湖北省襄阳市四校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)

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湖北省襄阳市四校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.(5分)把1010(4)化为十进制数为()
A.60 B.68 C.70 D.74
2.(5分)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()
A.=﹣2x+9.5 B.=2x﹣2.4 C.=0.4x+2.3 D.=﹣0.3x+4.4
3.(5分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1,棱长为4,点A1到截面AB1D1的距离为()A.B.C.D.
4.(5分)直线L1:ax+(1﹣a)y=3,L2:(a﹣1)x+(2a+3)y=2互相垂直,则a的值是()A.0或﹣B.1或﹣3 C.﹣3 D.1
5.(5分)在面积为S的△ABC内任投一点P,则△PBC的面积大于的概率是()A.B.C.D.
6.(5分)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是()
A.28+6B.30+6C.56+12D.60+12
7.(5分)下列正确的个数是()
(1)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等.
(2)如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这一组数的平均数改变,方差不改变.
(3)一个样本的方差是S2=,则这组数据等总和等于60.
(4)数据a1,a2,a3,…,a n的方差为σ2,则数据2a1,2a2,2a3,…,2a n的方差为4σ2.
A.4B.3C.2D.1
8.(5分)如图,三棱锥P﹣ABC的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M、N分别在BC和PO上,且CM=x,PN=2CM,则下面四个图象中大致描绘了三棱锥N﹣AMC的体积V与x变化关系(x∈(0,340,50),90,1000,2(x1﹣3)2+(x2﹣3)2+…+(x n﹣3)2(x1﹣3)2+(x2﹣3)2+…+(x n ﹣3)2)()
A.B.C.
D.
考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;函数的图象.
专题:计算题;压轴题;函数思想.
分析:由题意直接求出三棱锥N﹣AMC的体积V与x变化关系,通过函数表达式,确定函数的图象即可.
解答:解:底面三角形ABC的边AC=3,所以△ACM的面积为:=,
所以三棱锥N﹣AMC的体积V==,
当x=2时取得最大值,开口向下的二次函数,
故选A
点评:本题是基础题,考查几何体的体积与函数之间的关系,求出底面三角形的面积,是本题的一个关键步骤,通过二次函数研究几何体的体积的变化趋势是本题的特点,是好题,新颖题目.
9.(5分)集合A={(x,y)|y≥|x﹣1|},集合B={(x,y)|y<﹣|x|+6},先后掷两颗骰子,掷第一颗骰子得点数为a,掷第二颗骰子得点数为b,则(a,b)∈A∩B的概率等于()
A.B.C.D.
考点:等可能事件的概率.
专题:计算题.
分析:先给出所有的基本事件的总数:6×6=36种,记为坐标(a,b),再将其中(a,b)的坐标满足既符合集合A,又符合集合B的情况总数找出来,将所得结果除以36即可.
解答:解:所有事件:先后掷两颗骰子两个的点数结果有6×6=36种,
∵集合A={(x,y)|y≥|x﹣1|},集合B={(x,y)|y≤﹣|x|+6},
∴A∩B={(x,y)|y≥|x﹣1|且y≤﹣|x|+6},
把所有的点数代入交集合进行检验,
有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,3),
共有8种情况符号要求,
∴P==,
故答案为:.
点评:本题考查了等可能性事件的概率,属于中档题.采用列举法来做,是这一类题常用的方法.
10.(5分)函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为该等比数列的公比的数是()
A.B.C.2D.
考点:等比数列的性质.
专题:计算题;等差数列与等比数列.
分析:由题意可知,函数图象为上半圆,可得圆上点到原点的最短距离为4,最大距离为16.根据等比数列的性质建立方程,可计算出公比的范围,从而判断出结论.
解答:解:函数y=的图象表示圆心在(10,0),半径为6的上半圆
圆上点到原点的最短距离为4,最大距离为16,
若存在三点成等比数列,则最大的公比q应有16=4q2,即q2=4,q=2,
最小的公比应满足4=16q2,所以q=,
所以公比的取值范围为≤q≤2.
故选D.
点评:本题的考点是等比关系的确定,主要考查等比数列的定义,等比中项,属于中档题.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置)
11.(5分)设x1=18,x2=19,x3=20,x4=21,x5=22,将这五个数据依次输入下面程序框进行计算,则输出的S值2.
考点:程序框图.
专题:算法和程序框图.
分析:执行程序框图,依次写出得到的S,i的值,当i=5时,S=10,满足条件i≥5,S=2,输出S 的值为2.
解答:解:执行程序框图,有
S=0,i=1
x1=18,S=4,不满足条件i≥5,有i=2
x2=19,S=5,不满足条件i≥5,有i=3
x3=20,S=5,不满足条件i≥5,有i=4
x4=21,S=6,不满足条件i≥5,有i=5
x5=22,S=10,满足条件i≥5,S=2,输出S的值为2.
故答案为:2.
点评:本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题.
