全国中考数学二次函数的综合中考模拟和真题分类汇总附答案

全国中考数学二次函数的综合中考模拟和真题分类汇总附答案
一、二次函数
1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣3x。

（2）点B的坐标为：（4，4）。

（3）存在；理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。

（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。

【详解】
解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。

∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。

（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，
令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。

∴AO=3。

∵△AOB 的面积等于6，∴12AO•BD=6。

∴BD=4。

∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，
∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。

又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，
∴x 轴下方不存在B 点。

∴点B 的坐标为：（4，4）。

（3）存在。

∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 4442=
+=。

若∠POB=90°，则∠POD=45°。

设P 点坐标为（x ，x 2﹣3x ）。

∴2x x 3x =-。

若2x x 3x =-，解得x="4" 或x=0（舍去）。

此时不存在点P （与点B 重合）。

若()2x x 3x =--，解得x="2" 或x=0（舍去）。

当x=2时，x 2﹣3x=﹣2。

∴点P 的坐标为（2，﹣2）。

∴22OP 2222=+=。

∵∠POB=90°，∴△POB 的面积为：12PO•BO=12
×42×22=8。

2．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），顶点为G ．
（1）求抛物线和直线AC 的解析式；
（2）如图，设E （m ，0）为x 轴上一动点，若△CGE 和△CGO 的面积满足S △CGE ＝S △CGO ，求点E 的坐标；
（3）如图，设点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右运动，运动时间为ts ，点M 为射线AC 上一动点，过点M 作MN ∥x 轴交抛物线对称轴右侧部分于点N ．试探究点P 在运动过程中，是否存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角
形，t的值为或或．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．
（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．
（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．
【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
, 解得：，
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，
设直线AC解析式为y=kx+3，
∴-k+3=0，得：k=3，
∴直线AC解析式为：y=3x+3.
（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴G（1，4），GH=4，
∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，
∴S△CGE=S△CGO=×=2，
①若点E在x轴正半轴上，
设直线CG：y=k1x+3，
∴k1+3=4 得：k1=1，
∴直线CG解析式：y=x+3，
∴F（-3，0），
∵E（m，0），
∴EF=m-（-3）=m+3，
∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，
∴=2，解得：m=1，
∴E的坐标为（1，0）.
②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，
∴EF=-3-m=1-（-3）=4，
解得：m=-7 即E（-7，0），
综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.
（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，
设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，
①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，
∵MN∥x轴，
∴MQ=NR=3e+3，
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），
∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，
∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，
∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），
∵N在抛物线上，
∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=−，
∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，
∴t-1-e=3e+3，
∴t=4e+4=，
②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，
∴MN=PM=3e+3，
∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），
∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=−，
∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，
③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，
∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），
解得：e=−，
∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，
综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．
3．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=
1 2
x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B
的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.
（1）求点B 的坐标和抛物线的表达式；
（2）当AE：EP=1：4 时，求点E 的坐标；
（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+
2
3
C′D 的最小值．
【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=
1
2
x2-x-
3
2
；（2）E(1，6)；（3）C′B＋2
3
C′D
4
10
3
【解析】
试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；
（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得
AE
AP
=
AG
AF
=
EG
PF
=
1
5
，从而求出E的坐标；
（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．
如图，取点M（0，
4
3
），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到
△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝
2
3
C′D，由C′B＋
2
3
C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．
试题解析：解：（1）∵抛物线y=
1
2
x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-1
2
2
b
=1，∴b=-1．
∵抛物线过点A （-1，0），∴12-b +c =0，解得：c =-32， 即：抛物线的表达式为：y =12x 2-x -32． 令y =0，则12
x 2-x -32=0，解得：x 1=-1，x 2=3，即B （3，0）； （2）过点P 作PF ⊥x 轴，垂足为F ．
∵EG ∥PF ，AE ：EP =1：4，∴AE AP =AG AF =EG PF =15
． 又∵AG =2，∴AF =10，∴F （9，0）．
当x =9时，y =30，即P （9，30），PF =30，∴EG =6，∴E （1，6）．
（3）由E （1，6）、A （-1，0）可得AP 的函数表达式为y =3x +3，则D （0，3）． ∵原点O 与点C 关于该对称轴成轴对称，∴EG =6，∴C （2，0），∴OC ′＝OC ＝2． 如图，取点M （0，43），连接MC ′、BM ．则OM ＝43，BM ＝2243()3+＝97． ∵423'23
OM OC ==，'23OC OD =，且∠DOC ′＝∠C ′OD ，∴△MOC ′∽△C ′OD ．∴'2'3MC C D =，∴MC ′＝23C ′D ，∴C ′B ＋23C ′D ＝C ′B ＋MC ′≥BM ＝4103，∴C ′B ＋23
C ′
D 的最小值为4103
．
