高中数学第10章三角恒等变换10.2二倍角的三角函数必修第二册高一必修第二册数学

第10章 三角 恒等变换 (sānjiǎo)
10.2 二倍角的三角函数(sānjiǎhánshù)
12/12/2021
第一页，共四十七页。
·
情
学习目标
核心素养
课
景 导
1.会从两角和的正弦、余弦、正切
堂 小
学
1.通过对二倍角公式的推导，培 结
·
探 公式导出二倍角的正弦、余弦、正
提
新
知 切公式．(重点)
提 素 养
合 作 探 究
＝122sin1π2cos1π2＝12sinπ6＝12×12＝14.
课 时 分
层
释
作
疑
业
难
·
返
首
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第二十三页，共四十七页。
·
情
活用“倍角”关系(guān xì)巧解题
课
景
堂
导
小
学
[探究问题]
结
·
探
提
新 知
1．已知 cosπ4－x的值，如何求 sin 2x 的值？
堂 小 结
·
探
提
新 知
又因为 sin 2α＝153，
素 养
合
作
所以 cos 2α＝－ 1－sin22α
探
课 时
究
释 疑 难
＝－
1－1532＝－1123.
分 层 作 业
·
返
首
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第十二页，共四十七页。
于是 sin 4α＝2sin 2αcos 2α
情
课
景 导 学
＝2×153×－1123＝－112609；
课
探
时
究
分
否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化； 层
释
作
疑
难 要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．
业
·
返
首
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第二十页，共四十七页。
·
情
课
景
堂
导 学
[跟进训练]
小 结
·
探 新
2．求下列各式的值：
提 素
知
养
合 作
(1)2sin1π2cos1π2；
时 分 层 作
疑
业
难
·
返
首
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第九页，共四十七页。
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
合作
探究
释疑
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返
首
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第十页，共四十七页。
·
情
直接(zhíjiē)应用二倍角公式求值
课
景
堂
导 学
探
【例 1】
已知 sin 2α＝153，π4＜α＜π2，求 sin 4α，cos 4α，tan 4α
课 堂 小
学
结
探 新 知
[解] ∵π4－x＋π4＋x＝π2，
·
提 素 养
合 作
∴cosπ4＋x＝sinπ4－x＝153.
探
课 时
究
释 疑 难
∵sin12－x－ta2nsxin2x＝2sin
xcos x－2sin2x
1－csoins
x x
分 层 作 业
·
返
首
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第三十一页，共四十七页。
素
知
养
合 作
＝cos(60°＋4×360°)＝cos 60°＝12；
课
探
时
究
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
分 层
释
作
疑 难
＝－tan 60°＝－ 3；
业
·
返
首
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第二十二页，共四十七页。
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探 新 知
(4)原式＝cos1π2cosπ2－1π2＝cos1π2sin1π2
素 养
合
作 探 究
[提示] 可利用 sin 2x＝cosπ2－2x＝2cos2π4－x－1 求解．
课 时 分 层
释
作
疑
业
难
·
返
首
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第二十四页，共四十七页。
·
情
课
景 导 学
2．当题设条件中含有“π4±x”及“2x”这样的角时，如何快速解
堂 小 结
·
探
提
新 知
题？
素 养
合
作 探
[提示]
·
小 结
提
新
素
知 的值．
养
合
作 探
[思路点拨]
先由 α 的范围求 2α 的范围，并求出 cos 2α 的值，
课 时
究 进而求出 sin 4α，cos 4α 及 tan 4α 的值．
分 层
释
作
疑
业
难
·
返
首
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第十一页，共四十七页。
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情
课
景 导 学
[解] 由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π.
页
第十四页，共四十七页。
·
情
课
景
堂
导 学
[跟进训练]
小 结
·
探 新
1．求下列各式的值．
提 素
知
养
合 作
(1)sinπ8sin38π；(2)cos215°－cos275°；
课
探
时
究
释 疑
(3)2cos2152π－1；(4)1－tatnan3203°0°.
分 层 作 业
难
·
返
首
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第十五页，共四十七页。
·
情
课
景 导 学
＝2sincxoscxo－s xs－insxin x＝2sin xcos x＝sin 2x，
·
堂 小 结
探
提
新
cos x
素
知
养
合 作
又 sin 2x＝－cosπ2＋2x＝1－2cos2π4＋x＝1－2×12659＝111699.
页
第二十八页，共四十七页。
·
情
课
景
堂
导
小
学
1．(变结论)本例条件不变，求 cos 2x.
结
·
探 新 知
[解] ∵0<x<π4，
提 素 养
合 作 探
∴0<π4－x<π4，由 sinπ4－x＝153，
课 时
究
分
释 疑 难
得 cosπ4－x＝1123，
层 作 业
·
返
首
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第二十九页，共四十七页。
分 层 作
疑
业
难
·
返
首
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第七页，共四十七页。
·
情
课
景
堂
导
2．若 tan α＝3，则 tan 2α＝________.
