广东省珠海市2018-2019学年高二数学下学期期末学业质量监测试题理科(含答案)

珠海市2018～2019学年高二下学期期末学业质量监测
数学理试题
试卷满分为150分，考试用时120分钟．考试内容：选修2-2、选修2-3．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1.已知z C ∈，()2zi bi b R =-∈，z 的实部与虚部相等，则b =（） A.
2
B.
12
C. 2
D. 12
-
【答案】C 2.函数1
21
x y x -=
+在()1,0处的切线与直线l :y ax =垂直，则a =（） A. 3
B. 3
C.
13
D. 13
-
【答案】A
3.若随机变量X 满足(),X B n p ~，且3EX =，9
4
DX =
，则p =（） A.
14
B.
34
C.
12
D.
23
【答案】A
4.若函数()y f x =的图像如下图所示，则函数()'y f x =的图像有可能是（）
A. B. C. D.
【答案】A
5.如图所示阴影部分是由函数x
y e =、sin y x =、0x =和2
x π
=
围成的封闭图形，则其面积是（）
A. 22e π
+ B. 22e π
-
C. 2e π
D. 22e π
-
【答案】B
6.某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表
由()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++得，27.8K ≈.
根据2K 表
得到下列结论，正确的是（）
A. 有99%以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”
B. 有99%以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”
7.已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则
2AG
GD
=．”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A BCD -中，若BCD V 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO
OM
=（ ） A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
8.从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不同的选法有()种 A. 1190 B. 420 C. 560 D. 3360
【答案】B
9.从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件A ：取到两数之和为偶数，事件B ：取到两数均为偶数，则()|P B A =（） A. 15
B.
14
C.
13
D.
12
【答案】D
10.已知13个村庄中，有6个村庄道路在维修，用X 表示从13个村庄中每次取出9个村庄中道路在维修的
村庄数，则下列概率中等于25
67
9
13
C C C 的是（ ） A. ()2P X ≥ B. ()2P X = C. ()4P X ≤
D. ()
4P X =
【答案】D
11.直线l ：0mx ny +=，{},1,2,3,4,5,6m n ∈，所得到的不同直线条数是（） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25
【答案】B
12.凸10边形内对角线最多有( )个交点 A. 2
10A B. 2
10C
C. 4
10A
D. 4
10C
【答案】D
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 13.若()'1f a =，则()()
121lim
x f x f x
∆→+∆-=∆____
14.()()2
221z m m i m R =-+-∈，其共轭复数z 对应复平面内的点在第二象限，则实数m 的范围是____．
【答案】12⎛
⎫ ⎪⎝⎭
15.若()8
0a x a x ⎛⎫+< ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项为5670，则展开式中各项系数的和为____． 【答案】256
16.若()sin 2cos2f x x x =+，则'6f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
____
【答案】117.正态分布()2
,X N
μσ:三个特殊区间的概率值()0.6826P X μσμσ-≤<+=,
()220.9544P X μσμσ-≤<+=,()330.9974P X μσμσ-≤<+=,若随机变量X 满足
()21,2X N :，则()35P X ≤<=____．
【答案】0.1359
18.已知,a b ∈R ，且()2
2120a a i a bi +++++=，则a bi +=____．
19.观察下列等式：
11=，3211=
123+=，332123+=
1236++=，33321236++=
……
可以推测3333123n +++⋅⋅⋅+=____（*n N ∈，用含有n 的代数式表示）．
【答案】()2
12n n +⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
或()2
214n n +或()2123n +++⋅⋅⋅+ 20.若()f x 是定义在()(),00,D =-∞+∞U 上的可导函数，且()()'xf x f x >，对x D ∈恒成立．当
0b a <<时，有如下结论：
①()()bf a af b >，②()()bf a af b <，③()()af a bf b >，④()()af a bf b <， 其中一定成立的是____． 【答案】①
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 21.已知函数()()32
103
f x x x mx m =
++>. （1）1m =时，求在点()()1,1P f 处
函数()f x 切线l 方程；
（2）8m =时，讨论函数()f x 的单调区间和极值点． 解：（1）∵1m =时，()32
13
f x x x x =-++, ∴()2
'21f x x x =-++，
∴()5
13
f =
，()'12f =， ∴在点()()1,1P f 处的切线l ：
()5
213
y x -=-， 即l ：6310x y --=. （未化成一般式扣1分）
（2）∵8m =时，()32
183
f x x x x =-++，
∴()2
'28f x x x =-++，
∴其360∆=>，
由()'0f x =解得12x =-，24x =，
当2x <-或4x >时()'0f x <，当24x -<<时()'0f x >， ∴()f x 在(),2-∞-和()4,+∞上单减，在()2,4-上单增，
2x =-为()f x 的极小值点，4x =为()f x 的极大值点.
综上，()f x 的减区间是(),2-∞-和()4,+∞，增区间是()2,4-；
的
2x =-为()f x 的极小值点，4x =为()f x 的极大值点.
22.
已知()*310,,23n
x n N n x ⎫≠∈≥⎪⎭的展开式中第三项与第四项二项式系数之比为34． （1）求n ；
（2）请答出展开式中第几项是有理项，并写出推演步骤（有理项就是x 的指数为整数的项）．
解：（1）由题设知()
()()
2312112321
n n n n C n n n C -⨯=--⨯⨯ 3324
n =
=-， 解得6n =. （2）∵6n =，
∴展开式通项7636216
3133r
r
r
r r
r r C T C x
x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
， ∵06r ≤≤且r N ∈，
∴只有0,2,4,6r =时，1r T +为有理项， ∴有理项是展开式的第1，3，5，7项.
23.袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，其中红球3个白球2个，现每次从中不放回的取出一球，直到取到白球停止．
（1）求取球次数X 的分布列； （2）求取球次数X 的期望和方差． 解：（1）由题设知，1,2,3,4X =，
()2
15
P X ==
()323
25410P X ==⋅=
()3221
35435P X ==⋅⋅=
()3211
454310
P X ==⋅⋅=
则X 的分布列为
（2）则取球次数X
期望
2311
12342510510
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，
X 的方差()()()2222311222325105DX =-⨯+-⨯+-⨯()2
142110
+-⨯=.
24.某育种基地对某个品种的种子进行试种观察，经过一个生长期培养后，随机抽取n 株作为样本进行研究。