点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF 的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．
4．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；
（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；
②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2y x 2x 3=--+.
（2）3210.
（3）①2S m 4m 3=---.
②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.
（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.
（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可.
【详解】
解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），
∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.
又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-.
∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.
（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值.
∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.
∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，
∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.
∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.
∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴AC=32，BC=10.
∴△PBC 的周长最小是：3210+.
（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），
∴直线AD 的解析式为y=2x+6
∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+）
∴()22
EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴
()
22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.
∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.
②()2
2S m 4m 3m 21=---=-++，
∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.
5．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （1, 0）、C （3, 0）、D （3, 4）．以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，以每秒12
个单位的速度沿线段AD 向点D 运动，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥x 轴交抛物线于点M ，交AC 于点N ．
（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）当t 为何值时，△ACM 的面积最大？最大值为多少？
（3）点Q 从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD 向点D 运动，当t 为何值时，在线段PE 上存在点H ，使以C 、Q 、N 、H 为顶点的四边形为菱形？
【答案】（1）A （1，4）；y ＝－x 2＋2x ＋3；（2）当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1；（3）2085-或2013． 【解析】
（1）由矩形的性质得到点A 的坐标，由抛物线的顶点为A ，设抛物线的解析式为y ＝a （x －1）2＋4，把点C 的坐标代入即可求得a 的值；
（2）由点P 的坐标以及抛物线解析式得到点M 的坐标，由A 、C 的坐标得到直线AC 的解析式，进而得到点N 的坐标，即可用关于t 的式子表示MN ，然后根据△ACM 的面积是△AMN 和△CMN 的面积和列出用t 表示的△ACM 的面积，利用二次函数的性质即可得到当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1；
（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由P Ｎ＝CQ ，PN ∥CQ ，得到四边形PNCQ 为平行四边形，所以当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形，据此得到，解得t 值；②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形，NQ 2＝CQ 2，得：
，解得t 值．
解：（1）由矩形的性质可得点A （1，4），
∵抛物线的顶点为A ，
设抛物线的解析式为y ＝a （x －1）2＋4，
代入点C （3, 0），可得a ＝－1．
∴y ＝－（x －1）2＋4＝－x 2＋2x ＋3．
（2）∵P （112t +
，４）， 将112x t =+
代入抛物线的解析式，y ＝－（x －1）2＋4＝2144t -， ∴M （112t +，2144
t -）， 设直线AC 的解析式为，
将A （１,４），C （３,０）代入
，得：， 将112x t =+
代入得， ∴N （112t +
，）， ∴MN ，
∴
， ∴当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1．
（3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时，
∵Ｎ（112t +，），P （112
t +，４）， ∴P Ｎ＝４—（
）＝＝CQ ，
又∵PN ∥CQ ， ∴四边形PNCQ 为平行四边形，
∴当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形，
PQ 2＝PD 2+DQ 2 ＝
，
∴， 整理，得240800t t -+=．解得12085t =-，22085t =+（舍去）；
②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，
NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形，
NQ 2＝CQ 2，得：．
整理，得213728000t t -+=．()()1320400t t --=．所以12013t =，（舍去）．
“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.
6．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标．
【答案】（1）y=-21x 2+32
x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，
12
. 【解析】
【分析】 （1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；
（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），
①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1；
当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2；
【详解】
解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，
将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，
∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩
，
∴
1 a
2
3 b
2
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴y=-2
1
x
2
+
3
2
x+2；
（2）∵点C与点D关于x轴对称，
∴D（0，-2）．
设直线BD的解析式为y=kx-2．
∵将（4，0）代入得：4k-2=0，
∴k=1
2
．
∴直线BD的解析式为y=1
2
x-2．
当P点与A点重合时，△BQM是直角三角形，此时Q（-1，0）；
当BQ⊥BD时，△BQM是直角三角形，
则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8，
∴-2x+8=-2
1
x
2
+
3
2
x+2，可求x=3或x=4（舍）
∴x=3；
∴Q（3，2）或Q（-1，0）；
（3）两个和谐点；
AO=1，OC=2，
设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），
①当A1、C1在抛物线上时，
∴()2213y
x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩
， ∴x 1y 3=⎧⎨=⎩
， ∴A 1的横坐标是1；
当O 1、C 1在抛物线上时，
()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩
， ∴1x 221y 8
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴A 1的横坐标是
12；
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．
7．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。

