北京海淀区2010年高三查漏补缺数学

海淀区高三数学查漏补缺题
2010年5月
一、函数部分： 1．已知函数ln ()()x a
f x a x
+=
∈R （Ⅰ）求)(x f 的极值；
（Ⅱ）若函数)(x f 的图象与函数()1g x =的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围.
2．设3244()2 ()333
f x x x m m =
-+-≤≤. （I ）求)(x f 的单调区间与极值； （II ）求方程()0f x =的实数解的个数.
3．如图，矩形ABCD 内接于由函数1,0y y x y ==-=图象围成的封闭图形，其中顶点C ，D 在0y =上，
求矩形ABCD 面积的最大值.
二、数列部分：
1．设数列{}n a 的前n 项和32n n S a =-(1,2,)n =L ． （Ⅰ）证明数列{}n a 是等比数列；
（Ⅱ）若1(1,2,)n n n b a b n +=+=L ，且13b =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
2．数列{}n a 满足112,(3)2n
n n a a a λ+==-+，（1,2,3n =L ）
（Ⅰ） 当21a =-时，求λ及3a ；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等差数列或等比数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，
说明理由；
三、统计与概率部分： 1．（理科学生做）
某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．
（Ⅰ）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；
（Ⅱ）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖.
如果前三道题都答错，就不再答第四题.某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．
①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；
②记该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列及数学期望．
2．（理科学生做）
袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球.
（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取1个球，求取出1个红球2个黑球的概率； （Ⅱ）若无放回地取3次，每次取1个球，
①求在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率； ②求取出的红球数X 的分布列和数学期望.
3．（文科、理科学生做）
已知(1,2),(,)a b x y =-=r r
，
（Ⅰ）若x 是从2,1,0,1-四个数中任取的一个数，y 是从1,0,1-三个数中任取的一个数，求a b ⊥r r
的
概率．
（Ⅱ）若x 是从区间]2,1[-中任取的一个数，y 是从区间]1,1[-中任取的一个数，求,a b r r
的夹角是锐
角的概率．
4．（文科学生做）
一个袋中装有大小相同的黑球和红球，已知袋中共有5个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的
概率是
5
2
.现将黑球和红球分别从数字1开始顺次编号. （Ⅰ）若从袋中有放回地取出两个球，每次只取出一个球，求取出的两个球上编号为相同数字的概率. （Ⅱ）若从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回.求取出的两个球上编号之积为
奇数的概率．
5．（文科学生做）
据统计，从5月1日到5月7号参观上海世博会的人数如下表所示：
其中，5月1日到5月3日为指定参观日，5月4日到5月7日为非指定参观日. （Ⅰ）把这7天的参观人数看成一个总体，求该总体的平均数（精确到0.1）；
（Ⅱ）用简单随机抽样方法从非指定参观日中抽取2天，它们的参观人数组成一个样本.求该样本平均
数与总体平均数之差的绝对值不超过2万的概率.
四、解析几何部分
1．如图，椭圆22
:
13620
x y C +=的左顶点、右焦点分别为,A F ，直线l 的方程为9x =，N 为l 上一点，且在x 轴的上方，AN 与椭圆交于M 点
（1）若M 是AN 的中点，求证：MF MA ⊥.
（2）过,,A F N 三点的圆与y 轴交于,P Q 两点，求||PQ 的范围.
2．（理科学生做）
已知圆()2
2
:11F x y +-=，动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧且与x 轴相切,与定圆F 相外切.
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）已知()0,2M ，是否存在垂直于y 轴的直线m ，使得m 被以PM 为直径的圆截得的弦长恒为
定值？若存在，求出m 的方程；若不存在，说明理由．
3．（理科学生做）
已知,A B 是抛物线2
4x y =上两个动点，且直线AO 与直线BO 的倾斜角之和为
4
π
，试证明直线AB 过定点.
4．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积
为8的正方形.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程;
（Ⅱ）设()4,0P -，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于,M N 两点，当线段MN 的中点落在正方形内（包
括边界）时，求直线l 的斜率的取值范围.
