高考数学专题突破教师版-直线与圆锥曲线的位置关系(巩固自测)

AMF 的面积等于 AFN 面积的 2 倍，
y1 2 y2 ，
2 y22 8 ，解得 y2 2 （负值已舍），
y1
4， 4
2
8 k
， k
4 3
．
故选 B 项．
10．（2019·安徽高三月考（理））已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，过点 F 的直线交抛物线 C 于 A ，B
(| OP || OQ |)2 (OPOQ)2
1 128(1 cos2 )(1 sin2 ) 256 1 128(2 sin2 cos2) 256
2
2
1 32sin2 2 2 2 | sin 2 | „ 2 2 ，当 sin 2 1 即 或 3 或 5 或 7 时，
x
my
p 2
，得
y2
2mpy
p2
0，
y2 2 px
由韦达定理得 y1 y2 2mp ， y1 y2 p 2 .
由于 AMF BMF ，则直线 AM 的斜率和 BM 的斜率互为相反数.
即
y1 x1 1
y2 x2 1
，即
y1 y12 1 2p
y2 y22 1 ，整理得 2p
y1 y2
两点， O 为坐标原点，若 AOB 的面积为 3 2 ，则线段 AB 的长是（ ） 2
A． 9
【答案】C
B． 4
C． 9 2
D． 8
【解析】
当直线
AB
垂直于
x
轴时，
SAOB
1 2
2
2 1
2
，不符合题设；
6
当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设 AB 方程为 y k x 1 (k 0) ，即 kx y k 0 .
2
44 4 4
SOPQ 的面积取得最大值 2 2 ． 故选： A ．
二、填空题
13．（2019·重庆巴蜀中学高三月考（文））已知直线 l 的斜率为 1，且与双曲线 x2 y2 1相切于第一象限 2
于点 A ，则点 A 的坐标为______.
【答案】 2,1
【解析】
因为直线 l 的斜率为 1， 所以设 l : y x m
3 4
，
因此所求直线方程为 y 3 3 (x 2) ，即 3 x 4 y -12 0 . 24
故选：C
6．（2018·上海市吴淞中学高三月考）已知曲线 C1 : y x 2 与曲线 C2 : x2 y2 4 恰好有两个不同的
公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． , 1 0,1 B． 1,1
故选：B．
2．（2019·山东高二期中）已知直线 y x 1与抛物线 x 1 y2 交于 A ， B 两点，则 AB 等于（ ） 4
A． 4 2
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【解析】
设
A
为
x1,
y1
,
B
为
x2
,
y2
,联立
y x
x 1 4
1 y2
得
x2
6x
1
0
,
因为 =62 4 11 32 0 ,则 x1 x2 6, x1x2 1,
2 p
p2
，
p 0 ，因此 p 2 .
故选：C.
12．（2019·重庆高三（理））已知直线 l 与椭圆 C1
:
x2 8
y2 4
1 切于点 P
，与圆 C2
: x2
y2
16 交于点
AB
，
圆 C2 在点 AB 处的切线交于点 Q ， O 为坐标原点，则 OPQ 的面积的最大值为（ ）
A． 2 2
1
所以 AB
1 k2
x1
x2
2
4 x1 x2
112 62 41 64 8
故选：D
3．（2019·福建高二月考）已知直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 4 的右支相交于不同的两点，则 k 的取
值范围是（ ）
A． ( 1 , 1 )
B． ( 2 , 2 ) C． ( 1 , 2 )
D
选项符合.由
y kx 2 x2 y2 4
消去
y
得
x
2
kx 22
4 ，化简得
1 k2
x2 4kx 8 0 ，因
为直线
y
kx
2
与双曲线
x2
y2
4
的右支相交于不同的两点，所以
16k 2
32
1 k2
0
，解得
k 1
2 k 1.
故选：D.