【答案】解：（1）2y x 2x 3=--；（2）存在，P 1-1313-1）；（3）Q 点坐标为（0，-
72）或（0，32
）或（0，－1）或（0，－3）. 【解析】
【分析】 （1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解. （2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.
（3）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.
【详解】
解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2，
∴y ＝2x ﹣6，
令y ＝0，解得：x ＝3，
∴B 的坐标是（3，0）．
∵A 为顶点，
∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，
把B （3，0）代入得：4a ﹣4＝0，
解得a ＝1，
∴y ＝（x ﹣1）2﹣4＝x 2﹣2x ﹣3．
（2）存在．
∵OB ＝OC ＝3，OP ＝OP ，
∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．
设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝1-13
2
（m＝
1+13
2
＞0
，舍），
∴P（1-13，13-1）．
（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，
∴1
DQ
AD
OD DB
=，即5
6
=1
35
，∴DQ1＝
5
2
，
∴OQ1＝7
2
，即Q1（0，-
7
2
）；
②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，
∴2
OQ
OB
OD OB
=，即2
3
63
OQ
=，
∴OQ2＝3
2
，即Q2（0，
3
2
）；
③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ3∽△Q3EA，
∴3
3
OQ
OB
Q E AE
=，即3
3
3
41
OQ
OQ
=
-
∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，
即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．
综上，Q点坐标为（0，-
7
2
）或（0，
3
2
）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．（3）当PH＝2时，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝16
5
或
4
5
；（3）点P的坐标为（2，4）或（1，4）
或（3+17
，4）．
【解析】
【详解】
（1）点C（0，4），则c＝4，
二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）tan∠ACO＝AO
CO
＝
1
4
，
△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，
即：tan∠FEB＝1
4
或4，
∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，
则
1
44
a
a
=
-
或4
4
a
a
=
-
，
解得：a＝16
5
或
4
5
；
（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；分别延长CF、HP交于点N，
∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，
∴∠FPN＝∠NFB，
∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，
∵∠PNF ＝∠BEF ＝90°，FP ＝FB ，
∴△PNF ≌△BEF （AAS ），
∴FN ＝FE ＝a ，PN ＝EB ＝4﹣a ，
∴点P （2a ，4），点H （2a ，﹣4a 2+6a+4），
∵PH ＝2，
即：﹣4a 2+6a+4﹣4＝|2|，
解得：a ＝1或12或317+或317-（舍去）， 故：点P 的坐标为（2，4）或（1，4）或（
3+17，4）． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为()1,0-，且4OA OC OB ==，抛物
线()20y ax bx c a =++≠图象经过,,A B C 三点．
（1）求,A C 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD AC ⊥于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．
【答案】解：（1）点A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；；
（2）抛物线的表达式为：234y x x ＝﹣
﹣ ； （3）PD 有最大值，当x ＝2时，其最大值为2，此时点P （2，﹣6）．
【解析】
【分析】
（1）OA ＝OC ＝4OB ＝4，即可求解；
（2）抛物线的表达式为：234y x x ＝a （x+1）(x-4)=a(﹣
﹣) ，即可求解； （3）22434--++＝（）PD x x x ，即可求解．
【详解】
解：（1）OA ＝OC ＝4OB ＝4，
故点A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；
（2）抛物线的表达式为：234y x x ＝a （x+1）(x-4)=a(﹣
﹣)， 即﹣4a ＝﹣4，解得：a ＝1，
故抛物线的表达式为：234y x x --＝ ；
（3）直线CA 过点C ，设其函数表达式为：4y kx -＝，
将点A 坐标代入上式并解得：k ＝1，
故直线CA 的表达式为：y ＝x ﹣4，
过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，
∵OA ＝OC ＝4，
45OAC OCA ∴∠∠︒＝＝ ，
∵//PH y 轴，
45PHD OCA ∴∠∠︒＝＝，
设点234P x x x --（，）
，则点H （x ，x ﹣4）， 2224342222
--+++＝（）=-PD x x x x x ∵2＜0，∴PD 有最大值，当x ＝2时，其最大值为22 此时点P （2，﹣6）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示PD ，是本题解题的关键
