8.1空间几何体的结构、三视图和直观图

§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图
最新考纲考情考向分析
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.
3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.空间几何体的结构特征、三视图、直观图在高考中几乎年年考查．主要考查根据几何体的三视图求其体积与表面积．对空间几何体的结构特征、三视图、直观图的考查，以选择题和填空题为主.
1．多面体的结构特征
2．旋转体的形成
几何体旋转图形旋转轴
圆柱矩形任一边所在的直线
圆锥直角三角形任一直角边所在的直线
圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
3.空间几何体的三视图 (1)三视图的名称
几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图． (2)三视图的画法
①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图． 4．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是
(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°或135°，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半． 知识拓展
1．常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆．
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变”⎩⎪⎨⎪
⎧
坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半
图形改变
“三不变”⎩⎪⎨⎪
⎧
平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变
相对位置不改变
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(×)
(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．(×)
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(×)
(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(×)
(6)菱形的直观图仍是菱形．(×)
题组二教材改编
2．[P19T2]下列说法正确的是()
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
答案D
解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．
3．[P8T1]在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)
答案③⑤
题组三易错自纠
4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()
A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱
答案A
解析由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．
5．(2018·珠海质检)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()
答案B
解析侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故选B.
6.正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．
答案
6 16a2
解析画出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图O′A′B′(如图)，D′为O′A′的中点．
易知D′B′＝1
2DB(D为OA的中点)，
∴S△O′A′B′＝1
2×
2
2S△OAB＝
2
4×
3
4a2
＝6
16a2.
题型一空间几何体的结构特征
1．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是()
A．0 B．1 C．2 D．3
答案A
解析①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，
当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
2．(2018·青岛模拟)以下命题：
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为()
A．0 B．1 C．2 D．3
答案B
解析由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．
思维升华(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
题型二简单几何体的三视图
命题点1已知几何体，识别三视图
典例(2017·贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体
的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图
是(用①②③④⑤⑥代表图形)()
A．①②⑥B．①②③
C．④⑤⑥D．③④⑤
答案B
解析正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①，侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.
命题点2已知三视图，判断几何体的形状
典例(2017·全国Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()
A．10 B．12
C．14 D．16
答案B
解析观察三视图可知，该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直
三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面
是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个
面中有两个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高
为2，故这两个梯形的面积之和为2×1
2×(2＋4)×2＝12.故选B.
命题点3已知三视图中的两个视图，判断第三个视图
典例(2017·汕头模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的
俯视图的是()
答案C
解析A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图．
思维升华三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
跟踪训练(1)(2017·全国Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()
A．90π B．63π C．42π D．36π
答案B
解析方法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱
截去上面虚线部分所得，如图所示．
将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×1
2＝
63π.故选B.
方法二 (估值法)由题意知，1
2
V 圆柱<V 几何体<V 圆柱，又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V 几何
体<90π.观察选项可知只有
63π符合．故选B.
(2)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是( )
答案 A
解析 由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥，底面是长方形，内侧的侧面垂直于底面，所以正视图为A.
题型三 空间几何体的直观图
典例 (2018·福州调研)已知等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________． 答案
22
解析 如图所示，作出等腰梯形ABCD 的直观图．
因为OE ＝
(2)2－1＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ＝2
4
，
则直观图A ′B ′C ′D ′的面积S ′＝1＋32×24＝2
2.
思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧
在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．
跟踪训练 (2017·贵阳联考)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．
答案 2＋
2
2
解析 如图1，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E . 在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22
. 又四边形AECD 为矩形，AD ＝EC ＝1， ∴BC ＝BE ＋EC ＝
2
2
＋1， 由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A ′B ′C ′D ′. 在梯形A ′B ′C ′D ′中，A ′D ′＝1，B ′C ′＝2
2
＋1，A ′B ′＝2. ∴这块菜地的面积S ＝1
2(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′
＝12×⎝⎛⎭
⎫1＋1＋2
2×2＝2＋22.
1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()
A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱
答案D
解析球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等．当三棱锥的三条侧棱相等且两两垂直时，其三视图的形状都相同、大小均相等．不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.
2．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为()
A．圆锥B．三棱锥
C．三棱柱D．三棱台
答案C
3．“牟合方盖”(如图1)是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图2所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()
A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d
答案A
解析当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.
4．(2018·成都质检)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P －A1B1A的侧视图是()
答案D
解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，从左侧看三棱锥P－A1B1A，B1，A1，A的射影分别是C1，D1，D；AB1的射影为C1D，且为实线，P A1的射影为PD1，且为虚线．故选D. 5．(2018·武汉调研)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()
答案A
解析设O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，将以O，A，B，C为顶点的四面体补成一正方体后，由于OA⊥BC，所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.
6．(2017·黄山质检)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为()
答案C
解析根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图如图所示．
所以侧视图如图所示.
7．(2017·东北师大附中、吉林市一中等五校联考)如图所示，在三棱锥D—ABC中，已知AC ＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()
A. 6 B．2
C. 3
D.2
答案D
解析由几何体的结构特征和正视图、俯视图，得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一直角边为CD，其长度为2，另一直角边为底面△ABC的边AB上的中线，其长度为2，
则其侧视图的面积S＝1
2×2×2＝ 2.
8.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是()
答案B
解析由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切．由于两球球心连线AB1与面ACC1A1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为图B.
9.(2017·福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 的面积为________．
答案22
解析因为直观图的面积是原图形面积的
2
4
倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.
10.(2017·南昌一模)如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P—BCD的正视图与侧视图的面积之比为________．
答案1∶1
解析根据题意，三棱锥P—BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥P—BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.
11．如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为平面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的射影可能是________．(填出所有可能的序号)
答案①②③
解析空间四边形D′OEF在正方体的平面DCC′D′上的射影是①；在平面BCC′B′上的射影是②；在平面ABCD上的射影是③，而不可能出现的射影为④中的情况．12．(2018·长沙调研)某四面体的三视图如图所示，则该四面体的六条棱的长度中，最大的是________．
答案27
解析由三视图可知该四面体为三棱锥V—ABC，如图，其中EC＝CB＝2，AE＝23，VC＝
2，AE⊥BE，VC⊥平面ABE，所以在六条棱中，最大的棱为VA或
者AB.AC2＝AE2＋EC2＝(23)2＋22＝16，所以VA2＝AC2＋VC2＝16
＋22＝20，此时VA＝20＝25，AB2＝AE2＋EB2＝(23)2＋42＝28，
所以AB＝28＝27>25，所以棱长最大的为27.
13．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()
A．8 B．7
C．6 D．5
答案C
解析画出直观图，共六块．
14．(2017·湖南省东部六校联考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是()
A．4 3 B．83
C．47 D．8
答案C
解析如图，设该三棱锥为P—ABC，其中P A⊥平面ABC，P A＝4，则由三
视图可知△ABC是边长为4的等边三角形，故PB＝PC＝42，所以S△ABC＝1
2×4×23＝43，
S△P AB＝S△P AC＝1
2×4×4＝8，
S△PBC＝1
2×4×(42)2
－22＝47，
故四个面中面积最大的为S△PBC＝47，故选C.
15．(2017·泉州二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是()
A．圆弧B．抛物线的一部分
C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分
答案D
解析根据几何体的三视图，可得侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.
16.(2018·济南模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是()
A．①②B．①③
C．③④D．②④
答案D
解析由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.。