参考答案
1．解：（Ⅰ）2
)
(ln 1)(),,0()(x
a x x f x f +-=
'+∞的定义域为 令a
e x x
f -=='10)(得
当)(,0)(,),0(1x f x f e x a
>'∈-时是增函数
当)(,0)(,),(1x f x f e
x a
<'+∞∈-时是减函数
∴111)()(,)(---===a a a
e e
f x f e
x x f 极大值处取得极大值在
（Ⅱ）（i ）当21e e a <-时，时1->a ，由（Ⅰ）知),0()(1a
e
x f -在上是增函数，在],(21e e a -
上是减函数.1
max ()a f x e -=
又当],(.0)(],0(,0)(,2e e x x f e
x x f e x a a
a ---∈<∈==当时当时时，1()(0,]a f x e -∈
所以，1)()(=x g x f 与图象的图象在],0(2
e 上有公共点，等价于11≥-a e 解得1,1,1≥->≥a a a 所以又. （ii ）当121-≤≥-a e e
a
即时，],0()(2e x f 在上是增函数，
∴2222)(],0()(e a
e f e x f +=
上的最大值为在,
所以原问题等价于
.2,1222
-≥≥+e a e
a
解得 又1-≤a Θ∴无解
说明：此题主要考查学生研究函数方法的运用：给函数解析式之后，能否通过研究函数的工具导数研究函数的变化趋势，通过研究函数在区间的端点处的函数值或符号进一步了解函数的准确的变化状态.
此题也可以做如下引申：“若函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间2(0,]e 上有两个公共点，
求实数a 的取值范围.”
2．解：（I ）2()22f x x '=-，由2
()220f x x '=-= 得 1-=x 或1=x .
所以，)(x f 的单调递增区间为)1,(--∞和),1(+∞，单调递减区间为)1,1(-；
极大值为4(1)3f m -=+
，极小值为4(1)3
f m =-． （II ）由于44
33
m -≤≤，所以4(1)03f m -=+≥，4(1)03f m =-≤．
① 当4
3
m =-时，(1)0f -=，即1x =-是方程()0f x =的一个解.
又因为448244
(1)0,(3)276120333333
f f =--=-<=⨯--=->，
所以,方程()0f x =在)3,1(内至少有一个解.根据函数)(x f 单调性可知，方程()0f x =有两个不同的解.
②当43m =
时，4
(1)03
f m =-=，即1x =是方程()0f x =的一个解. 又因为4484
(1)0,(3)1203333
f f -=+=>-=-+<，
所以方程()0f x =在(3,1)--内至少有一个解.根据函数)(x f 单调性可知，方程()0f x =有两个不同的解. ③当4433m -
<<时，4(1)03f m -=+>，4
(1)03
f m =-<，所以方程()0f x =在)1,1(-内至少有一个解．又由(3)120f m -=-<，知方程()0f x =在)1,3(--内至少有一个解；由
(3)120f m =+>，知方程()0f x =在)3,1(内至少有一个解.根据函数)(x f 单调性可知，方程()0f x =有三个不同的解.
说明：通过本题考查学生几个方面的能力：
（1）能否将“求方程()0f x =的实数解的个数”问题转化为函数)(x f 的零点问题； （2）对于函数问题，是否能够主动运用导数这一工具来研究函数整体的状态、性质.
3．解：由图，设A 点坐标为(x ,x ∈,则(1B -，由图可得1x >，记矩形ABCD
的面积为S ，易得32(1S AB AD x =⋅=-=--+
令t t =∈，得32S t t t =--+ 所以'2321(31)(1)S t t t t =--+=--+，令0S '=，得1
13t t ==-或，
因为t ∈，所以1
3
t =. '
由上表可知，当13t =
，即19x =时， S 取得最大值为527，所以矩形ABCD 面积的最大值为527
. 说明：本题主要是帮助学生经历根据问题的条件和要求建立函数的解析式及确定定义域再研究函数的变化状态的思维过程. 二、数列部分：
1．（Ⅰ）证：因为 32n n S a =-(1,2,)n =L ，
1132n n S a --=-(2,3,)n =L ，
所以当2n ≥时，1133n n n n n a S S a a --=-=-，整理得13
2
n n a a -=. 由32n n S a =-，令1n =，得1132a a =-，解得11a =. 所以{}n a 是首项为1，公比是
3
2
的等比数列. （Ⅱ）解：由1(1,2,)n n n b a b n +=+=L ，得
1(1,2,)n n n b b a n +-==L .
所以
21132211,,,
n n n b b a b b a b b a ---=-=-=L L
从而 1
1
11213132[]3253212
n n n n b b a a a ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++=-+
=- ⎪⎝⎭
-L .