小
学
结
·
探
提
新
素
知 合
－34 [∵tan α＝3，∴tan 2α＝1－2tatnanα2α＝21× －39＝－34.]
作
养 课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返
首
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·
情
课
景
堂
导
小
学
探 新
cos 2x＝sinπ2－2x＝sin 2π4－x
·
结
提 素
知
养
合
＝2sinπ4－xcosπ4－x
作
课
探 究
释
＝2×153×1123＝112609.
时 分 层 作
疑
业
难
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返
首
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第三十页，共四十七页。
·
情 景 导
2．(变结论)本例条件不变，求sin12－x－ta2nsxin2x的值．
·
情
课
景
堂
导
小
学
探 新
[解] (1)∵sin38π＝sinπ2－π8＝cosπ8，
·
结
提 素
知
养
合
∴sinπ8sin38π＝sinπ8cosπ8
作
课
探
时
究 释
＝12·2sinπ8cosπ8＝12sinπ4＝ 42；
分 层 作
疑
业
难
·
返
首
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第十六页，共四十七页。
·
情
课
景 导
(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，
探新
知
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返
首
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第三页，共四十七页。
情
课
景
堂
导 学
探
若 sin α＝35，α∈π2，π，求 sin 2α，cos 2α 的值．
·
小 结
提
新
思考上述题目，并回答下列问题．
素
知
养
·
1．你还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？
合
作 探
2．你写的这三个公式中角 α、β 会有特殊关系 α＝β 吗？此时公
堂 小
学
结
·
探 新 知
∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝ 23；
提 素 养
合 作 探
(3)2cos2152π－1＝cos56π＝－ 23；
课 时
究
分
释 疑 难
(4)1－tatnan3203°0°＝12×1－2tatnan3203°0°＝12tan
60°＝
课 时
究 式变成什么形式？
分 层
释
疑 难
3．在得到的 C2α 公式中，还有其他表示形式吗？
作 业
·
4．细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？
返
首
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第四页，共四十七页。
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探 新
倍角公式
提 素
知
养
(1)sin 2α＝__2_s_in__α_co_s__α___；
合
页
第十八页，共四十七页。
情 景 导 学
探 新 知
[解]
原式＝2csoisnπ4π42－－coααs2·cαo－s21π4－α
·
课 堂 小 结
提 素 养
·
·
合 作 探 究
＝2sin4π2－cosα2·αc－os1π4－α
课 时 分 层
释
作
疑 难
＝2ccoos2s α2－α 1＝ccooss 22αα＝1.
(2)1－2sin2750°；
课
探
时
究
释 疑
(3)1－2tatnan125105°0°；
π 5π (4)cos12cos12.
分 层 作 业
难
·
返
首
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第二十一页，共四十七页。
·
情
课
景 导 学
[解] (1)原式＝sin2×1π2＝sinπ6＝12；
堂 小 结
·
探
提
新
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
业
返
首
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第十九页，共四十七页。
·
情
课
景 导
1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数
堂 小
学
结
探 名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
·
提
新
素
知
2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特 养
合 作
殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能
堂 小 结
·
·
探
提
新
cos 4α＝1－2sin22α
素
知
养
合 作 探
＝1－2×1532＝111699；
课 时
究
分
释 疑 难
tan 4α＝csoins 44αα＝－111192609＝－111290.
层 作 业
·
169
返
首
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第十三页，共四十七页。·情课景堂导 学
对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式
3 2.
层 作 业
·
返
首
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第十七页，共四十七页。
·
逆用二倍角公式化简求值
情
课
景
堂
导 学
探 新 知
【例 2】
化简：2tan2π4c－osα2sαi－n21π4＋α.
·
小 结
提 素 养
合
作 探
[思路点拨] 切化弦 → 逆用二倍角公式 →化简，约分
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返
首
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作 探
(2)cos 2α＝_c_o_s_2α_－__s_in_2_α__＝__2_co_s_2_α_－__1＝_1_－__2_s_in_2_α_；
究
课 时 分
释
2tan α
疑
(3)tan 2α＝__1_－__ta_n_2α____.
层 作 业
难
·
返
首
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第五页，共四十七页。
情 景
作 业
·
返
首
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第二十七页，共四十七页。
·
情 景 导 学
探 新
∴cocsosπ4＋2xx＝scionsπ24π＋＋2xx
·
课 堂 小 结
提 素
知
养
合 作 探 究
＝2sinπ4c＋osxπ4c＋osx4π＋x
课 时 分 层
释
作
疑 难
＝2sinπ4＋x＝2143.
业
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返
首
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养学生逻辑推理素养.
素 养
合
2. 通过利用二倍角公式求值、
作 2.能熟练运用二倍角的公式进行
探 究
化简和证明，培养学生数学运 简单的恒等变换，并能灵活地将公