1 多个车辆 -桥梁系统运动方程的建立 假设简支梁为欧拉 -柏努利梁 , 并忽略桥梁和车
收稿日期 : 200911-12; 修订日期 : 2010-0625 基金项目 : 国家高科技计划 863 项目 ( 2009A A 11 Z104) ; 吉林 省交通厅项目 ( 200811, 2009114) ; 吉林大 学创新团队项 目 ( 2009008) ; 高等学校博士学科专项科研 基金项目 ( 20100061120066, 20090061110036) ; 吉林 大学科学前沿 与交叉学科创新项目 ( 201003040) ; 吉林大学‘ 985 工程’ 项目资 助
2 ¨ ¨
∑
i= 1 N
n
( x = a i ) m si y si + c n0
n
¨
式 中 cn0 =
∑
i= 1
( x = ai ) ( m bi + m si ) g , sn =
∫ m
0
l
ml , n 为桥梁的第 n 阶角频率。 2 同样利用模态分析的方法 , 对车辆运动方程( 1)
2 n
n
( 12b)
为车辆作用下 , 车-桥系统的振动频率。 = - B 1B 4 3 B1 B4 -
在 式 ( 8) 中 , cn1 为桥 梁不同阶振型之间的耦合 项 , 由结构动力学可知 , 高阶振型对低阶的耦合作用 不大, 低阶振型对高阶的耦合作用较大, 而在桥梁动 力测试中, 往往需要测试的是低阶振型, 所以可以认 为解耦后的桥梁振动方程只以某阶振动形式振动, 其他阶振动形式对其没有影响, 则可令 c n1= 0。 若 c0 = 0, 则认为桥梁以车辆重力作用下产生的 静力位移为振动平衡位置 , 认为车辆重力作用下产 生的静力位移较小 , 因此可以忽略, 即有 c0= 0。 求解振动频率 n 最直接的方法是把式( 9) 代入 车 -桥系统的广义自由振动方程 ( 8) 中, 代入后的方 程可写为 2 n
2 n T T 2
=
2B 1B 4 +
8B 1B 3 + B2 B4 4B 1B 3 + B2 + B4 4 3 B1 B3 i B4
( 12a)
n2 2 n
= - B 1B 4 3 B1 B4 -
t = [ Q X b1 X s 1… X bN X sN ] sin
t ( 9)
n3 2
式中 Q n, X bi , X si 分别为广义坐标 q n, y bi , n, y si , n 的振
分布到桥梁上, 忽视了车辆作为振动体对桥梁有载 频率的影响 。 由于没有考虑车辆的动力特性 , 这些 方法并不能准确地从测试到的有载频率中分析出桥 梁的自振频率。 苏木标教授建立了车-桥系统的振动方程 , 对铁 路简支梁桥的有载频率进行了研究 。任剑莹对连 续梁桥竖向有载频率进行了推导 , 并采用有限元方 法进行了计算 [ 9] 。 De Roeck G 等采用有限元方法计 算出在车辆作用下的桥梁动力响应, 从动力响应中 分析出桥梁在车辆作用下的有载频率[ 10] 。 上述研究 考虑了车辆的动力特性, 计算了桥梁的有载频率。 但 并没有进一步给出基于有载频率计算桥梁自振频率 的理论公式。 本文基于车-桥系统的耦合振动模型和模态分 析技术, 提出了多个车辆作用下的桥梁有载频率计 算方法。基于单个车辆作用下的桥梁有载频率计算 公式 , 得到了基于有载频率计算桥梁自振频率的解 析表达式。
NN ¨
( 1)
( 6)
m 其中
N
y ( x , t ) + EI 2 t
4
y ( x , t) = p 4 x
¨
( 3)
( 7)
式中
c kn1, i = k ti
k = 1, k ≠n
∑
q k ( t ) k ( x = ai ) 。
p =
∑ (xi= 1 ¨
a i ) [ ( m bi + m si ) g - m bi y bi ( t ) -
1. 2 多个车辆作用下桥梁频率的求解 用广义坐标表示的桥梁和车辆的运动方程, 即 式( 5) , ( 6) 和( 7) 。在此用广义坐标的矩阵形式表示 车辆 -桥梁系统的运动方程。 Mu + Ku - cn1 - c 0 = 0 式中
¨
m si y si ( t ) ] ( x - ai ) = 1, x = a i 0, x ≠ a i
T
ckn1, 1
0 c kn1, N y bN , n
车辆对桥梁进行激振 , 所以讨论单个车辆作用下桥 梁有载频率的计算方法, 对于简支梁桥显得尤为重 。 要。 当单个车辆作用时, 桥梁有载频率则可以表示为
n1
y b 1, n y s1, n
y sN , n
根据车辆和桥梁的振动特性, 认为车辆和桥梁 都为简谐振动 , 则有 u = [ q n y b 1, n y s1, n … y bN , n y sN , n] = Usin 幅;
( x ) dx =
