湖北黄冈中学、孝感高中2019高三上联考试题-数学理(带解析)

湖北黄冈中学、孝感高中2019高三上联考试题-数学理（带解析）
理科数学
150分
【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、
1、设为虚数单位，复数z 满足i 2i z =+，那么z 等于〔〕 A 、2i - B 、2i -- C 、12i + D 、12i -
2、设集合{(,)|,},{(,)|20},{(,)|0}U x y x y A x y x y m B x y x y n =∈∈=-+>=+-≤R R ，那么点(2,3)()U
P A B ∈ð的充要条件是〔〕
A 、1m >-且5n <
B 、1m <-且5n <
C 、1m >-且5n >
D 、1m <-且5n >
3、在棱长为a 的正方体1111
ABCD A B C D -中随机地取一点P ，那么点P 与正方体各表面
的距离都大于3
a 的概率为〔〕
A 、127
B 、116
C 、19
D 、13
4、设曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭区域的面积为S ，那么以下等式成立的是() A 、1
20()d S x x x
=-⎰ B 、1
20
()d S x x x
=-⎰
C 、
1
2
()d S y y y
=-⎰
D
、
1
(S y y
=⎰
5、函数()2lg(1)2x f x x =++-的零点的个数为〔〕 A 、0 B 、1
C 、2
D 、3
6、某程序框图如下图，该程序运行后输出的结果 是〔〕
A 、12
B 、23
C 、34
D 、45
7、设函数()y f x =在定义域内的导函数为()y f x '=，假设()y f x =的图象如图1所示，那么()y f x '=的图象可能为〔〕
8、两不共线向量(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ，那么以下说法不．正确的选项是．．．．．．〔〕 A 、||||1==a b
B 、()()+⊥-a b a b
C 、a 与b 的夹角等于αβ-
D 、a 与b 在+a b 方向上的投影相等
9、直线：11110(0)A x B y C C ++=≠与直线2l ：2222
0(0)A x B y C C ++=≠交
于点M ，O 为坐标原点，那么直线OM 的方程为〔〕
A 、1
212
1212()()0A A B B x y C C C C -+-= B 、1
212
1212()()0A A B B x y C C C C ---= C 、1
212
1212()()0C
C C C x y A A B B -+-=
D 、1
212
1212
()()0C
C C C x y A A B B ---= 10、假设某几何体的三视图是如下图的三个直角三角形，那么该几何体的外接球的表面积为〔〕
A 、10π
B 、25π
C 、50π
D 、100π
【二】填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每题5分，共25分、 〔一〕必考题〔11～14题〕
11、为了了解某校高三男生的身体状况，抽查了部分男生的体
重，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图〔如右图〕、图中从左到右的前3个小组的频率之比为1﹕2﹕3，第2小组的频数为12，那么被抽查的男生的人数是、
12、假设
8
x π=
是函数()sin cos f x a x b x
=+〔a 、b 均为常数〕图象的一条对称轴，那么()
8
f π
的值为、
13、在26(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为16-，那么实数a 的值为、 14、假设0,
2sin cos ,
x x y x π
⎧
≤≤⎪⎨
⎪≤≤⎩2z x y =+，那么z 的取值范围是、
〔二〕选考题〔请考生在15、16两题中任选一题作答、假如全选，那么按第15题作答
结果计分〕
15、〔选修4－1：几何证明选讲〕如图，在△ABC 中，90B ∠=︒、O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，2,1AD AE ==，那么CD 的长为、
16、〔选修4－4：坐标系与参数方程〕在极坐标系中，
曲线1
:sin )1
C ρθθ+=与曲线2
:(0)C a a ρ=>的一个交点在极轴上，那么a 的值为、
【三】解答题：本大题共6小题，共75分、解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤、
17、〔本小题总分值12分〕
函数()|2|f x x =+、
〔1〕解关于x 的不等式()|34|1f x x --≤；
〔2〕假设()||1f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围、 18、〔本小题总分值12分〕
定义域为R 的函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的一段图象如下图、 〔1〕求()f x 的解析式；
〔2〕假设()cos3,()()()g x x h x f x g x ==，求函数()h x 的单调递增区间、
19、〔本小题总分值12分〕
在公园游园活动中有如此一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，假设摸出的白球许多于2个，那么获奖、〔每次游戏结束后将球放回原箱〕
〔1〕在一次游戏中：①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概率；
〔2〕在两次游戏中，记获奖次数为X ：①求X 的分布列；②求X 的数学期望、
20、〔本小题总分值12分〕
如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，PM ∥BC ，1,2PM BC ==、又1AC =，
120,ACB AB PC ∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒、
〔1〕求证：PC AC ⊥；
〔2〕求二面角M AC B --的余弦值； 〔3〕求点B 到平面MAC 的距离、 21、〔本小题总分值13分〕 斜率为2-的直线与椭圆
22
2:1(0)x C y a a +=>交于,A B 两点，且线段AB 的中点为
11(,)22
E 、直线2l 与y 轴交于点(0,)(0)M m m ≠，与椭圆C 交于相异两点,P Q ，O 为坐标原点，且,4,PM MQ OP OQ OM λλλ=+=∈R 、
〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕求λ的值；
〔3〕求m 的取值范围、 22、〔本小题总分值14分〕
在数列*{}()n a n ∈N 中，11a =，前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=、
〔1〕求{}n
a 的通项公式；
〔2〕假设
24()
n n a b n
=，求数列{(1)}n n b -的前n 项和n T ；
〔3〕求证：12
1
21119n
n
a a a
a a a +++<、
湖北省2018届高三上学期期末联合考试
理科数学参考答案
1、D
解析：∵2
2i (2i)i 2i 1
12i
i 1i z ++-====--，∴选择“D ”、 2、A
解析：∵(2,3)()U
P A B ∈ð，∴(2,3)P A ∈，且(2,3)P B ∉，∴2230,230,
m n ⨯-+>⎧⎨
+->⎩得1,
5.
