2015年-2019年高考数学分类考点14 函数y=Asin()的图象及三角函数模型的简单应用

考点14 函数y=Asin （x ωϕ+）的图象及三角函数模型的简单应用
一、选择题
1.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为 ( )
A.))(43,41(Z k k k ∈+-
ππ B. ))(4
32,412(Z k k k ∈+-ππ C ))(43,41(Z k k k ∈+-
D. ))(4
32,412(Z k k k ∈+- 【解题指南】根据图象,利用五点法求出ω,φ的值,确定f(x)的解析式,求出f(x)的单调递减区间.
【解析】选 D.由五点作图知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+234
52
41
π
ϕϖπϕϖ,,解得ω=π, 4πϕ=，所以
)4
cos()(π
π+
=x x f
令z k k x k ∈+<+
<,24
2πππ
ππ，解得4
3
2412+<<-
k x k ，z k ∈，故单调递减区间为))(4
3
2,412(z k k k ∈+-.
2.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为 ( )
A.(k ∈Z)
B.(k ∈Z)
C.(k ∈Z)
D.(k ∈Z)
【解题指南】根据图象,利用五点法求出ω,φ的值,确定f(x)的解析式,求出f(x)的单调递减区间.
【解析】选 D.由五点作图知,,解得ω=π,φ=,所以f(x)=cos
,
令2k π<πx+<2k π+π,k ∈Z,解得2k-<x<2k+,k ∈Z,故单调递减区间为
(k ∈Z).
3.(2015·山东高考理科·T3) 要得到函数sin 43y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将
函数sin 4y x =的图象
A. 向左平移
12π个单位 B. 向右平移12π
个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π
个单位
【解题指南】对于()sin y A x ωφ=+一类的图象的左右平移问题，一定要将函
数变形为sin y A x φωω⎡⎤
⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再加以判断，即针对x 的变化了φω个单位（左
加右减）.
【解析】选 B. 要得到sin 4()12sin 43y x x ππ⎛⎫=-⎡
⎤=-⎢⎥⎣
⎪⎝⎭⎦ 的图象，只需将
sin 4y x =的图象向右平移
12
π
个单位， 4.(2015·山东高考文科·T4)
要得到函数sin 43y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图象
A. 向左平移
12π个单位 B. 向右平移12π
个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π
个单位
【解题指南】对于()sin y A x ωφ=+一类的图象的左右平移问题，一定要将函
数变形为sin y A x φωω⎡⎤
⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再加以判断，即针对x 的变化了φω个单位（左
加右减）.
【解析】选 B. 要得到sin 4()12sin 43y x x ππ⎛⎫=-⎡
⎤=-⎢⎥⎣
⎪⎝⎭⎦ 的图象，只需将
sin 4y x =的图象向右平移
12
π
个单位， 5. (2015·陕西高考理科·T3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近
似满足函数y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 ( )
A.5
B.6
C.8
D.10
【解题指南】本题考查由y=Asin(ωx+φ)+k 的部分图像确定函数的最大值,可得y max =3+k y min =k-3,整理可求最大值.
【解析】选C.不妨设水深的最大值为M,由题意结合函数图像可得3+k=M ①
k-3=2 ② 解之得M=8.
6.（2015·安徽高考理科·T10）已知函数（，，均
为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列
结论正确的是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
【解题指南】求出函数f(x)的解析式，利用正弦函数的图像和性质进行判断。

【解析】选A 。

因为函数（，，均为正的常数）的最
小正周期为，所以
，所以
，
当
时，，
所以， 当
，即
时函数
取得最大值。

下面只需要判断2，
-2,0与最近的最高点处对称轴的距离越大，函数值越小。

当k=0时，
当k=1时，
当k=-1时，，
所以
，故选A 。

二、填空题
7. (2015·陕西高考文科·T14)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近
()()
sin f x x ωϕ=A +A ωϕπ23x π
=
()f x ()()()220f f f <-<()()()022f f f <<-()()()202f f f -<<()()()202f f f <<-()()sin f x x ωϕ=A +A ωϕπ22
T π
πωω
=
=⇒=()()
sin 2f x x ϕ=A +23x π=
23222326k k πππ
ϕπϕπ
⨯+=+⇒=+()sin 26f x x π⎛
⎫=A + ⎪
⎝⎭226
2
x k π
π
π
+
=
+6
x k π
π
=
+()
f x ,|0|0.52;
6
6
x π
π
=
-
≈77,|2| 1.66;66x ππ=
-≈55,|2()|0.666x ππ
=-
---≈()()()
220f f f <-<
似满足函数
y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 .
