奥数-第5讲线束定理、相似-联赛班学生版

与平行线相关的几何结论：
一、线束定理：过一点的三条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例．
如图所示，直线12l l ∥，过点O 的三条直线分别交1l 、2l 于A 、A '，B 、B '，C 、C '，求证AB BC AC
A B B C A C ==
''''''
. 证明：因为AB A B ''∥，故
AB OB OA
A B OB OA ==
''''
． 同理可证BC OB B C OB ='''，AC OA
A C OA =
'''
． 故
AB BC AC
A B B C A C ==
''''''
． 特别地，当AB BC =时，有A B B C ''''=，反之亦然.
点评：平行线的这种性质易于理解和掌握，它的证明利用了平行线截线段成比例定理，但它不同于后者，定理只考虑两条平行线上被截得的线段之间的关系，且由一条平行线上被截得的两线段相等，立即可得另一条平行线上被截得的两线段也相等，这一结论是证明两线段相等或线段被平分的重要依据.平行线的这一性质还可推广到两条平行线被过一点的n 条直线所截的情形，即“过一点的n (3n ≥，n ∈N)条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例.”因为过一点的若干条直线叫作线束，故该定理叫作线束定理．
二、线段等式：
111x y z
+=. 如图所示，AB CD EF ∥∥.若AB x =，CD y =，EF z =，则111x y z
+=. 证明：由题意可得z CE
x CA
=
，z AE y AC =， 则
1z z
x y +=， 即111x y z
+=.
三、线段等式：111EF AB CD λλλ
=
+++. 第５讲
北京市初二数学竞赛专项训练
F
E D
C
B
A
在梯形ABCD 中，EF 平行于两条底边,交BC 和DA 于EF ,其中BE AF
EC FD
λ==,则有如下等式成立
111EF AB CD λλλ
=
+++． 证明：由面积关系有：
ABF BEC FCD ABE BEC ECD ABC ACD ABC BCD ABCD S S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++=++==+=+梯形
则由ABF BEC FCD ABC BCD S S S S S ∆∆∆∆∆++=+
得到11111
sin sin sin sin sin 22222AB BF EF BC CD FC AB BC CD BC θθθθθ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅
(θ为底边和腰BC 的夹角)
所以AB BF EF BC CD FC AB BC CD BC ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅ 即()()EF BC AB BC BF CD BC CF ⋅=⋅-+⋅-
可化简为CF BF EF AB CD BC BC =
+，即111EF AB CD λ
λλ
=+++． 这条关系式也可以通过平移梯形的腰，将梯形转化为三角形后用平行线截线段成比例定理证明．
【例 1】 如图所示，在梯形ABCD 中，O 是底AB 的中点，OC 、OD 分别交对角线BD 、AC 于E 、F ，FE 交AD 、BC 于G 、H ，求证GF FE EH ==.
G
D F
E
H
O
C B A
【例 2】 如图所示，M 、N 分别是矩形的边AD 、BC 的中点，在CD 的延长线上取点P ，PM 交对角
线AC 于Q ，求证NM 平分PNQ ∠.
板块一：线束定理
Q N
M
P D C
B
A
【例 3】如图所示，在ABC
∆中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，DM、DN分别是CDB
∆和CDA
∆的角平分线，MN交CD于O，EO、FO的延长线分别交AC、BC于Q、P，求证PQ CD
=.
P
Q
O
N
M
F
E
D
C
B
A
【例 4】如图所示，H是ABC
∆的高AD上的任意一点，BH、CH分别交AC、AB于E、F，求证EDH FDH
∠=∠．
F
E
H
D C
B
A
【例 5】如图所示，AD是ABC
∆的外接圆O
⊙的直径，过D的切线交CB的延长线于P，PO分别交AB、AC于M、N，求证OM ON
=.
N
M
P
C
B
D
O
A
【例 6】 (全国初中数学联合竞赛试题) 设凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点为M ，
过点M 作AD 的平行线分别交AB 、CD 于点E 、F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以点O 为圆心、OM 为半径的圆上的一点，求证OPF OEP ∠=∠.