12.(5分)已知x,y满足约束条件,若目标函数z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为2或﹣1.
考点:简单线性规划.
专题:应用题;不等式的解法及应用.
分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线y=ax+z斜率的变化,从而求出a的取值.
解答:解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).
由z=y﹣ax得y=ax+z,即直线的截距最大,z也最大.
若a=0,此时y=z,此时,目标函数只在A处取得最大值,不满足条件,
若a>0,目标函数y=ax+z的斜率k=a>0,要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,
则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行,此时a=2,
若a<0,目标函数y=ax+z的斜率k=a<0,要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,
则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0,平行,此时a=﹣1,
综上a=﹣1或a=2,
故答案为:2或﹣1
点评:本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.注意要对a进行分类讨论.
13.(5分)把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为.
考点:直线与平面所成的角.
专题:空间角.
分析:当平面BAC⊥平面DAC时,三棱锥体积最大,由此能求出结果.
解答:解:如图,当平面BAC⊥平面DAC时,三棱锥体积最大
取AC的中点E,则BE⊥平面DAC,
故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE
cos∠DBE==,
∴∠DBE=.
故答案为:.
点评:本题考查直线与平面所成角的最大值的求法,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养.
14.(5分)在平面直角坐标系x0y中,圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0,若直线y=kx﹣2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围是.
考点:直线和圆的方程的应用.
专题:计算题;直线与圆.
分析:将圆C的方程整理为标准形式,找出圆心C的坐标与半径r,根据直线y=kx﹣2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,得到以C为圆心,2为半径的圆与直线y=kx﹣2有公共点,即圆心到直线y=kx﹣2的距离小于等于2,利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围.
解答:解:将圆C的方程整理为标准方程得:(x﹣4)2+y2=1,
∴圆心C(4,0),半径r=1,
∵直线y=kx﹣2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,
∴只需圆C′:(x﹣4)2+y2=4与y=kx﹣2有公共点,
∵圆心(4,0)到直线y=kx﹣2的距离d=≤2,
解得:0≤k≤.
故答案为:.
点评:此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离公式,其中当d<r时,直线与圆相交;当d>r时,直线与圆相离;当d=r时,直线与圆相切(d为圆心到直线的距离,r为圆的半径).
15.(5分)u,v是实数,则的最小值是﹣1.
考点:根式与分数指数幂的互化及其化简运算.
专题:直线与圆.
分析:从数式的形与构来看与两点间的距离公式的平方同构,可视为两点间的距离的平方即可找到解题入口.
解答:解:可视为点P(u,)与点Q(v,2v+5 )之间的距离,P的轨迹为上半圆x2+y2=1(y≥0),Q的轨迹为曲线C:y=2x+5,
圆心(0,0)到直线y=2x+5的距离为,圆的半径为1,
所以的最小值是﹣1.
点评:本题考查了数式的最值问题,通常可通过对其结构与形式特征进行观察,类比,联想与已知的定理、定义、性质等形式类似,实现转化,构建解题思路,属于中档题.
三、解答题:(大题共6小题,共75分)
16.(12分)某校从参加2014-2015学年高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段50,60)…后画出如图部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
考点:频率分布直方图.
专题:计算题;图表型.
分析:(1)在频率分直方图中,小矩形的面积等于这一组的频率,根据频率的和等于1建立等式解之即可;
(2)60及以上的分数所在的第三、四、五、六组,从而求出抽样学生成绩的合格率,再利用组中值估算抽样学生的平均分即可.
解答:解:(Ⅰ)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率:f4=1﹣(0.025+0.015*2+0.01+0.005)*10=0.3
(Ⅱ)依题意,60及以上的分数所在的第三、四、五、六组,
频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75所以,抽样学生成绩的合格率是75%
利用组中值估算抽样学生的平均分45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71
估计这次考试的平均分是71.