【解题指南】由图像观察可得:y min =-3+k=2,从而可求k 的值,进而可求y max . 【解析】由图像得,当
sin(x+φ)=-1时y min =2,求得k=5,当
sin(x+φ)=1时,y max =3×1+5=8. 答案: 8 三、解答题
8. (2015·湖北高考理科·T17)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式.
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为
,求θ的最小值.
【解题指南】1、函数的图像及其性质；2、三角函数的图像及
其性质；（Ⅰ）根据已知表格中的数据可得方程组，解之可得函数
()sin()f x A x ωϕ=+532536
2A π
πωϕππ
ωϕ⎧
⎪=⎪
⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩
的表达式，进而可补全其表格即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）并结合函数图像平移的性质可得，
.因为的对称中心为，.令，解得
，
. 令
，解得
，
. 由
可知，当
时，取得最小值.
【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得
. 数据补全如下表：
0 且函数表达式为
. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得.
因为的对称中心为
，
.
令
，解得， .
由于函数的图象关于点成中心对称，令，
解得
，
. 由
可知，当
时，取得最小值.
9. (2015·湖北高考文科·T18) 某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数
据，如下表：
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．
，并直接写出函数()f x π
()sin()(0,||)2
f x A x ωϕωϕ=+><()f x
的解析式；
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求的图象离原点最近的对称中心.
【解题指南】1、函数的图像及其性质；2、三角函数的图像及其性质；（Ⅰ）根据已知表格中的数据可得方程组，解之可得函数
的表达式，进而可补全其表格即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）并结合函数图像平移的性质可得，函数的表达式，进而求出其图像的对称中心坐标，取出其距离原点最近的对称中心即可.
【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：，，，解得. 数据补全如下表：
且函数表达式为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此.因为的对称中心为，. 令，解得，.即图象的对称中心为，，其中离原点最近的对称中心为.
10.(2015·福建高考文科·T21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=10sin cos +10cos2.
()
y f x
=
π
6
()
y g x
= ()
y g x
=O
()sin()
f x A x
ωϕ
=+
5
32
53
62
A
ππ
ωϕ
ππ
ωϕ
⎧
⎪=
⎪
⎪
+=
⎨
⎪
⎪
+=
⎪⎩
()
f x
()
g x
O
5
A=
32
ππ
ωϕ
+=
53
62
ππ
ωϕ
+=
π
2,
6
ωϕ
==-
π
()5sin(2)
6
f x x
=-
π
()5sin(2)
6
f x x
=-
πππ
()5sin[2()]5sin(2)
666
g x x x
=+-=+ sin
y x
=(π,0)
k k∈Z
π
2π
6
x k
+=
ππ
212
k
x=-k∈Z ()
y g x
=
ππ
212
k
-
（，）k∈Z O
π
(,0)
12
-
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,且函数g(x)的最大值为2.
①求函数g(x)的解析式.
②证明:存在无穷多个互不相同的正整数x
0,使得g(x
)>0.
【解题指南】(1)用辅助角公式化简.(2)利用三角函数图象变换和三角函数的周期性求解.
【解析】(1)因为f=10sin cos+10cos2
=5sinx+5cosx+5
=10sin+5,
所以函数f的最小正周期T=2π.
(2)①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=10sinx+5的图象,再向下平移a(a>0)个单位长度后得到g(x)=10sinx+5-a的图象,
又已知函数g(x)的最大值为2,所以10+5-a=2,解得a=13.
所以g=10sinx-8.
②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x
,使得g>0,就是要证明存在无穷
多个互不相同的正整数x
0,使得10sinx
-8>0,即sinx
>.
由<知,存在0<α
0<,使得sinα
=.
由正弦函数的性质可知,当x∈(α
0,π-α
)时,均有sinx>.
因为y=sinx的周期为2π,
所以当x∈(2kπ+α
0,2kπ+π-α
)(k∈Z)时,
均有sinx>.
因为对任意的整数k,(2kπ+π-α
0)-(2kπ+α
)=π-2α
>>1,
所以对任意的正整数k,都存在正整数x
k ∈(2kπ+α
,2kπ+π-α
),使得sinx
k
> ,
亦即,存在无穷多个互不相同的正整数x
,使得g>0.
1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T12)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)
π
ω0,φ
2
⎛⎫
>≤
⎪
⎝⎭
,x=-π
4
为f(x)的零点,x=π
4
为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在
π5π
,
1836
⎛⎫
⎪
⎝⎭
上单调,则ω的最大值为( )
A.11
B.9
C.7
D.5
【解析】选B.由题意知:
1
2
π
ωφkπ,
4
ππ
ωφkπ,
42
⎧
-+=
⎪⎪
⎨
⎪+=+
⎪⎩
则ω=2k+1,其中k∈Z.