株高在35cm 及以下为不良，株高在35cm 到75cm 之间为正常，株高在75cm 及以上为优等。

下面是这n 个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁。

请根据可见部分，解答下面的问题：
（1）求n 的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；
的
（2）通过频率分布直方图估计这n 株株高的中位数（结果保留整数）；
（3）从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2株，记X 表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量X 的分布列（用最简分数表示）． 解：（1）由第一组知
1
0.002520n
=，得20n =， 补全后的频率分布直方图如图
（2）设中位数为0x ，
前三组的频率之和为0.050.10.20.350.5++=<， 前四组
频率之和为0.050.10.20.450.80.5+++=>，
∴[)075,95x ∈，
∴()0750.02250.15x -⨯=， 得0245
823
x =
≈， ∴估计这n 株株高的中位数为82.
（3）由题设知132,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
:，
则()2
02
749020400
P X C ⎛⎫==⋅= ⎪
⎝⎭ ()1
271391
12020200
P X C ==⋅
⋅=
的
()2
2213169220400
P X C ⎛⎫==⋅=
⎪⎝⎭ X 的分布列为
25.函数()()1ln 0, 2.71828x
f x x a e ax
-=
+>≈. （1）若函数()f x 在[
)1,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）求证：n N ∈，2n ≥时，111
1
234n n e +++⋅⋅⋅+>.
（1）解：∵()1ln x
f x x ax
-=
+，0x >， ∴
()2
1'x a f x x -=
，
∵()f x 在[
)1,+∞上为增函数， ∴
()2
1
'0x a f x x
-=
≥在[)1,+∞上恒成立， 即1
a x ≥
在[)1,+∞上恒成立， ∵1
01x
<
≤， ∴1a ≥，
∴a 的取值范围是[
)1,+∞.
（2）证明：由（1）知1a =时，()1ln x
f x x x
-=
+在[)1,+∞上为增函数，
∴令1
n
x n =
-，其中n N ∈，2n ≥， 则1x >， 则()()11n f x f f n ⎛⎫
=>
⎪-⎝⎭
， 即
111ln ln 0111n
n n n n n n n n -
-+=-+>---， 即()1ln ln 1n n n
-->
， ∴1ln 2ln12
->
1
ln 3ln 23->
1
ln 4ln 34
->
……
()1ln ln 1n n n
-->
， ∴累加得1111ln 234n n
>
+++⋅⋅⋅+， ∴111
1
ln 234n n n e e +++⋅⋅⋅+=>.。