和( 2) 进行解耦。 由式 ( 5) 可知 , 解耦后的桥梁运动方 程为单自由度系统运动方程。由于每个车辆具有 2 个自由度, N 个车辆便有 2N 个自由度。 由于N 个车 辆和桥梁共同运动 , 与桥梁 n 阶振动相对应 , 车 -桥 系统将有2N + 1 阶振动形式。 因此车-桥系统中的单 个 自由度的车辆将会拥有 2 N + 1 阶不同的振动形 式。 设y bi , n( t ) 和y si ,相对应的第 n 阶振动位移。则式( 1) 为 m bi y bi , n( t ) + k bi [ y bi , n( t ) - y si , n ( t) ] = 0 式( 2) 可表示为 ¨ m si y si , n( t ) + k ti y si , n ( t) - k ti q n ( t) n( x = ai ) ckn1, i - k bi y bi , n ( t) + k bi y si , n( t ) = 0
当单个车辆作用时桥梁有载频率则可以表示为c0ckn1ckn1根据车辆和桥梁的振动特性认为车辆和桥梁都为简谐振动则有8b1b2b1b4b1bsi分别为广义坐标qn为车辆作用下车2桥系统的振动频4b1b由结构动力学可知高阶振型对低阶的耦合作用不大低阶振型对高阶的耦合作用较大而在桥梁动力测试中往往需要测试的是低阶振型所以可以认为解耦后的桥梁振动方程只以某阶振动形式振动其他阶振动形式对其没有影响则可令cn则认为桥梁以车辆重力作用下产生的静力位移为振动平衡位置认为车辆重力作用下产生的静力位移较小因此可以忽略即有c0snmb1ms1snmb1ms1snmb1b1ms1b1ms1b1mb1t1mb1程可写为由于三次方程求根公式的表达形式问题和12c从表达式上看为两个对偶虚根
振频率的理论方法均把车辆简化为不同的质量形式
引 言
在以车辆作为激励源的动力试验 ( 如跳车试验、 跑车试验) 和桥梁实时监测过程中, 桥梁上均有车辆 的作用。 由于车辆的存在, 车辆与桥梁共同组成了车 -桥耦合振动体系。在桥梁的动力试验中, 测试到的 桥梁频率实际上是以桥梁振动为主要振动形式的车 -桥耦合系统的振 动频率, 而非桥梁自 身的固有频 率 , 工程上常把车 -桥系统的桥梁测试频率称为桥梁 有载频率。 研究表明 , 对于中小跨径的桥梁 , 车辆作用下的 桥梁有载频率与自振频率之间的差值要比桥梁自身 损伤引起的自振频率变化量大[ 1] 。 1997 年 Charles R F arrar 等 和 2003 年 Chul Young Kim 等通过对实际桥梁进行了动力测试, 得出 了桥梁的有载频率与自振频率之间存在较大差别的结 论[ 2, 3] 。 如果把测试到的有载频率当作自振频率对桥梁 进行状态评估, 将会产生很大的误差。因此, 如何从测 试到的有载频率中获取桥梁的自振频率至关重要。 有些桥梁工作者把车辆简化为不同的质量分布 形式对此问题进行了研究[ 4～6] , 给出了桥梁有载频 率的计算公式。并且形成了一个基于有载频率计算 桥梁自振频率的理论公式 , 目前包括中国桥梁检测 规范在内的许多基于测试到的有载频率计算桥梁自
利用模态分析方法 , 对桥梁运动方程( 3) 进行解 耦, 令 sn 0 M= 0 0 0 ( x = a1) m b1 mb1 0 0 0 ( x = a1 ) m s1 0 ms 1 0 0
( 8)
n
n
… … … … …
n
( x = aN ) m bN 0 0 m bN 0
n
( x = a N ) m sN 0 0 - m bN m sN
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NN
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辆的阻尼 , 多个 车辆 -桥梁的 相互作 用模型 如图 1 所示。
y ( x , t) =
∑q ( t )
i i= 1
i
( x)
( 4)
式中 i ( x ) 为桥梁的第 i 阶振型函数 , q i ( t ) 为对应 的第 i 阶广义( 模态) 坐标。把式( 4) 代入式( 1) 中, 两 边同乘 n( x ) , 并从 0 到 l 进行积分运算 , 利用振型的 正交性, 可得 s n q n ( t) +
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2 n
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sn
0 k b1 - kb1 0 0
T T
0 - kb1 k t 1 + k b1 0 0
… … … … …
0 0 0 0 0
0 0 0 k bN - k bN
0 0 0 - k bN k tN + k bN
0 K= - k t 1 n ( x = a1 ) 0 - k tN n ( x = aN ) c0 = cn1 = u= qn 0 0 cn0 0 … … … 0