∵f(x)在π5π
,
1836
⎛⎫
⎪
⎝⎭
上单调,
5πππ12π
,12.
3618122ω
ω
∴-=≤⨯≤
接下来用排除法.
若ω=11,φ=-π
4
,此时f(x)=sinπ
11x
4
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
,
f(x)在π3π
,
1844
⎛⎫
⎪
⎝⎭
上单调递增,在π5π
,
1836
⎛⎫
⎪
⎝⎭
上单调递减,不满足f(x)在π5π
,
1836
⎛⎫
⎪
⎝⎭
上单调,
若ω=9,φ=
π
4,此时f(x)=sinπ
9x
4
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
,满足f(x)在π5π
,
1836
⎛⎫
⎪
⎝⎭
上单调递减.
2.(2016·全国卷Ⅱ理科·T7)若将函数y=2sin2x的图象向左平移π
12
个单位
长度,则平移后图象的对称轴为( )
A.x=kπ
2
-π
6
(k∈Z) B.x=kπ
2
+π
6
(k∈Z)
C.x=kπ
2
-π
12
(k∈Z) D.x=kπ
2
+π
12
(k∈Z)
【解题指南】先求出平移之后图象对应的函数解析式,利用整体思想,类比正弦曲线,确定函数图象的对称轴.
【解析】选B.平移后图象的解析式为y=2sin2πx 12⎛
⎫
+ ⎪⎝⎭,
令2πx 12⎛
⎫
+ ⎪⎝⎭=k π+π
2,k ∈Z,
得对称轴方程:x=
k π2+π
6
(k ∈Z). 3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T3)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则
( )
A.y=2sin π2x 6⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
B.y=2sin π2x 3
⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
C.y=2sin πx+6
⎛⎫
⎪⎝
⎭
D.y=2sin πx+3
⎛⎫
⎪⎝
⎭
【解题指南】观察函数图象,可以求出A 和周期,进而求出ω,再由关键点求出φ的值.
【解析】选A.由题图知,A=2,T π
ππ
=-=2362⎛⎫- ⎪⎝⎭ ,
故T=π,ω=
2π
π
=2, 所以y=2sin(2x+φ).因为图象过点π,23
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
,
所以2sin π
2φ3⎛
⎫
⨯+ ⎪⎝⎭=2,则2π3+φ=2k π+π
2 (k ∈Z),
取k=0,则φ=-π6
,故y=2sin π2x 6⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
.
4.(2016·天津高考文科·T8)已知函数f(x)=sin 2
ωx 2+12sin ωx-1
2
(ω>0),x ∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是 ( ) A.10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦
B.10,4⎛⎤ ⎥⎝
⎦
∪5,18⎡⎫⎪⎢⎣
⎭
C.50,8
⎛⎤
⎥⎝
⎦
D.10,8⎛
⎤
⎥⎝
⎦
∪15,48
⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
【解题指南】利用降幂公式以及辅助角公式把f(x)整理为y=Asin(ωx+φ)+b 的形式,得到f(x)的零点,根据零点不在(π,2π)内得出不等式,然后求解.
【解析】选D. f(x)=
1cos ωx sin ωx 1π
22(2)4
x ω-+-=-,令f(x)=0,得x=πk π4
ω+∉(π,2π),(k ∈Z).所以ω∉11,84⎛⎫ ⎪⎝
⎭
∪55,84⎛⎫ ⎪⎝
⎭
∪99,84⎛⎫ ⎪⎝
⎭
∪……=11,84
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
∪
5,∞8⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
,所以ω∈10,8⎛
⎤
⎥⎝
⎦
∪15,48
⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
.
5.(2016·北京高考理科·T7)将函数y=sin π2x 3⎛
⎫- ⎪⎝⎭图象上的点
P π,t 4⎛⎫
⎪⎝⎭
向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin2x 的图象上,则 ( )
A.t=12
,s 的最小值为π6
B.t=
的最小值为π6
C.t=1
2
,s 的最小值为π3
D.t=
的最小值为π3
【解题指南】把点P 代入y=sin π2x 3⎛
⎫- ⎪⎝
⎭求出t,再把P'代入y=sin2x 求出s
的最小值.