点评:本题主要考查了频率及频率分布直方图,考查运用统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力和运用意识.
17.(12分)如图,在棱长均为4的三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D、D1分别是BC和B1C1的中点.(1)求证:A1D1∥平面AB1D;
(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1,∠B1BC=60°,求三棱锥B1﹣ABC的体积.
考点:直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题:计算题;证明题.
分析:(1)欲证A1D1∥平面AB1D,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D内一直线平行,连接DD1,根据中位线定理可知B1D1∥BD,且B1D1=BD,则四边形B1BDD1为平行四边形,同理可证四边形AA1D1D为平行四边形,则A1D1∥AD
又A1D1⊄平面AB1D,AD⊂平面AB1D,满足定理所需条件;
(2)根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B1C1CB,即AD是三棱锥A﹣B1BC的高,求出三棱锥A﹣B1BC的体积,从而求出三棱锥B1﹣ABC的体积.
解答:解:(1)证明:连接DD1,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,
∵D、D1分别是BC和B1C1的中点.
∴B1D1∥BD,且B1D1=BD
∴四边形B1BDD1为平行四边形
∴BB1∥DD1,且BB1=DD1
又因AA1∥BB1,AA1=BB1
所以AA1∥DD1,AA1=DD1
所以四边形AA1D1D为平行四边形,所以A1D1∥AD
又A1D1⊄平面AB1D,AD⊂平面AB1D
故A1D1∥平面AB1D;
(2)在△ABC中,棱长均为4,则AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC
因为平面ABC⊥平面B1C1CB,交线为BC,AD⊂平面ABC
所以AD⊥平面B1C1CB,即AD是三棱锥A﹣B1BC的高
在△ABC中,AB=AC=BC=4得AD=2
在△B1BC中,B1B=BC=4,∠B1BC=60°
所以△B1BC的面积为4
∴三棱锥B1﹣ABC的体积即为三棱锥A﹣B1BC的体积V=××=8
点评:本题主要考查了线面平行的判定,以及三棱锥的体积的计算,同时考查了推理论证的能力、计算能力,转化与划归的思想,属于中档题.
18.(12分)已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点.
(1)点A(1,0)到直线l的距离为1,求l的方程;
(2)求点A(1,0)到直线l的距离的最大值.
考点:点到直线的距离公式;直线的一般式方程.
专题:综合题;直线与圆.
分析:(1)联立方程组求得交点坐标,分直线l不存在斜率,存在斜率两种情况讨论,不存在斜率时易检验;存在斜率时设l的点斜式方程,由点A到直线l的距离可求得斜率;
(2)用斜率k表示出点A(1,0)到直线的距离d,恰当变形后利用基本不等式可求得其最大值;解答:(1)联立,解得交点B(2,1),
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=2,
此时点A到直线l的距离为1,满足;
若直线l的斜率存在,
设方程为y﹣1=k(x﹣2),
即kx﹣y+1﹣2k=0,
∴,
解得k=0,直线方程为y=1;
综上得:直线l的方程为x=2或y=1.
(2)由(1)可得点A到直线l的距离为,
显然k<0时,d有最大值,且
当且仅当k=﹣1取等号,
∴点A到直线l的距离的最大值为.
点评:本题考查直线方程的求解、点到直线的距离公式及基本不等式,考查函数思想,考查学生解决问题的能力.
19.(12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个,已知从袋子随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是.(Ⅰ)求n的值;
(Ⅱ)从袋子中不放回地随机抽取2个球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.
①记“a+b=2”为事件A,求事件A的概率;
②在区间内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>(a﹣b)2恒成立”的概率.
考点:几何概型;古典概型及其概率计算公式.
专题:计算题.
分析:(1)根据从袋子随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是,可求n的值;(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球,共有基本事件12个,其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个,故可求概率;
②记“x2+y2>(a﹣b)2恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y2>4恒成立,(x,y)可以看成平面中的点,确定全部结果所构成的区域,事件B构成的区域,即可求得结论.
解答:解:(1)由题意,根据从袋子随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是,可得
∴n=2
(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球,共有基本事件12个,其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个