213333
2[1()......()]54()542222
n n n T n n -=+
+++-=⨯--. 说明：数列的n a 与n S 问题是数列的基本问题，通过两者之间的转化达到解决问题的目的是学生应该
落实的.本题的第一问也可以改为“求数列{}n a 的通项”或“求数列{}n a 的前n 项和n S ”，提高思维的强度.
2．解：(Ⅰ) 12212,1,(3)2,(1,2,3)a a a a n λ==-=-+=Q L
32λ∴=
，故2
32322a a =-+，所以3112
a =.
（Ⅱ） 112,(3)2n
n n a a a λ+==-+Q ，
21(3)224a a λλ∴=-+=- ，
2
32(3)421016a a λλλ=-+=-+，
若数列{}n a 为等差数列，则2
13227130a a a λλ+=∴-+=
494130∆=-⨯<∴Q 方程没有实根，故不存在λ，使得数列{}n a 为等差数列.
若数列{}n a 为等比数列，则2132a a a =g ，即22
2(21016)(24)λλλ-+=-
解得：4λ=.12n
n n a a +∴=+
212323431
12222n n n a a a a a a a a --∴-=-=-=-=L L
将1n -个式子相加，21
1222n n a a --=+++L ，
12(12)
2212
n n n a --∴=+=- (2,)n n N ≥∈
又11,2n a ==符合条件，2n n a ∴= *
()n N ∈
11222
n n n n a a ++∴==，故数列{}n a 为等比数列．通项公式为2n n a =
说明： 本题给出的是数列1+n a 与n a 两项之间的递推形式.在第二问中，通过特殊方法，得到λ的值，要注意引导学生理解结果并非充要条件，而是必要不充分条件，所以需要进一步的验证，而且在验证过程
中，使用了叠加法，可以为学生说明其结构形式和解题策略要让学生掌握归纳的思想，学会从特殊到一般的思考数学问题的思维过程. 三、统计与概率部分： 1．（理科学生做）
解：（Ⅰ） ① 8 ② 0.44 ③ 6 ④ 0.12 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，P = 0.4
①该同学恰好答对4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道题.第4道也能够答对才获得一
等奖，则有12
30.40.60.40.1728C ⨯⨯⨯=
②答对2道题就终止答题，并获得一等奖，所以该同学答题个数为2、3、4. 即X = 2、3、4
2(2)0.40.16,P X ===
1
321
2
3
(3)0.40.60.40.60.408,
(4)0.40.60.432.
P X C P X C ==⨯⨯+===⨯=
分布列为：
20.1630.40840.432 3.272.EX =⨯+⨯+⨯=
说明：本题考查统计问题：用样本估计总体，考查概率问题：满足特殊条件的概率的事件如何求其概率，要求同学 把条件真正弄清楚之后，再动手进行计算.同时还要求同学们分清一些典型的分布问题. 2．（理科学生做）
解：（Ⅰ）记“取出1个红球2个黑球”为事件A ，根据题意有
12334144()()()77343
P A C =⨯=
； 答：取出1个红球2个黑球的概率是144
343
.
（Ⅱ）①方法一：记“在前2次都取出红球”为事件B ，“第3次取出黑球”为事件C ，则321
()767
P B ⨯=
=⨯，3244
()76535
P BC ⨯⨯==
⨯⨯，所以4
()435(|).1()57
P BC P C B P B === 方法二：()3244
(|).()3255
n BC p C B n B ⨯⨯=
==⨯⨯ 答：在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率是4
5
． ②随机变量X 的所有取值为0，1，2，3 .
3343374(0)35C A P X A ⋅===，213
4333
718
(1)35C C A P X A ⋅===， 1234333712(2)35C C A P X A ⋅===，33333
71
(3)35
C A P X A ⋅===.
所以418121459012335353535357
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯==． 说明：首先让学生清楚有放回与无放回这两种模型的区别，应该清楚每种情况对应的基本事件空间是
谁，同时要弄清楚序的问题，一个总的问题：分子和分母同时有序或无序.还要注意条件概率问题中的相关定义，谁是条件.
3．（文科、理科学生做）
解：（Ⅰ）设“a b ⊥r r ”为事件A ，由a b ⊥r r
，得02=-y x
)}1,2(),0,2(),1,2(),1,1(),0,1(),1,1(),1,0(),0,0(),1,0(),1,1(),0,1(),1,1{(-------=Ω
共包含12个基本事件；其中)}1,2(),0,0{(=A ，包含2个基本事件.