【解析】选A.点P π,t 4⎛⎫ ⎪⎝⎭在y=sin π2x 3⎛⎫- ⎪⎝⎭上,所以t=sin ππ23⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin π6=1
2,P
πt ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'π
1s,42⎛⎫- ⎪⎝⎭,代入y=sin2x 得sin π2s 2⎛⎫- ⎪⎝⎭
=12,所以cos2s=12,2s=±π3+2k π,s=±π6+k π,k ∈Z.又因为s>0,所以s 的最小值为π
6
. 二、填空题
6.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T14)函数y=sinx-的图象可由函数
y=sinx+的图象至少向右平移 个单位长度得到.
【解析】函数y=sinx-πx 3
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
,根据左加右减原则可得只需将
y=sinx+向右平移2π
3
个单位即可. 答案:
2π3
7.(2016·浙江高考理科·T10)已知2cos 2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .
【解题指南】利用倍角公式和辅助角公式化简. 【解析】2cos 2x+sin2x=1+cos2x+sin2x
sin π2x 4
⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
+1,所以A=
答案: 1
1.(2017·浙江高考·T11)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 内,S 内= .
【命题意图】本题主要考查圆与三角函数,意在考查学生对圆与三角函数的性质的应用能力. 【解析】
如图,因为是单位圆,所以OA=1,因为六边形ABCDEF 是正六边形,所以△OAB
是正三角形,所以AB=1,过点O 作OG ⊥AB 于点G,所以OG=OAsin60°=2
,所以正六边形的面积为
6S △OAB =6×
1
2
×AB ·.
答案:
1.(2018·天津高考理科·T6)将函数y =sin 的图象向右平移个单位
长度,所得图象对应的函数 ( )
A.在区间
上单调递增
B.在区间
上单调递减
C.在区间上单调递增 D .在区间上单调递减
【命题意图】本题考查考生对三角函数的图象与性质的掌握以及三角函数图象变换知识的理解与应用,考查考生对三角函数数形结合思想的运用以及三角函数的逻辑推理能力.
【解析】选A .因为将函数y =sin 的图象向右平移个单位长度,得到
函数y =sin2x 的图象.
用五点法作出草图,如图:从图中可以看出选项A 正确,其他都不正确.
2.(2018·天津高考文科·T6)将函数y =sin 的图象向右平移个单位
长度,所得图象对应的函数 ( )
A.在区间
上单调递增
B .在区间
上单调递减
C .在区间上单调递增 D.在区间上单调递减
【命题意图】本题考查考生对三角函数的图象与性质的掌握以及三角函数
图象变换知识的理解与应用,考查考生对三角函数数形结合思想的运用以及三角函数的逻辑推理能力.
【解题指南】先求出平移后函数的解析式,再用五点法画出函数的草图,观察图象即可得出结论.
【解析】选A .因为将函数y =sin 2x +
的图象向右平移个单位长度,得到
函数y =sin2x 的图象;用五点法作出草图,如图:从图中可以看出选项A 正确,其他都不正确.
二、填空题
3.(2018·江苏高考·T7)已知函数y =sin(2x +φ)
的图象关于直线
x=对称,则φ的值是.
【解析】正弦函数的对称轴为+kπ(k∈Z),故把x=代入得+φ=+kπ(k
∈Z),φ=-+kπ(k∈Z),因为-<φ<,所以k=0,φ=-.
答案:-
三、解答题
4.(本小题13分)(2018·北京高考文科·T16)
已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.
【命题意图】考查三角函数图象与性质,以及三角恒等变换,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,数形结合思想,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.
【解析】(1)由已知,f(x)=(1-cos2x)+sin2x=sin2x-cos2x+
=sin(2x-)+,所以f(x)的最小正周期为T==π.
(2)方法一:显然m>-,
若x∈,则2x∈,
2x-∈,
①若2m-<即m<,
则f(x)在[-,m]上的最大值小于,不合题意.
②若2m-≥即m≥,
当2x-=即x=时,f(x)在[-,m]上取得最大值,符合题意,
综上,m的最小值为.
方法二:
显然m>-,因为f(x)在[-,m]上的最大值为,
所以y=sin(2x-)在[-,m]上的最大值为1,
又因为当且仅当2x-=+2kπ,即x=+kπ(k∈Z)时,
y=sin(2x-)=1.
所以[-,m]∩{x|x=+kπ(k∈Z)}≠∅,
令+kπ≥-(k∈Z)得k≥-,即k=0,1,2,…
所以x=+0×π=∈[-,m],即m≥,
所以m的最小值为.
