(完整word)高等数学下考试题库(附答案)

《高等数学》试卷1（下）
一.选择题（3分⨯10）
1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.
A.3
B.4
C.5
D.6
2.向量j i b k j i a ρρρ
ρρϖϖ+=++-=2,2，则有（ ）.
A.a ρ∥b ρ
B.a ρ⊥b ρ
C.3,π=b a ρρ
D.4
,π=b a ρρ
3.函数1
122
2
22-++
--=
y x y x y 的定义域是（ ）.
A.(){
}21,22≤+≤y x y x B.(
){}
21,22<+<y x y x
C.(){}21,2
2
≤+<y x
y x D (){
}21,2
2
<+≤y x y x
4.两个向量a ρ与b ρ
垂直的充要条件是（ ）.
A.0=⋅b a ρρ
B.0ρρρ=⨯b a
C.0ρρρ=-b a
D.0ρρρ=+b a
5.函数xy y x z 33
3
-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂4,1πy
z ＝（ ）.
A.
22 B.2
2- C.2 D.2- 7.若p 级数
∑∞
=1
1
n p n 收敛，则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p
8.幂级数∑∞
=1n n
n
x 的收敛域为（ ）.
A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-
9.幂级数n
n x ∑∞
=⎪⎭
⎫
⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.
A.
x -11 B.x -22 C.x -12 D.x
-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.
A.x
ce y = B.x
e y = C.x
cxe y = D.cx
e y =
二.填空题（4分⨯5）
1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.
2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.
3.设133
2
3
+--=xy xy y x z ，则
=∂∂∂y
x z
2_____________________________. 4.
x
+21
的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分⨯6）
1.设v e z u
sin =，而y x v xy u +==,，求
.,y
z x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422
2
2
=-+-+-z x z y x 确定，求
.,y
z x z ∂∂∂∂ 3.计算
σd y x D
⎰⎰
+2
2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.
四.应用题（10分⨯2）
1.要用铁板做一个体积为23
m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ .
试卷1参考答案
一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题
1.0622=+--z y x .
2.()()xdy ydx xy +cos .
3.1962
2
--y y x .
4.
()n n n n x ∑
∞
=+-0
1
21.
5.()x
e x C C y 221-+= .
三.计算题 1.
()()[]y x y x y e x
z
xy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.
1
2,12+=∂∂+-=∂∂z y
y z z x x z . 3.⎰
⎰=⋅π
π
π
ρρρϕ20
2sin d d 26π-.
4.
3
3
16R . 5.x x
e e
y 23-=.
四.应用题
1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.
2..3
12x y =
《高数》试卷2（下）
一.选择题（3分⨯10）
1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.15
2.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.
6π B.4π C.3π D.2
π 3.函数(
)2
2arcsin y
x z +=的定义域为（ ）.
A.(){}10,2
2
≤+≤y x y x B.(){}
10,2
2
<+<y x y x
C.()⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤
+≤20,22πy x y x D.()⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧<
+<20,2
2πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数2
2
232y x xy z --=的极大值为（ ）.
A.0
B.1
C.1-
D.2
1 6.设2
2
3y xy x z ++=，则
()
=∂∂2,1x
z （ ）.
A.6
B.7
C.8
D.9 7.若几何级数
∑∞
=0
n n
ar
是收敛的，则（ ）.
A.1≤r
B. 1≥r
C.1<r
D.1≤r
8.幂级数
()n
n x
n ∑∞
=+0
1的收敛域为（ ）.
A.[]1,1-
B.[)1,1-
C.(]1,1-
D. ()1,1- 9.级数
∑∞
=1
4
sin n n na
是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定
二.填空题（4分⨯5）
1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩
⎪
⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.
2.函数xy
e z =的全微分为___________________________.
3.曲面2
2
42y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.
三.计算题（5分⨯6）
1.设k j b k j i a ρρρρρρ
ρ32,2+=-+=，求.b a ρρ⨯
2.设2
2
uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求
.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233
=+xyz x 确定，求
.,y
z x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面2
2
2
2
4a z y x =++与圆柱面ax y x 22
2=+（0>a ）所围的几何体的体积.
四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==
和4=x 所围图形的面积.
试卷2参考答案
一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.
2
1
1212+=
-=-z y x . 2.()xdy ydx e
xy
+.
3.488=--z y x .
4.
()
∑∞
=-0
21n n n
x .
5.3
x y =. 三.计算题
1.k j i ρρ
ρ238+-.
2.
()()()
y y x y y y y x y
z y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.
22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x x
e C e
C y --+=221.
四.应用题
1.
3
16. 2. 002
2
1x t v gt x ++-=.
《高等数学》试卷3（下）
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k 3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4、函数z=xsiny 在点（1，
4
π
）处的两个偏导数分别为（ ） A 、
,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,2
2 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则
y
z
x z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、
z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、z
y
z R x ,-- D 、
z
y
z R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为2
2
y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2
R π）
A 、R 2A
B 、2R 2A
C 、3R 2A
D 、
A R 2
2
1 7、级数∑∞
=-1
)1(n n
n
n x 的收敛半径为（ ）
A 、2
B 、
2
1
C 、1
D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）
A 、∑∞
=-0)1(n n
)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞
=-0
)1(n n
)!12(12--n x n
二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：
的夹角为z y x =-+=-1
3
21___________。

