重庆市第一中学2016届高三下学期高考模拟考试文数试题 含解析

第Ⅰ卷(选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分. 1. 若集合{}|0A x x =≥，且B A ⊆，则集合B 可能是（ ） A ．{}1,2 B ．{}|1x x ≤ C ．{}1,0,1- D ．R 【答案】A 【解析】
试题分析：由子集的，只有A 中集合可能为题中集合A 的子集．故选A ． 考点：集合的包含关系．
2. 已知i 为虚数单位，若复数2z i i =-，则z =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 【答案】C
考点：复数的运算与复数的模．
3。

计算0
sin 47cos17cos 47cos107+的结果等于 （ ) A ．12-
B ．32
C ．2
2
D ．12 【答案】D 【解析】 试题分析：
0000sin 47cos17cos 47cos107+0000sin 47cos17cos47sin17sin(4717)=-=︒-︒
1
sin 302
=︒=
．故选D ． 考点：诱导公式，两角差的正弦公式．
4。

已知:2p m =-;:q 直线()()1:213750l m x m y m ++-+-=与直线
()2:3250l m x y -+-=垂直，则p 是q 成立的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】
试题分析：直线12l l ⊥,则2(1)(3)(3)20m m m +-+-⨯=，解得3m =或2m =-，所以p 是
q 的充分不必要条件．故选A ．
考点：充分必要条件． 5。

已知圆2
2
1
04
x y mx ++-
=与抛物线24x y =的准线相切，则实数m =（ ） A ．22± B ．3± C ．2 D ．3 【答案】B
考点：抛物线的性质,直线与圆的位置关系．
6. 已知实数,x y 满足条件002x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
,则使不等式22x y +≥成立的点(),x y 的区域的面积
为（ ）
A ．1
B ．
34 C ．12 D ．16
【答案】A 【解析】
试题分析：作出可行域，如图OAB ∆内部（含边界），再作直线22x y +=,可行域内满足不
等式22x y +≥的区域是ABC ∆，其中(2,0),(0,2),(0,1)A B C ,1
2112
ABC S ∆=
⨯⨯=．故选A ．
考点:二元一次不等式组表示的平面区域． 7. 设曲线1
1
x y x +=-在点()3,2处的切线与直线30ax y ++=有相同的方向向量，则a 等于( ） A ．12-
B ．1
2
C ．—2
D ．2 【答案】B
考点：直线的方向向量,导数的几何意义，两直线平行．
【名师点睛】导数的几何意义是每年高考的重点，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，利用这一点可以解决有关导数的几何意义的问题。

归纳起来常见的命题角度有：1求切线方程；2求切点坐标；3求参数的值。

8。

下边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“mMODn "表示m 除以n 所得余数，输入的m ，n 分别为495,135，则输出的
m =( )
A ．0
B ．5
C ．45
D ．90 【答案】C
考点：程序框图．算法案例． 9。

函数())0,1x f x a a a a =->≠的定义域和值域都是[]0,1，5
5log log 6
48
a
a
-=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】C 【解析】
试题分析：0x =时，00a a -≥，1a ≥，因此1a >．又(1)0f =，则(0)11f a =-=，2a =．
5
5
log log 6
48
a
a
-=55log log 648a a
-22548log ()log 8log 8365a =⨯===．故选C ． 考点：函数的定义域与值域,对数的运算．
10。

双曲线()22
221,0x y a b a b
-=>的两顶点为12,A A ，
虚轴两端点为12,B B ，两焦点为12,F F ，若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,则双曲线的离心率是( ）
A ．
352+ B ．512
+ C ．512- D ．352- 【答案】B
考点：双曲线的几何性质．
11。

已知A B C 、、是半径为1的球面上三个定点,且1AB AC BC ===，高为
6
2
的三棱锥P ABC -的顶点P 位于同一球面上，则动点P 的轨迹所围成的平面区域的面积是（ ） A ．1
6π B ．13π C ．12π D ．56
π 【答案】D 【解析】
试题分析：设ABC ∆所在截面圆圆心为1O ,由于P 到平面ABC 距离相等,因此P 点在与平面
ABC 平行的平面内，设此平面截球面得截面圆圆心为2O ，则126
2
O O =
，计算可得
163OO =
,由于11266561326
OO O O +=+=>，因此点1O 不能在线段2OO 上,而6623>,因此O 在线段12O O 上,2666236
OO =-=
，截面圆2O 半径为r ，则226301(
)66
r =-=
，2
56S r ππ==．故选D ． 考点：球的截面的性质．
【名师点睛】解决球的问题必须掌握球的截面的性质：球心与截面圆圆心连线与截面圆所在平面一定垂直．这一点与圆的垂径定理很相似．
12. 设函数()()
333x x
f x e x x ae x =-+--，若不等式()0f x ≤有解，则实数a 的最小值
为( ） A ．
21e - B ．22e - C ．212e + D ．11e
- 【答案】D
考点:不等式有解，导数的综合应用．
【名师点睛】本题考查不等式有解问题，要注意不等式有解和不等式恒成立的区别与联系,解题时都可以采取分离参数法，此题不等式可变形为3
33x x
a x x e
≥-+-
,令()333x
x F x x x e =-+-， 333x x a x x e ≥-+-
有解，等价于a ≥()F x 的最小值，而3
33x
x a x x e ≥-+-恒成立,等价于
a ≥()F x 的最大值．
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分．
13. 将某班参加社会实践编号为:1，2，3，…，48的48名学生,采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号,21号,29号，37号，45号学生在样本，则样本中还有一名学生的编号是 ____________． 【答案】13 【解析】
试题分析:系统抽样制取的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为5821813+=-=． 考点:系统抽样．
14. 如右图，在正方体1111ABCD A BC D -中,点
P 是上底面1111A B C D 内一动点，则三棱锥P ABC -的正（主)视图与侧（左）视图的面积的比为_________．
【答案】1
考点：三视图．
【名师点睛】三视图，实际是也是正投影，就是把空间图形向某个平面进行正投影，而确定一个多边形的正投影，只要作出多边形的每个顶点的投影，然后顺次连接即可得． 15。