1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T11)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间ππ单调递增
③f(x)在[-π,π]有4个零点
④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是()
A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③
【解析】选C.因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以
f(x)为偶函数,故①正确.当π<x<π时,f(x)=2sin x,它在区间ππ单调递减,故②错误.当0≤x≤π时,f(x)=2sin x,它有两个零点:0,π;当-π≤x<0时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x,它有一个零点:-π,故f(x)在[-π,π]有3个零点:-π,0,π,故③错误.当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时,f(x)=2sin x;当x∈[2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时,f(x)=sin x-sin x=0,又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确.综上所述,①④正确,故选C.
【光速解题】画出函数f(x)=sin|x|+|sin x|的图象,由图象可得①④正确,故选C.
2.(2019·全国卷Ⅲ理科·T12)设函数f(x)=sinπ(ω>0),已知f(x)
在[0,2π]上有且仅有5个零点,下述四个结论:
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点
③f(x)在π上单调递增
④ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是()
A.①④
B.②③
C.①②③
D.①③④
【命题意图】本题考查三角函数y=A sin的图象与性质,意在考查考生制图、用图的求解能力.
【解析】选D.
①若f(x)在[0,2π]上有5个零点,可画出大致图象,
由图1可知,f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,故①正确.
②由图1、图2可知,f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点,故②错误.
④当f(x)=sinπ=0时,ωx+π=kπ(k∈Z),
所以x=ππ
,
因为f(x)在[0,2π]上有5个零点.
所以当k=5时,x=ππ
≤2π,
当k=6时,x=ππ
>2π,
解得≤ω<,故④正确.
③函数f(x)=sinπ的增区间为-π+2kπ<ωx+π<π+2kπ(k∈Z),
-π
<x<π.
取k=0,
当ω=时,单调递增区间为-π<x<π;
当ω=时,单调递增区间为-π<x<π,
综上可得f(x)在π上单调递增.故③正确.
所以结论正确的编号有①③④.
3.(2019·北京高考文科·T8)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()
A.4β+4cos β
B.4β+4sin β
C.2β+2cos β
D.2β+2sin β
【命题意图】本题以直线与圆,三角函数作为问题背景,求面积的最值,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:大.
【解析】选B.阴影区域面积最大时,也即△PAB面积最大时,AB不动,P动,即底AB是定值,高为点P到AB的距离最大时,面积最大.此时,点P在优弧AB的中点上,如图所示.
设圆心为O,连接OA,OB,OP,
因为∠APB=β,所以∠AOB=2β,S扇形AOB=×2β×22=4β,
S
△AOP
=S△BOP=OA·OP sin∠AOP=×2×2sin(π-β)=2sin β,
所以阴影区域面积最大为4β+4sin β.
4.(2019·天津高考理科·T7)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且gπ=,则fπ= ()
A.-2
B.-
C.
D.2
【命题意图】本题考查函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与其参数A,ω,φ之间的关系.
【解题指南】只需根据函数性质逐步得出A,ω,φ的值即可.
【解析】选C.f(x)为奇函数,可知f(0)=A sin φ=0,
由|φ|<π可得φ=0;把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得g(x)=A sinωx,g(x)的最小正周期为2π,可得ω=2,由gπ=,可得A=2,所以f(x)=2sin 2x,fπ=2sinπ=.
5.(2019·天津高考文科·T7)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且f(x)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若
gπ=,则fπ= ()
A.-2
B.-
C.
D.2
【命题意图】本题考查函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与其参数A,ω,φ之间的关系.
【解题指南】只需根据函数性质逐步得出A,ω,φ的值即可.
【解析】选C.f(x)为奇函数,可知f(0)=A sin φ=0,
由|φ|<π可得φ=0;
又因为f(x)的最小正周期为π,可得ω=2,
所以y=f(x)=A sin 2x,把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得g(x)=A sin x,
由gπ=,可得A=2,
所以f(x)=2sin 2x,fπ=2sinπ=.
二、填空题
6.(2019·全国卷Ⅰ文科·T15)函数f(x)=sinπ-3cos x的最小值为.
【命题意图】本题首先应用诱导公式,转化得到二倍角的余弦,进一步应用二倍角的余弦公式,得到关于cos x的二次函数.题目有一定的综合性,注重了基础知识、数学式子的变形及运算求解能力的考查.
【解析】f(x)=sinπ-3cos x=-cos 2x-3cos x
=-2cos2x-3cos x+1=-2+,
因为-1≤cos x≤1,所以当cos x=1时,f(x)min=-4,
故函数f(x)的最小值为-4.
答案:-4
【易错提醒】解答本题的过程中,部分考生易忽视-1≤cos x≤1的限制,而简单应用二次函数的性质,出现运算错误.。