直线L 3：
之间的夹角为与平面06232
1221=-+=-+=-z y x z
y x ____________。

2、（0.98）2.03的近似值为________,sin100的近似值为___________。

3、二重积分
⎰⎰≤+D
y x
D d 的值为1:,22
σ___________。

4、幂级数的收敛半径为∑∞
=0
!n n
x n __________，∑∞
=0!n n
n x 的收敛半径为__________。

三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分）
2、求曲线x=t,y=t 2,z=t 3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.
3、计算
⎰⎰===D
x y x y D ，xyd 围成及由直线其中2,1σ.
4、问级数
∑∞
=-1
1
sin )
1(n n
？，？n
收敛则是条件收敛还是绝对若收敛收敛吗
5、将函数f(x)=e 3x 展成麦克劳林级数
四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分） 1、求表面积为a 2而体积最大的长方体体积。

参考答案
一、选择题
1、D
2、C
3、C
4、A
5、B
6、D
7、C
8、A
9、B 10,A 二、填空题 1、21
8
arcsin
,18
2cos
ar 2、0.96，0.17365 3、л 4、0，+∞ 5、y
cx ce
y x 11,2
2-
== 三、计算题
2、解：因为x=t,y=t 2
,z=t 3
, 所以x t =1,y t =2t,z t =3t 2，
所以x t |t=1=1, y t |t=1=2, z t |t=1=3 故切线方程为：
3
1
2111-=
-=-z y x 法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0 即x+2y+3z=6
3、解：因为D 由直线y=1,x=2,y=x 围成， 所以 D ：
1≤y ≤2
y ≤x ≤2 故：
⎰⎰
⎰⎰⎰=-==21
2
1
328
1
1)22(][dy y y dy xydx xyd y
D
σ
4、解：这是交错级数，因为。

，。

n ，n ，n
n ，x ，x ，x n 。

，，n
Vn ，Vn ，n Vn n n n n 原级数条件收敛所以发散从而发散又级数所以时趋于当又故收敛型级数所以该级数为莱布尼兹且所以∑∑∑∞=∞
=∞→∞===〈+〉=1
111sin 1111sin lim ~sin 01sin 01
sin lim ,101sin 5、解：因为)
,(!
1
!31!21132+∞-∞∈⋅
⋅⋅++⋅⋅⋅+++
+=x x n x x x e n w 用2x 代x ，得：
)
,(!
2!32!2221)2(!1
)2(!31)2(!21)2(13322322+∞-∞∈⋅
⋅⋅++⋅⋅⋅++++=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++
+=x x n x x x x n x x x e n
n n x 四、应用题
1、解：设长方体的三棱长分别为x ，y ，z 则2（xy+yz+zx ）=a 2 构造辅助函数
F （x,y,z ）=xyz+)222(2
a zx yz xy -++λ
求其对x,y,z 的偏导，并使之为0，得： yz+2λ(y+z)=0 xz+2λ(x+z)=0 xy+2λ(x+y)=0
与2(xy+yz+zx)-a 2=0联立，由于x,y,z 均不等于零 可得x=y=z
代入2(xy+yz+zx)-a 2=0得x=y=z=
6
6a 所以，表面积为a 2而体积最大的长方体的体积为
36
63
a xyz V ==
2、解：据题意。