梯形ABCD 中，//,6,2AB CD AB AD DC ===，若AD DC ⊥，则
AC BD =__________．
【答案】－8 【解析】 试题分析：
()()AC BD AD DC AD AB ⋅=+⋅-2
AD AD AB DC AD DC AB
=-⋅+⋅-⋅22268=-⨯=-．
考点：平面向量的数量积．
【名师点睛】求两个向量的数量积，可把这两个向量通过向量的线性运算用已知关系(夹角、模）的向量表示出来，再由数量积的运算法则进行运算，也可建立直角坐标系,通过坐标运算来求得数量积．本题也可很方便地建立坐标系,并计算出数量积．
16。

已知等差数列{}n a 的公差()()()37
550,1,cos 2cos 22sin
2
a a d a d a d +∈--+=,且
5sin 0a ≠ ,当且仅当10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值，则首项1a 的取值范围
是___________． 【答案】59,24ππ
⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
【解析】
试题分析：由()()37
55cos 2cos 22sin
2a a a d a d +--+=得552sin sin 22sin a d a =，因为5sin 0a ≠，
所以sin 20d =，又(0,1)d ∈，所以22πd =，即4
π
d =．因为当且仅当10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值，所以101100a a <⎧⎨>⎩，所以11904
100
4πa πa ⎧
+⨯<⎪⎪⎨⎪+⨯>⎪⎩,解得
15924
ππ
a -
<<-． 考点：等差数列的性质，两角和与差的余弦公式．
【名师点睛】本题考查等差数列的性质，考查两角和与差的余弦公式．利用两角和与差的余弦公式可求得等差数列的公差d ，在等差数列中n S 最小时,等价于10
n n a a +≤⎧⎨
≥⎩,n S 最大时，等价
于1
00n n a a +≥⎧⎨≤⎩，这里含有有两项n S 同时最大（或最小）的情形．利用此性质可求得1a 的范围．
三、解答题：共70分. 17. （本小题满分12分）
已知a b c 、、分别为ABC ∆三个内角A B 、、C 的对边，()sin sin sin a A b B c b C =+-． （1)求A ；
(2）若等差数列{}n a 的公差不为零,且1cos 1a A =，且248a a a 、、成等比数列，求14n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ． 【答案】(1）3πA =
；(2)1
n
n +．
考点:正弦定理，余弦定理,等差数列的通项公式,裂项相消法． 18。

（本小题满分12分）
如图,三棱柱111ABC A B C -中,,M N 分别为11,AB B C 的中点． （1)求证：//MN 平面11AAC C ；
（2）若11,CC CB CA CB ==，平面11CC B B ⊥平面ABC ,求证：AB ⊥平面CMN .
【答案】证明见解析． 【解析】
试题分析:(1）要证线面平行,一般要找到线线平行，为此利用线面平行的性质定理，沿MA 方
向平移MN ，至A ,此时直线应该在平面11AAC C 内,从而可得辅助线，取）取11AC 的中点
P ，连接,AP NP ，证明//MN AP 即可；(2）要证线面垂直，就要证线线垂直，由CA CB =有
AB CM ⊥，还有条件平面11CC B B ⊥平面ABC 要利用起来，首先由已知得11CN B C ⊥,从
而CN BC ⊥,这样利用面面垂直的性质有平面CN ABC ⊥，因此就有CN AB ⊥，第二个垂直得到了，因此线面垂直得证．
考点:线面平行与线面垂直的判定．
19。

(本小题满分12分）
某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒）如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲11.6 12。

2 13。

2 13。

9 14。

0 11．5 13．1 14．5 11。

7 14.3
乙12。

3 13.3 14。

3 11。

7 12.0 12.8 13。

2 13.8 14。

1 12。

5
（1)请完成样本数据的茎叶图（在答题卷中)；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算,可通过统计图直接回答结论)；
（2）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率;
（3)经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在区间[]11,15（单位：秒）之内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．
【答案】(1）茎叶图见解析，乙较稳定;(2）“至少有一个"问题可从反面入手，没有一个比12。