则61
122)(==A P （Ⅱ）设“,a b r r 的夹角是锐角”为事件B ，由,a b r r
的夹角是锐角，可得0>⋅，即02>-y x ,且2y x ≠-
{(,)|12,11}x y x y Ω=-≤≤-≤≤
{(,)12,11,20,2}B x y x y x y y x =-≤≤-≤≤-≥≠-
则11
(2)35
22()328
B P B μμΩ⨯+⨯===⨯ 答：（Ⅰ） a b ⊥r r 的概率是1
6
；（Ⅱ）,a b r r 的夹角是锐角的概率是
说明：对于文科学生来讲，古典概型和几何概型是两种重要的概率模型.要注意分清两种概率模型的基本特征，并注意解题的规范性. 4．（文科学生做）
解：设袋中有n 个黑球，则由已知可得
5
2
5=n ，即2=n 所以，袋中有两个黑球，编号分别为1，2；袋中有3个红球，编号分别为1，2，3. （Ⅰ）设“取出的两个球上编号为相同数字”为事件A
)}
(),(),()()(),
(),(),()()(),
(),(,(({(332313,22,13322212,22,12312111,21,11，红红，红红，红红，黑红，黑红，红黑，红黑，红黑，黑黑，黑黑，红黑，红黑），红黑），黑黑），黑黑ΛΛ=Ω 共包含25个基本事件； 其中A =｛（黑１，黑１），（黑２，黑２），（红１，红１），（红２，红２），（红３，红３）， （黑１，红１），（黑２，红２），（红１，黑１），（红２，黑２）｝，包含９个基本事件. 则9
()25
P A =
（Ⅱ）设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件B
)}
(),()()(),
(),(),()(),
(),(,({(2313,22,13322212,12312111,21，红红，红红，黑红，黑红，红黑，红黑，红黑，黑黑，红黑，红黑），红黑），黑黑ΛΛ=Ω 共包含20个基本事件；
其中
}(),(),()(){(1)3(1),33111,31,11，红红，黑红，红红，黑红，红黑，红黑=B ，包含6个基本事
件.则10
3206==
)(B P 答：（Ⅰ）取出的两个球上编号为相同数字的概率是25
9
. （Ⅱ）取出的两个球上编号之积为奇数的概率是
10
3. 命题意图：两个问题分别为有放回的事件和无放回的事件，在这两种不同的情况下，基本事件空间是不同的.建议对于两次取球或两次掷骰子等问题，在列举基本事件的时候，最好考虑有顺序的列举，不容易出错. 5．（文科学生做）
解：（Ⅰ） 总体平均数为
3.15)1412915132321(7
1
≈++++++ （Ⅱ）设Ａ表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过2万”
从非指定参观日中抽取２天全部可能的基本结果有：(15,9), (15,12), (15,14), (9,12), (9,14), (12,14),共有6个基本结果； 事件Ａ包含的基本结果有：(15,12), (15,14),共有2个基本结果． 所以， 所求的概率为3
162)(==
A P 说明：此题将概率问题与统计问题简单综合，既考查了概率的计算，又体现了用样本估计总体的重要的统计思想. 四、解析几何部分
1．（1）解:由题意得)0,4(),0,6(F A -，9N x = 3
2
M x ∴=
又M 点在椭圆上，且在x 轴上方，得2
3
5=
M y
155(,(,227575044
MA MF MA MF MA MF
∴=-=∴⋅=-+=∴⊥u u u r u u u r u u u r u u u r
（2）（方法一）设),9(t N ，其中0>t
Θ圆过N F A ,,三点，∴圆心在线段AF 的中垂线上
设圆心为),1(b -，半径为r ，有2
2
2
2
)(()91()41(t b b r -+--=+--=
)75(212752t
t t t b +=+=∴，2421222+=-=b r PQ
0>t Θ，3575=⋅
≥∴t t b ，当且仅当,75
t
t =即35=t 时取“=” 116992=≥∴PQ .PQ ∴的取值范围是),116[+∞
（方法二）解：设),9(t N ，其中0>t ，Θ圆过N F A ,,三点，
∴设该圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，有
⎪⎩
⎪
⎨
⎧=++++=++=+-0
98104160
6362F tE D t F D F D 解得 24,75,2-=--==F t t E D ∴圆心为)),75
(21,1(t t +-半径r 2)75(4125t t ++=
∴22)75
(4124212t t r PQ ++=-=，0>t Θ
31075275=⋅≥+
∴t t t t ，当且仅当,75
t
t =即35=t 时取“=” 116992=≥∴PQ ，PQ ∴的取值范围是),116[+∞
说明：此题的第1问用向量方法去证明垂直问题，既体现了向量与解析几何的综合，又体现了解析几何中重要的基本思想：用代数方法解决几何问题.第2问考查了与圆有关的基本问题及典型方法——如何求圆的方程及如何计算圆的弦长. 2．（理科学生做）
解：（Ⅰ）设动圆P 的半径为r ，则1PF r =+.