②记“x2+y2>(a﹣b)2恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y2>4恒成立,(x,y)可以看成平面中的点,则全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},而事件B构成的区域B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω}

点评:本题考查等可能事件的概率,考查几何概型,解题的关键是确定其测度,属于中档题.
20.(13分)如图所示,正四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小;
(2)若E是PB的中点,求异面直线PD与AE所成角的正切值;
(3)问在棱AD上是否存在一点F,使EF⊥侧面PBC,若存在,试确定点F的位置;若不存在,说明理由.
考点:与二面角有关的立体几何综合题;异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定.
专题:计算题.
分析:(1)取AD中点M,设PO⊥面ABCD,连MO、PM,则∠PMO为二面角的平面角,设AB=a,则可利用tan∠PAO表示出AO和PO,进而根据求得tan∠PMO的值,则∠PMO 可知.
(2)连OE,OE∥PD,∠OEA为异面直线PD与AE所成的角.根据AO⊥BO,AO⊥PO判断出AO⊥平面PBD,进而可推断AO⊥OE,进而可知进而可知∠AEO为直线PD与AE所成角,根据勾股定理求得PD,进而求得OE,则tan∠AEO可求得.
(3)延长MO交BC于N,取PN中点G,连EG、MG.先证出平面PMN和平面PBC垂直,再通过已知条件证出MG⊥平面PBC,取AM中点F,利用EG∥MF,推断出,可知EF∥MG.最后可推断出EF⊥平面PBC.即F为四等分点.
解答:解:(1)取AD中点M,设PO⊥面ABCD,连MO、PM,则∠PMO为二面角的平面角,∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角,,
设,PO=AOtan∠PAO=,
∴∠PMO=60°.
(2)连OE,OE∥PD,∠OEA为异面直线PD与AE所成的角.



(3)延长MO交BC于N,取PN中点G,连EG、MG.


取AM中点F,∵EG∥MF∴
∴EF∥MG.
∴EF⊥平面PBC.
即F为四等分点
点评:本题主要考查了二面角及其度量,解题的关键是通过巧妙设置辅助线找到二面角.
21.(14分)已知圆O:x2+y2=2,直线l:y=kx﹣2.
(1)若直线l与圆O交于不同的两点A,B,当∠AOB=时,求k的值.
(2)若,P是直线l上的动点,过P作圆O的两条切线PC、PD,切点为C、D,探究:直线CD是否过定点;
(3)若EF、GH为圆O:x2+y2=2的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),求四边形EGFH的面积的最大值.
考点:直线与圆的位置关系;两点间的距离公式.
专题:直线与圆.
分析:(1)利用点到直线的距离公式,结合点O到l的距离,可求k的值;
(2)由题意可知:O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上,C、D在圆O:x2+y2=2上可得直线C,D的方程,即可求得直线CD是否过定点;
(3)设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1,d2.则,表示出四边形EGFH 的面积,利用基本不等式,可求四边形EGFH的面积最大值.
解答:解:(1)∵∠AOB=,∴点O到l的距离…(2分)
∴=•,
∴…(4分)
(2)由题意可知:O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上,
设,其方程为:,
即,
又C、D在圆O:x2+y2=2上
∴,
即…(7分)
由,得,
∴直线CD过定点…(9分)
(3)设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1,d2.
则…(11分)
∴|EF|=2,

当且仅当即时,取“=”
∴四边形EGFH的面积的最大值为.…(14分)
点评:本题考查直线与圆的位置关系,考查直线恒过定点,考查四边形面积的计算,考查基本不等式的运用,属于中档题.。

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