10．在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知A(1，4)，B(3，0)．
(1)求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)探究：如图1，连接OA ，作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由；
(3)应用：如图2，P(m ，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n ＝﹣1，连接PA 、PC ，在线段PC 上确定一点M ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为(122x x +，122
y y +)．
【答案】(1)y ＝﹣x 2+2x ﹣3；(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由见解析；
(3)点N(
43，﹣73
)． 【解析】
【分析】 (1)函数表达式为：y ＝a(x ﹣1)2+4，将点B 坐标的坐标代入上式，即可求解；
(2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；
(3)由(2)知：点N 是PQ 的中点，根据C,P 点的坐标求出直线PC 的解析式，同理求出AC,DQ 的解析式，并联立方程求出Q 点的坐标，从而即可求N 点的坐标．
【详解】
(1)函数表达式为：y ＝a(x ﹣1)2+4，
将点B 坐标的坐标代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4，
解得：a ＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ﹣3；
(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由：
如图1，∵DE ∥AO ，S △ODA ＝S △OEA ，
S △ODA +S △AOM ＝S △OEA +S △AOM ，即：S 四边形OMAD ＝S △OBM ，
∴S △OME ＝S △OBM ，
∴S 四边形OMAD ＝S △OBM ；
(3)设点P(m ，n)，n ＝﹣m 2+2m+3，而m+n ＝﹣1，
解得：m ＝﹣1或4，故点P(4，﹣5)；
如图2，故点D 作QD ∥AC 交PC 的延长线于点Q ，
由(2)知：点N 是PQ 的中点， 设直线PC 的解析式为y=kx+b ，
将点C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐标代入得：0
45
k b k b -+=⎧⎨
+=-⎩，
解得：1
1
k b =-⎧⎨
=-⎩，
所以直线PC 的表达式为：y ＝﹣x ﹣1…①， 同理可得直线AC 的表达式为：y ＝2x+2， 直线DQ ∥CA ，且直线DQ 经过点D(0，3)， 同理可得直线DQ 的表达式为：y ＝2x+3…②， 联立①②并解得：x ＝﹣43，即点Q(﹣43，13
)， ∵点N 是PQ 的中点， 由中点公式得：点N(43，﹣73
)． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N 是PQ 的中点，是本题解题的突破点．
11．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+． ①求抛物线的解析式．
②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．
③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．
【答案】①2
65y x x =-+-；②当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③点
N 的横坐标为：4541+541
-． 【解析】 【分析】
①点B 、C 在直线为y x n =+上，则B （﹣n ，0）、C （0，n ），点A （1，0）在抛物线
上，所以2
50
505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩
，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：
265y x x =-+-；
②先求出点P 到BC 的高h 为2
sin 45)BP t ︒=
-，于是21122)22)2222PBE S BE h t t t ∆=
⋅=-⨯=-+2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22
③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC 的距离22d =N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设(
)
2
,65N m m m -+-，则(,0)H m 、
(,5)P m m -，易证△PQN 为等腰直角三角形，即22NQ PQ ==4PN =，
Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m =，Ⅱ．4NH HP +=，()
2
5654m m m ---+-=解得1541
2
m =
，25412m =（舍
去），Ⅲ．4NH HP -=，(
)
2
65[(5)]4m m m --+----=，解得1541
2
m =（舍去），2541
2
m =． 【详解】
解：①∵点B 、C 在直线为y x n =+上，
∴B （﹣n ，0）、C （0，n ）， ∵点A （1，0）在抛物线上，
∴2
50505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩
， ∴1a =-，6b =，
∴抛物线解析式：265y x x =-+-； ②由题意，得，
4PB t =-，2BE t =，
由①知，45OBC ︒∠=， ∴点P 到BC 的高h
为sin 45(4)2
BP t ︒=-，
∴211)22)22PBE S BE h t t t ∆=
⋅=-⨯=-+ 当2t =时，△PBE
的面积最大，最大值为 ③由①知，BC 所在直线为：5y x =-， ∴点A 到直线BC
的距离d =
过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ． 设(
)
2
,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -， 易证△PQN
为等腰直角三角形，即NQ PQ == ∴4PN =， Ⅰ．4NH HP +=， ∴265(5)4m m m -+---= 解得11m =，24m =，
∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形， ∴4m =；
Ⅱ．4NH HP +=， ∴(
)
2
5654m m m ---+-=
解得1m =
，2m =
∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
5m >，
∴m =
， Ⅲ．4NH HP -=，
∴(
)
2
65[(5)]4m m m --+----=， 解得1541
m +=
，2541m -=，
∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
0m <，
∴541
m -=
， 综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或
5412+或541
2
-． 【点睛】
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
12．如图，抛物线与x 轴交于点A （，0）、点B （2，0），与y 轴交于点C （0，1），
连接BC ．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N 为抛物线上的一个动点，过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，设点N 的横坐标为t （），求△ABN 的面积S 与t 的函数关系式；
（3）若且
时△OPN ∽△COB ，求点N 的坐标．
【答案】（1）
；（2）
；（3）（
，
）或（1，2）．
【解析】
试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结
论；
（2）当时，点N 在x 轴的上方，则NP 等于点N 的纵坐标，只需求出AB ，就
可得到S 与t 的函数关系式；
（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO ．而PO=
，需分
和0＜t ＜2两种情况
讨论，由PN=2PO 得到关于t 的方程，解这个方程，就可得到答案． 试题解析：（1）设抛物线的解析式为
，把C （0，1）代入可得：
，∴，∴抛物线的函数关系式为：
，即
；
（2）当时，
＞0，∴NP=
==
， ∴S=AB•PN=
=；
（3）∵△OPN ∽△COB ，∴，∴
，∴PN=2PO ． ①当时，PN=
=
=
，PO==
，∴，整
理得：
，解得：=
，=
，∵＞0，＜
＜0，∴t=
，此时点N 的坐标为（，）；
②当0＜t ＜2时，PN==
=
，PO=
=t ，∴
，整理得：
，解得：=，=1．∵
＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N 的坐标
为（1，2）．
综上所述：点N 的坐标为（
，
）或（1，2）．
考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形的性质．
13．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点3,-3) 和3,0)，过点A 作直线AC//x 轴，交y 轴与点C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D ，连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出对应点P 的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q ，使得1
3
AOC AOQ S S ∆∆=?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）21332y x x =
-；（2）P 点坐标为（3
83,- 4
3）；（3）Q 点坐标（30）或（315） 【解析】 【分析】
（1）把A 与B 坐标代入抛物线解析式求出a 与b 的值，即可确定出解析式；
（2）设P 坐标为2133
,22
x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭
，表示出AD 与PD ，由相似分两种情况得比例求出x 的值，即可确定出P 坐标；
（3）存在，求出已知三角形AOC 边OA 上的高h ，过O 作OM ⊥OA ，截取OM=h,与y 轴交于点N ，分别确定出M 与N 坐标，利用待定系数法求出直线MN 解析式，与抛物线解析式联立求出Q 坐标即可． 【详解】
（1）把3A 3)-和点(33B 0)代入抛物线得：333
27330
a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，
解得：12a =
，33
2
b =-， 则抛物线解析式为2133
22
y x x =
-； （2）当P 在直线AD 上方时，
设P 坐标为2133
,2x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，则有3AD x =213332PD x x =+， 当OCA ADP ∆∆∽时，OC CA AD DP =2331333
x x x =
--+， 整理得：239318236x x x -+=-，即23113240x x -+=，
解得：6x =
，即3
x =
或x =
此时P 4)3-；
当OCA PDA ∆∆∽时，OC CA PD AD =
22
=
，
296x x -+=-
2120x -+=，
解得：x =
x =
此时P 6)；
当点()0,0P 时，也满足OCA PDA ∆∆∽； 当P 在直线AD 下方时，同理可得：P
的坐标为10)3-，
综上，P
的坐标为，4)3-
或6)
或10)3-或()0,0；
（3）在Rt AOC ∆中，3OC =
，AC =
根据勾股定理得：OA =
Q 11
··22OC AC OA h =， 3
2
h ∴=
，
132AOC AOQ S S ∆∆==
Q ， AOQ ∴∆边OA 上的高为
9
2
， 过O 作OM OA ⊥，截取9
2
OM =
，过M 作//MN OA ，交y 轴于点N ，如图所示：
在Rt OMN ∆中，29ON OM ==，即()0,9N ， 过M 作MH x ⊥轴，
在Rt OMH ∆中，1924MH OM ==，393OH ==，即93(M ，9)4， 设直线MN 解析式为9y kx =+，
把M 坐标代入得：
99394=+，即3k =39y x =+， 联立得：239
13322y x y x x ⎧=-+⎪
⎨=-
⎪⎩
，
解得：330x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩3