设(),P x y ，根据圆P 与x 轴相切，以及动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧，可得0r y =>，
1y =+.
化简得：2
4x y =.
所以，动点P 的轨迹C 的方程为()2
40x y y =>.
（Ⅱ）设2,4P
P x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则以PM 为直径的圆的圆心为2
,128P P x x Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，
半径
2
PM r =
=
若存在满足题意的直线，设方程为y a =，则圆心到该直线的距离为218
P
x a +-.
根据勾股定理，可得：该直线被圆所截得的弦长l 满足：
2
2
22
128P x l r a ⎛⎫=-
+- ⎪⎝⎭
，即 ()
()()2
2
2
222
2
222
2
422222184444P P P P P x x x l r a x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-=+--+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
要使l 为定值，需且只需1a =.
所以，存在垂直于y 轴的直线m ：1y =，使得m 被以PM 为直径的圆截得的弦长恒 为定值，定值为2.
说明：本题通过直接法得到抛物线的轨迹方程，有助于学生进一步梳理抛物线的概念，要注意0>y 的发现.第二问实际考查的是直线与圆的位置关系问题，要求学生尽量利用几何条件解题：弦心距、半弦
长、半径构成直角三角形，知二求一. 3．（理科学生做） 解： 显然，直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为y kx m =+，
代入2
4x y =，得：2
440x kx m --=.
设()11,A x y ，()22,B x y ，则：12124,
4,
x x k x x m +=⎧⎨
=-⎩
设直线AO 与直线BO 的倾斜角分别为,αβ，则αβ+=4
π， 又112212tan ,tan 44
y x y x x x αβ=
===， 所以，()()12124tan tan 1641tan 1tan tan 161644x x k k
x x m m
αβαβαβ++=+====
--++. 即44m k =-，
直线AB 的方程为44y kx k =+-，即()44y k x +=+， 所以，直线AB 恒过定点()4,4--.
说明：本题要求学生能够掌握用代数方法解决几何问题的一般方法：研究直线AB 过定点的问题就要
通过直线AB 的方程y kx m =+讨论问题，也就是要找到k 与m 的关系.为此，直线AB 与抛物线交于不同的两个点及对于条件“直线AO 与直线BO 的倾斜角之和为4
π
”进行必要的有效的代数化就成为解决本题的主要任务.
4．解: （Ⅰ）依题意，设椭圆C 的方程为22
221(0),x y a b a b +=>>
焦距为2c ，
由题设条件知，2
8,,a b c == 所以2
2
1 4.2
b a =
= 故椭圆C 的方程为22
184
x y += . （Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，所以可设直线l 的方程为(4)y k x =+.
如图，设点M ，N 的坐标分别为112(,),(x y x 线段MN 的中点为G 00(,)x y ，
由22(4),
18
4y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得
2222(12)163280k x k x k +++-=．
由22
2
2
(16)4(12)(328)0k k k ∆=-+->
解得22
k -
<<． 因为12,x x 是方程①的两根，所以2
1221612k x x k +=-+，于是
1202x x x +==22812k k -+，002
4(4)12k y k x k =+=+ 因为2
02
8012k x k =-
≤+，所以点G 不可能在y 轴的右边， 又直线12F B ,11F B 方程分别为2,2,y x y x =+=-- 所以点G 在正方形内（包括边界）的充要条件为
000022y x y x ≤+⎧⎨≥--⎩ 即2
222
22
482,1212482,
1212k k k k k k k k ⎧≤-+⎪⎪++⎨⎪≥-⎪++⎩ 亦即222210,2210.k k k k ⎧+-≤⎪⎨--≤⎪⎩
解得11
22
k -
≤≤，此时②也成立．2
故直线l 斜率的取值范围是11
[,].22-
说明：本题通过正方形的面积转化为边长，要求学生能通过椭圆的定义，得到椭圆的相关基本量.第二
问对于“线段MN 的中点落在正方形内（包括边界）”是学生的思维难点，进行有效的代数化是解题的关键.可以让学生回忆数学中关于平面区域中位置的判断方法，找到它的充要条件.。