8秒差，利用相互独立事件同时发生的概率可求得；（3）甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，按题意1115,1115x y ≤≤≤≤，而要求的是0.8x y -<，作出图形，由几何概型概率公式计算可得．
（3）设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ,则0.8,0.80.8x y x y x -<-+<<+，如图阴影部分面积即为44 3.2 3.2 5.76⨯-⨯=……………………………………………………10分 所以,甲、乙成绩之差的绝对值小于0。

8秒的概率为 5.760.3616
p =
=…………………………12分
考点：茎叶图,相互独立事件同时发生的概率，几何概型．
20。

（本小题满分12分)
给定椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>，称圆22221:C x y a b +=+为椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的离心率为32
,且经过点()0,1. （１）求实数,a b 的值；
（２）若过点()()0,0P m m >的直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且l 被椭圆C 的伴随圆1C 所截得的弦长为22,求实数m 的值.
【答案】（1)2,1a b ==；（2）3m =．
因为直线l 被圆225x y +=所截得的弦长为22， 所以圆心到直线l 的距离523d =-=.即
231m k =+,② (10)
分
由①②，解得22,9k m m ==，因为0m >,所以3m =……………………12分
考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系．
【名师点睛】直线与椭圆位置关系问题，一般只能通过直线方程与椭圆方程联立方程组，通过讨论方程组的解的情况来确定位置关系：两解对应相交，一解对应相切，无解对应相离,直线和圆的位置关系也可这样确定,但用得较多的是根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系确定．直线与圆相交弦长是利用垂径定理求得的：222l r d =-．
21。

（本小题满分12分） 已知函数()()2
2ln a f x a x x a R x
=++∈. （1)讨论()f x 的单调性；
（2）若对任意(),0,m n e ∈且m n ≠，有()()1f m f n m n
-<-恒成立，求实数a 的取值范围。

【答案】（1）0a =时,()f x 在()0,+∞上递增,0a >时,()f x 在()0,a 上递减，在(),a +∞上递增，0a <时，()f x 在()0,2a -上递减，在()2,a -+∞上递增；（2）(),0,2e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭
．
①当0a =时,()'0g x =，不符合题意；
②当0a >时，由()'0g x <得02x a <<，()'0g x >得2x a >，
所以()g x 在()0,2a 上递减，在()2,a +∞上递增，所以2a e ≥，即
2
e a ≥………………………10分 ③当0a <时，在()0,+∞上,都有()'0g x <，所以()g x 在()0,+∞上递减，即在()0,e 上也单调递减综上,实数a 的取值范围为()
,0,2e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭
…………………………12分 考点：导数与单调性．
【名师点睛】求函数的单调区间的“两个”方法
(1）方法一:①确定函数y＝f(x）的定义域；
②求导数y′＝f′(x）；
③解不等式f′（x）〉0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
④解不等式f′（x)〈0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．
(2)方法二：①确定函数y＝f（x)的定义域；
②求导数y′＝f′(x)，令f′(x）＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根;
③把函数f（x）的间断点(即f(x）的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
④确定f′（x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22。

（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲
如图所示，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割
、两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连接PB交圆O于点D，若线NAB，交圆于A B
=．
MC BC
∆∆；
（1）求证：APM ABP
(2)求证：四边形PMCD是平行四边形。

【答案】证明见解析．
又∵PNA BNP ∠=∠,∴PNA
BNP ∆∆,∴APN PBN ∠=∠，
即APM PBA ∠=∠。

∵MC BC =，∴MAC BAC ∠=∠，∴MAP PAB ∠=∠,
∴APM ABP ∆∆…………………………………………5分
（2）∵ACD PBN ∠=∠，∴ACD PBN APN ∠=∠=∠即PCD CPM ∠=∠，
∴//PM CD ，∵APM ABP ∆∆，∴PMA BPA ∠=∠,…………………………………8分 ∵PM 是圆O 的切线，∴PMA MCP ∠=∠，∴PMA BPA MCP ∠=∠=∠，
即DPC MCP ∠=∠,∴//MC PD ,所以四边形PMCD 是平行四边
形………………………10分
考点：切割线定理，相似三角形的判断与性质，弦切角定理，平行线的证明．
23。

（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨
=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是2sin 333πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
，射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
【答案】(1)2cos ρθ=；（2)2PQ =．
（2）设()11,P ρθ，则由2cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得111,3πρθ==…………………………………7分 设()22,Q ρθ,则由()sin 3333ρθθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得223,3πρθ==……………………9分 所以2PQ =………………………………………………………………10分
考点:参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化,极坐标的应用．
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设()11f x x x =-++．
（１） 求()2f x x ≤+的解集；
若不等式()121
a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围．
【答案】（1）{}|02x x ≤≤;(2）33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
试题解析：（1）由()2f x x ≤+得：
201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪---≤+⎩或201112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩
，
考点:解绝对值不等式,绝对值的性质，不等式恒成立．。