2
4．（2018·上海华师大二附中高二月考）设
| |
AF BF
| |
的值为(
)
A． 3
B． 2
C． 3
D． 4
【答案】C
【解析】
| AF | p ，| BF | p
1 cos 60
1 cos 60
∴ | AF | 1 0.5 3 . | BF | 1 0.5
8．（2019·湖南高三（理））已知抛物线 C : x2 1 y 的焦点为 F ，点 P 为抛物线 C 上任意一点，过 P 点作 2
A． 1
B． 4
C． 3
D．2
2
3
2
【答案】B
【解析】
直线的方程为： y kx k ，
联立
y kx
y
2
8x
k
消去
x
并整理得：
ky 2
8y
8k
0
，
设 M (x1 ， y1) ， N (x2 ， y2 ) ，
64 32k2 0 ，得 0 k 2 ，
则
y1
y2
8 k
，
y1 y2
8
，
【答案】C
【解析】
由题意，该弦所在的直线斜率存在，设弦的两端点为 A x1, y1 , B x2, y2 代入椭圆得
x12 y12 1 16 9
,
x22 16
y22 9
1 ，两式相减得直线 A
B 的斜率为
y1 y2 x1 x2
9 x1 x2 16 y1 y2
94 16 3
AB
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1的不垂直于对称轴的弦，M
为
AB
的中
点， O 为坐标原点，则 kAB kOM （ ）
A． b2 a2
B． b2 a2
C． a2 b2
D． a2 b2
【答案】A
【解析】
由题意得：设
A( x1
，
y1 )B(x2 ，
y2 ) ，则中点
M ( x1
2
x2
，
y1
2
y2
B．2
【答案】A
【解析】
C． 2
D．1
设 P(x0 ， y0 ) ， Q(m, n) ，由 AQ AO ， BQ BO ，可得四点 Q ， A ， O ， B 共圆，
可得以 OQ 为直径的圆，方程为 (x m)2 ( y n)2 m2 n2 ，
2
2
4
联立圆 C2 : x2 y2 16 ，相减可得 AB 的方程为 mx ny 16 0 ，
代入双曲线 x2 y2 1得 2
9
x2 4mx 2m2 2 0 因为直线与双曲线相切，所以 0 ，
1 8
y0
0，
5
又由 2|O
Q|=|P
F|，得 4x02
y0
1 8
，即
4 x02
2 x02
1 8
，解得
x02
1 16
，即
x0
1 4
，
故选 D.
9．（2019·重庆高三（文））设抛物线 C : y2 8x 的焦点为 F ，经过点 A(1, 0) 且斜率为 k (k 0) 的直线
与抛物线 C 交于 M ， N 两点，若 AMF 的面积等于 AFN 面积的 2 倍，则 k 的值为（ ）
D． ( 2 , 1 )
【答案】D 【解析】
双曲线渐近线为 y x ，直线 y kx 2 过定点 (0, 2) .画出双曲线的图像以及双曲线渐近线的图像如下图
所示，由图可知，要使直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 4 的右支相交于不同的两点，则 k 1 ，结合选
距离 d k .
k2 1
联立
y y
k x 1
2 4x,
,
得
k
2
x2
2k 2 4
xk2 0，
设 A(x1, y1 ), B(x2) , y2 ) ,
则由韦达定理得, x1
x2
(2k 2 k2
4)
,
x1
x2
k2 k2
1,
所以由弦长公式得, AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
2x2
，得
y
4x
，所以切线的斜率 k
4 x0
，
所以 P 点处的切线方程为 y y0 4x0 x x0 ，即 y 4x0 x 4x02 y0 4x0 x 2x02 ，
令 x 0 ，得 y 2x02 ，可得 Q(0， 2x02 ) ，
又由抛物线的定义，可得| PF |
y0
1 8
y0
D． 6 k 6
3
3
直线 y kx 2 代入椭圆 x2 y2 1，消去 y ， 32
可得 2 3k 2 x2 12kx 6 0 ，
144k 2 24 2 3k 2 72k 2 48 ，
∵直线和椭圆有交点，
72k2 48 0 ，
k 6 或k 6 ．
3
3
抛物线的切线交 y 轴于点 Q ，若 2 OQ PF (O 为坐标原点），则点 P 的横坐标为（ ）
A． 2 4
B． 2 4
C． 2 4
D． 1 4
【答案】D
【解析】
由题意，抛物线 C : x2 1 y ，得焦点坐标为 F (0, 1) ，
2
8
设点
P x0,
y0 ，由
x2
1 2
y
，即
y
又
AB
与椭圆相切，可得过
P
的切线方程为
x0 x 8
y0 y 4
1，即为 2x0 x
4 y0 y
16
0
，
由两直线重合的条件可得 m 2x0 ， n 4 y0 ，
8
由于 P 在椭圆上，可设 x0 2 2 cos ， y0 2sin ， 0„ 2 ，
即有 m 4 2 cos ， n 8sin ， uuur uuur
专题 22.2 直线与圆锥曲线的位置关系（巩固自测）
一、单选题
1．（2019·黑龙江高二期中（理））直线 y kx 2 和椭圆 x2 y2 1有交点，则 k 的取值范围是（ ） 32
A． k 6 或 k 6
3
3
B． k 6 或 k 6
3
3
C． 6 k 6
3
3
【答案】B
【解析】
1 k 2 ( (2k 2 4))2 4 1 k2
4(1 k 2 ) , k2
因为 AOB 的面积为 3 2 , 2
所以 1 4k 2 4 2 k2
k 3 2 ，所以 k 2 8 ， k2 1 2
所以 AB 9 . 2
故选 C.