15
x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩(33Q 0)或(23-，15)，
则抛物线上存在点Q ，使得1
3
AOC AOQ S S ∆∆=
，此时点Q 的坐标为(330)或(23-15)．
【点睛】
二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
14．已知抛物线2
7
y x 3x 4
=--
的顶点为点D ，并与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）取点E（
3
4
，0）和点F（0，），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中
点．
①点G是否在直线l上，请说明理由；
②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1） D（3
2
，﹣4）
（2） P（0，7
4
）或（0，
1
7
）
（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标．
（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解．
（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可．②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点．再设直线DE的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M．
【详解】
解：（1）在2
7y x 3x 4=--中，令y=0，则2
7x 3x 04
--=，整理得，4x 2﹣12x ﹣7=0， 解得x 1=12-
，x 2=72．∴A （12-，0），B （7
2
，0）． 在2
7y x 3x 4=--
中，令x=0，则y=74-．∴C （0，7
4
-）． ∵()227413b 334ac b 442a 2124a 41⎛⎫
⨯⨯--- ⎪--⎝⎭-=-===-⨯⨯，，∴顶点D （32
，﹣4）． （2）在y 轴正半轴上存在符合条件的点P ． 设点P 的坐标为（0，y ），
∵A （12-
，0），C （0，74-），∴OA=12，OC=7
4
，OP=y ， ①若OA 和OA 是对应边，则△AOP ∽△AOC ，∴
OP OA OC OA =．∴y=OC=7
4
，此时点P （0，7
4
）． ②若OA 和OC 是对应边，则△POA ∽△AOC ，∴OP OA
OA OC
=，即1y 21724
=．
解得y=17，此时点P （0，1
7
）．
综上所述，符合条件的点P 有两个，P （0，74）或（0，1
7
）． （3）①设直线l 的解析式为y=kx+b （k≠0），
∵直线l 经过点E （32-
，0）和点F （0，3
4
-）， ∴3k b 023b 4⎧-+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1k 23b 4⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
，
∴直线l 的解析式为13
y x 24
=--． ∵B （
72，0），D （3
2，﹣4）， ∴[]17
35104222
2
22+=+-=-（）
，（），∴线段BD 的中点G 的坐标为（52
，﹣2）．
当x=52时，153y 2224=-⨯-=-，∴点G 在直线l 上． ②在抛物线上存在符合条件的点M ．
设抛物线的对称轴与x 轴交点为H ，则点H 的坐标为（
32，0）， ∵E （32-
，0）、F （0，34-），B （72，0）、D （32，﹣4）， ∴OE=
32，OF=72，HD=4，HB=72﹣32=2． ∵，∠OEF=∠HDB ，
∴△OEF ∽△HDB ．∴∠OFE=∠HBD ．
∵∠OEF+∠OFE=90°，∴∠OEF+∠HBD=90°．
∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD ）
=180°﹣90°=90°，
∴直线l 是线段BD 的垂直平分线．
∴点D 关于直线l 的对称点就是点B ．
∴点M 就是直线DE 与抛物线的交点．
设直线DE 的解析式为y=mx+n ，
∵D （32，﹣4），E （32
-，0）， ∴
，解得． ∴直线DE 的解析式为．
联立，解得，．
∴符合条件的点M 有两个，是（32
，﹣4）或（，）．
15．如图，抛物线y =ax 2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中点A （1，3），点B （3，﹣3），O 为坐标原点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P （4，m ），Q （t ，n ）为该抛物线上的两点，且n ＜m ，求t 的取值范围； （3）若C 为线段AB 上的一个动点，当点A ，点B 到直线OC 的距离之和最大时，求∠BOC 的大小及点C 的坐标．
【答案】（1）22353y x x =；（2）t ＞4；（3）∠BOC =60°，C （323 【解析】 分析：（1）将已知点坐标代入y=ax 2+bx ，求出a 、b 的值即可；
（2）利用抛物线增减性可解问题；
（3）观察图形，点A ，点B 到直线OC 的距离之和小于等于AB ；同时用点A （13点B （33
详解：（1）把点A （13B （33y=ax 2+bx 得
3=393a b a b ⎧+⎪⎨-=+⎪⎩ ，解得2353a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴y=22353x + （2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=54
，
当x＞5
4
时，y随x的增大而减小，
∴当t＞4时，n＜m．
（3）如图，设抛物线交x轴于点F，分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E
∵AC≥AD，BC≥BE，
∴AD+BE≤AC+BE=AB，
∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大．
∵A（13B（33
∴∠AOF=60°，∠BOF=30°，
∴∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°．
当OC⊥AB时，∠BOC=60°，点C坐标为（3
2
3
点睛：本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．。