F P
O E M
C
B
A D
板块二：线段等式相关
【例 7】 (前苏联数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，已知正七边形127A A A …，证明
121314
111
A A A A A A =+
．
A 7
A 6
A 5
A 4
A 3A 2A 1
【例 8】 (基辅数学奥林匹克竞赛试题) 在凸四边形ABCD 中，K 和M 分别是AB 和CD 边上的点，且有
BK DM
KA MC
=
.AM 与DK 交于点P ，BM 与CK 交于点Q ，求证KCD ADM BCM S S S ∆∆∆=+且 MPKQ ADP BCQ S S S ∆∆=+.
Q
P
K M D
C B
A
【例 9】 如图所示，在四边形ABCD 中，DE EF FC ==，AG GH HB ==，求证四边形ABCD 的面积等
于四边形EFHG 的面积的三倍．
H D
E
G F
C
B
A
【例 10】 （2004年北京市初二数学竞赛）设111111A B C D E F ，，，，，分别是凸六边形ABCDEF 的边AB ，
BC ，CD ，DE ，EF ，FA 的中点．1ABC ∆，1BCD ∆，1CDE ∆，1DEF ∆，1EFA ∆，1FAB ∆的面
积之和为m ，六边形ABCDEF 的面积为S ．证明：2
3
S m =．
A1
A
F1
F
E1
E
D1
D
C1
C
B1
B
习题 1.如图所示，AB是O
⊙的直径，PA、PC是O
⊙
的切线，C是切点，CD AB
⊥于D，PB交CD 于E.求证EC ED
=.
习题 2.如图所示，以线段AB为直径作半圆,在另一侧作矩形ABCD，使2
AB AD
=，P为半圆上的任意一点，PC、PD分别交AB于F、E两点，求证222
AF BE AB
+=.
F
E
P
D C
B
A
习题 3. (苏州市数学竞赛试题)如图所示，D、E分别是ABC
∆的边BC、AB上的点，AD、CE交于F，BF、DE交于G.过G作BC的平行线分别交AB、CE、AC于M、H、N，求证GH NH
=.
N
M
H
G
F E D C
B A
习题 4. 如图所示，已知梯形ABCD ，AB CD ∥且7AB =、4CD =.延长AD 、BC 交于点E ，过E 作平
行于AB 的直线，分别交AC 、BD 的延长线于N 、M ，则MN = .
B
A C
D E
N
M
习题 5. 如图所示，直线l 同侧有三个相邻的等边ABC ∆、ADE ∆、AFG ∆，且G 、A 、B 都在直线l 上，
设这三个三角形的边长依次分别为a 、b 、c ，连接GD 交AE 于N ，再连接BN 交AC 于L ，求
证abc
AL ab bc ca
=
++．
l
L
N
F D
E G
B
A C
两个简单的“悖论”
你知道11111111-+-+-+-+
等于多少？
解：设
231
11x x x x
=-+-++，则当1x =时，有
1
11112
=-+-+即
1111111112
-+-+-+-+
=
， 另解1：
11111111(11)(11)(11)0000-+-+-+-+
=-+-+-+=++++=，
即111111110-+-+-+-+= 另解2：
1111111(11)(11)(11)1001-+-+-+=+-++-++-++
=+++=
即111111111-+-+-+-+=
大家觉得怪不怪，同一个式子，由于计算方法不同而得到了不同的值，这该怎样解释才使人信服？原来这是一个令大数学家欧拉既感兴趣又伤脑筋的问题，这里暂且用“悖论”作答吧．
萨维尔村理发师给自己订了一条规则："他给村子里不给自己刮胡子的人刮胡子，也只给这样的人刮胡子．于是有人问他：您自己的胡子由谁来刮呢？"理发师顿时哑口无言．
因为，如果他给自己刮胡子，那么他就属于自己给自己刮胡子的那类人．但是，招牌上说明他不给这类人刮胡子，因此他不能自己给自己刮．如果由另外一个人给人刮，他就是不给自己刮胡子的人，而招牌上明明说他要给所有不自己刮胡子的男人刮胡子，因此，他应该自己为自己刮胡子．由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的．
这就是著名的理发师悖论，是由英国哲学家罗素提出来的，这个通俗的故事表述了集合论中的一个著名的悖论——罗素悖论．罗素悖论还有其它一些通俗化问题，其中有一个是这么叙述的：假定有一个图书馆管理员，要给他的图书馆编辑一本参考书目：仅列入所有那些在他的图书馆里不把它们自己列入的参考书目的参考书目．。