11．（2019·河南高三期中（文））如图， AB 是抛物线 y2 2 px p 0 的一条经过焦点 F 的弦， AB 与
4
∴△＞0，2 是方程的根，
∴ 4 1 ＜0，即﹣1＜λ＜1 时，方程两根异号，满足题意；
1
综上知，实数 λ 的取值范围是[﹣1，1）． 故选：C．
7．（2019·吉林高三（文））已知 F 是抛物线 y2 4x 的焦点，则过 F 作倾斜角为 60 的直线分别交抛物线
于
A,
B
（
A
在
x
轴上方）两点，则
两坐标轴不垂直，已知点 M 1, 0 ， AMF BMF ，则 p 的值是（ ）
7
A． 1 2
【答案】C
【解析】
B．1
C． 2
D． 4
抛物线
y2
2 px
p
0
的焦点为
F
p 2
,
0
，
设直线
AB
的方程为
x
my
p 2
m
0 ，设点
A x1,
y1 、
B x2,
y2
，则
y1
y2 .
将直线
AB
的方程与抛物线的方程联立
可得 OP OQ mx0 ny0 16 cos2 16sin2 16 ，
且 | OP | 8cos2 4sin2 2 1 cos2 ， | OQ | 32cos2 64sin2 4 2 1 sin2 ，
即有
SOPQ
1 2
| OP || OQ |sin
OP
， OQ
1 2
所以 y22 y12 b2 ．
x22 x12
a2
故选： A ．
5．（2019·江西高二期中（理））椭圆 x2 16
y2 9
1以点
A
2,
3 2
为中点的弦所在直线的方程为（
）
A． 8 x - 6 y - 7 0 B． 3 x 4 y 0 C． 3 x 4 y -12 0 D． 4 x - 3 y 0
C． 1,1
D．1,0 1,
【答案】C 【解析】 由 x＝|y|﹣2 可得，y≥0 时，x＝y﹣2； y＜0 时，x＝﹣y﹣2， ∴函数 x＝|y|﹣2 的图象与方程 y2+λx2＝4 的曲线必相交于（0，±2）， 所以为了使曲线 C1：|y|﹣x＝2 与曲线 C2：λx2+y2＝4 恰好有两个不同的公共点， 则将 x＝y﹣2 代入方程 y2+λx2＝4， 整理可得（1+λ）y2﹣4λy+4λ﹣4＝0， 当 λ＝﹣1 时，y＝2 满足题意， ∵曲线 C1：|y|﹣x＝2 与曲线 C2：λx2+y2＝4 恰好有两个不同的公共点，
)
，
所以 kAB
y2 y1 x2 x1
， kOM
y2 x2
y1 x1
，
所以 kAB kOM
y22 x22
y12 x12
，
又因为点 A(x1 ， y1)B(x2 ， y2 ) 在椭圆上，
所以 b2 x12 a2 y12 a2b2 ， b2 x22 a2 y22 a2b2 ，
3
所以得 b2 (x22 x12 ) a2 ( y22 y12 ) 0 ，