：，e M ，M C
，M
M M ce ，M C t M dt M
dM
M dt
dM
M M M dt
dM
t
t t t 而按指数规律衰减铀的含量随时间的增加铀的衰变规律为由此可知所以所以又因为所以两端积分得式对于
初始条件为常数其中λλλλλλλ-=-=====+-=-=-==〉-=000
ln ln 0
《高数》试卷4（下）
一．选择题：03103'=⨯'
１．下列平面中过点（１,１,1）的平面是 ．
（Ａ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝０ （Ｂ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ （Ｃ）ｘ＝１ （Ｄ）ｘ＝３ ２．在空间直角坐标系中，方程222=+y x 表示 ． （Ａ）圆 （Ｂ）圆域 （Ｃ）球面 （Ｄ）圆柱面 ３．二元函数22)1()1(y x z -+-=的驻点是 ． （Ａ）（０,０） （Ｂ）（０,１） （Ｃ）（１,０） （Ｄ）（１,１） ４．二重积分的积分区域Ｄ是4122≤+≤y x ，则=⎰⎰D
dxdy ．
（Ａ）π （Ｂ）π4 （Ｃ）π3 （Ｄ）π15 ５．交换积分次序后=⎰⎰x
dy y x f dx 0
1
0),( ．
（Ａ）x
d y x f dy y
⎰⎰1
1
),(
（Ｂ）⎰⎰1
010),(dx y x f dy
（Ｃ）⎰⎰y
dx
y x f dy
10),(
（Ｄ）⎰⎰1
00),(dx
y x f dy x
６．ｎ阶行列式中所有元素都是１，其值是 ．
（Ａ）ｎ （Ｂ）０ （Ｃ）ｎ！ （Ｄ）１ ８．下列级数收敛的是 ． （Ａ）∑
∞
=-+-1
1
1)1(n n n n （Ｂ）∑∞=123n n n （Ｃ）∑∞=--11)1(n n n （Ｄ）∑∞
=1
1
n n ９．正项级数∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 满足关系式n n v u ≤，则 ．
（Ａ）若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 （Ｂ）若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞
=1n n u 收敛
（Ｃ）若∑∞
=1
n n v 发散，则∑∞
=1
n n u 发散 （Ｄ）若∑∞
=1
n n u 收敛，则∑∞
=1
n n v 发散
１０．已知：
Λ+++=-2111x x x ，则
2
11
x +的幂级数展开式为 ． （Ａ）Λ+++421x x （Ｂ）Λ+-+-421x x （Ｃ）Λ----421x x （Ｄ）Λ-+-421x x
二．填空题：0254'=⨯' １．
数)2ln(12222y x y x z --+-+=的定义域为 ．
２．若xy y x f =),(，则=)1,(x
y
f ．
３．已知),(00y x 是),(y x f 的驻点，若a y x f y x f y x f xy yy xx
=''=''=''),(,12),(,3),(00000,0则 当 时，),(00y x 一定是极小点．
５．级数∑∞
=1n n u 收敛的必要条件是 ．
三．计算题(一)：0356'=⨯'
１． 已知：y x z =，求：
x
z
∂∂，y z ∂∂． ２． 计算二重积分σd x D
⎰⎰-24，其中}20,40|),{(2≤≤-≤≤=x x y y x D ．
３．已知：ＸＢ＝Ａ，其中Ａ＝⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-10
2
121
，Ｂ＝⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-100210321，求未知矩阵Ｘ．
４．求幂级数∑∞
=--1
1
)1(n n
n n
x 的收敛区间．
５．求x e x f -=)(的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）．
四．计算题(二)： 02201'=⨯'
１．求平面ｘ－２ｙ＋ｚ＝２和２ｘ＋ｙ－ｚ＝４的交线的标准方程．
参考答案
一．１．Ｃ；２．Ｄ；３．Ｄ；４．Ｄ；５．Ａ；６．Ｂ；７．Ｂ；８．Ｃ；９．Ｂ；１０．Ｄ． 二．１．{}21|),(22<+≤y x y x ２．x
y
３．66<<-a ４．２７ ５．0lim =∞→n n u
四．
1．解：
y x y
z
yx x z y y ln 1=∂∂=∂∂- 2．解：316
34)4(442
32
022
040
222
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰-x x dx x dy x dx d x x D
σ 3．解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=--1542201,10021072111
AB B .
４．解：,1=R 当|x|〈1时，级数收敛，当x=1时，得∑∞
=--1
1
)1(n n n 收敛，
当1-=x 时，得∑∑∞
=∞
=--=-11121
)1(n n n n
n 发散，所以收敛区间为]1,1(-. ５．解：.因为∑∞
==
0!n n x n x e ),(+∞-∞∈x ,所以n n n n n x x n n x e ∑∑∞=∞=--=-=0
0!)1(!)( ),(+∞-∞∈x .
四．1．解：.求直线的方向向量:k j i k
j i s ρρρρρ
ρρ
531
12121++=--=,求点:令z=0,得y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所
以交线的标准方程为:.5
312z
y x ==-
《高数》试卷5（下）
一、选择题（3分/题）
1、已知+=，-=，则=⨯（ ）
A 0
B j i -
C j i +
D j i +-
2、空间直角坐标系中12
2
=+y x 表示（ ）
A 圆
B 圆面
C 圆柱面
D 球面 3、二元函数x
xy
sin z =
在（0，0）点处的极限是（ ） A 1 B 0 C ∞ D 不存在
4、交换积分次序后dy )y ,x (f dx
x
⎰
⎰1
1
=（ ）
A
dx )y ,x (f dy ⎰
⎰1
1
0 B dx )y ,x (f dy x
⎰⎰1
1
C
dx )y ,x (f dy y
⎰⎰1
1
D dx )y ,x (f dy y
⎰⎰0
1
5、二重积分的积分区域D 是1≤+y x ，则
⎰⎰=D
dxdy （ ）
A 2
B 1
C 0
D 4 10、正项级数
∑∞
=1n n
u
和
∑∞
=1
n n
v
满足关系式n n v u ≤，则（ ）
A 若
∑∞
=1n n
u
收敛，则
∑∞
=1n n
v
收敛 B 若
∑∞
=1n n
v
收敛，则
∑∞
=1n n
u
收敛
C 若
∑∞
=1
n n
v
发散，则
∑∞
=1
n n
u
发散 D 若
∑∞
=1
n n
u
收敛，则
∑∞
=1
n n
v
发散
二、填空题（4分/题）
1、 空间点p （-1，2，-3）到xoy 平面的距离为
2、 函数28642
2
++-+=y x y x )y ,x (f 在点 处取得极小值，极小值为
3、 级数
∑∞
=1
n n
u
收敛的必要条件是
三、计算题（6分/题） 1、 已知二元函数x
y z 2=，求偏导数
x z ∂∂，y
z ∂∂
2、 求两平面：22=+-z y x 与42=-+z y x 交线的标准式方程。

3、 计算二重积分dxdy y
x D
⎰⎰
22
，其中D 由直线2=x ，x y =和双曲线1=xy 所围成的区域。

4、 求幂级数∑∞
=-1
51n n
n
)x (的收敛半径和收敛区间。

四、应用题（10分/题） 1、 判断级数p n n n
)
(1
11
1
-∞
=∑-的收敛性，如果收敛，请指出绝对收敛还是条件收敛。

参考答案
一、选择题（3分/题） DCBDA ACBCB 二、填空题（4分/题）
1、3
2、（3，-1） -11
3、-3
4、0
5、0=∞
→n n u lim
三、计算题（6分/题）
1、
y ln y x
z
x 22=∂∂，122-⋅=∂∂x y x y z 2、
50
3012-=
-=-z y x 3、4
9
4、
5、收敛半径R=3，收敛区间为（-4，6） 四、应用题（10分/题） 1、 当0<p 时，发散；
10≤<p 时条件收敛；
1>p 时绝对收敛。