m n >-⎧⎨
<⎩应选择A 、
3、A
解析：符合条件的点P 落在棱长为3
a 的正方体内，依照几何概型的概率计算公式得
3
3()1
327a P a
==
、应选A 、 4、B
解析：将曲线方程2y x =与直线方程y x =联立方程组，解得0x =或1x =、结合图形可知选项B 正确、
5、B
解析：方法1：∵(0)10,(1)lg 20f f =-<=>，∴()f x 在(0,1)内必有一个零点、又∵()f x 在(1,)-+∞上为增函数，∴()f x 有且仅有1个零点、
方法2：由()0f x =得lg(1)22x x +=-+、作出函数()lg(1)g x x =+与()22x h x =-+的图象，知两函数的图象有且仅有一个交点，即方程()0f x =有且仅有一个根，即函数()f x 有且仅有一个零点、
6、C
解析：11131223344
++=⨯⨯⨯、应选C 、 7、D
解析：∵当0x <时，函数()f x 为增函数，∴当0x <时，()0f x '>、又∵当0x >时，随着x 的增大，函数值先递增，再递减，最后又递增，∴选择“D ”、
8、C
解析：①A 显然正确、
②∵22()()||||0+⋅-=-=a b a b a b ，∴()()+⊥-a b a b ，∴B 正确、
黄冈中学 孝感高中
③
cos ,cos cos sin sin cos()
||||
αβαβαβ⋅<>==⋅=+=-⋅a b
a b a b a b 、 当[0,]αβπ-∈时，,αβ<>=-a b ；当[0,]αβπ-∉时，,αβ<>≠-a b 、故C 不正确、 ④∵22
()
()||||||||
||||
⋅+⋅+=⇔+⋅=⋅+⇔=++a a b b a b a a b a b b a b a b a b ，∴D 正确、 应选择“C ”、 9、A 解析：：1
11110A
B x y
C C ++=，2l ：222210A B x y C C ++=，两式相减得12
121212
()()0A A B B x y C C C C -+-=、 ∵点O 、M 的坐标都满足该直线的方程，∴点O 、M 都在该直线上，∴直线OM 的方程为1212
1212
()()0A A B B x y C C C C -+-=、应选“A ”、 10、C
解析：该几何体是三棱锥，将该三棱锥视为长方体的一个角，得长方体的体对角线的长
=，∴球的表面
积为50π，选择“C ”、
11、48
解析：设被抽查的男生的人数为n 、∵后两组的频率之和为(0.01250.0375)50.25+⨯=，∴前三组的频率之和为0.75、又∵前三组的频数分别为6,12,18，∴61218
0.75
n
++=，得
48n =、
12、
解析：∵对称轴通过函数图象的最高点或最低点，∴
()8
f π
=、
13、2或3
解析：展开式中3x 的系数为3425666216C aC a C -+=-，∴2560a a -+=，得2a =或3、
14、
[0,
6
π
解析：作出可行域如下图、直线2x y z +=与y 轴交于点
(0,)2z 、设直线2x y z +=与曲线cos (0)2y x x π=≤≤相切于点A 、∵由1sin 2y x '=-=-得6x π
=，
∴
(6A π，代入2x y z +=
得6z π=+(0,0)O 代入2x y z +=得0z =、故z 的取值范
围为
[0,
6
π
、
15、3
解析：∵2AD AE AB =⋅，∴
2
4
AD AB AE
==、设CD x =，那么CB x =、∵222AB BC AC +=，∴2224(2)x x +=+，得3x =，即3CD =、
16
解析：将极坐标方程化为一般方程，得2221210,:C y C x y a +-=+=、在1C 中，令
0y =
，得
x =
，再将代入2
C
得a =
、 17、解：〔1〕由()|34|1f x x --≤得|2||34|1x x +--≤，即2,
(2)(34)1,
x x x <-⎧
⎨
-++-≤⎩
或42,3(2)(34)1,x x x ⎧
-≤<⎪⎨⎪++-≤⎩或4
,3(2)(34)1,
x x x ⎧≥⎪
⎨
⎪+--≤⎩得解集为35{|,}42x x x ≤≥或、〔6分〕 〔2〕方法1：在数轴上，设点,,A B M 对应的实数分别为2,,a x -，那么“()||1f x x a +->恒成立”⇔“|2|||1x x a ++->恒成立”⇔“||||1MA MB +>恒成立”、∵||||MA MB +的最小值为||AB ，即|2|a +，∴|2|1a +>，得21a +>，或21a +<-，即1a >-，或3a <-、
方法2：由绝对值三角不等式得|2||||(2)()||2|x x a x x a a ++-≥+--=+，∴|2|1a +>，得1a >-，或3a <-、
〔12分〕 18、解：〔1〕∵
24()4123
T π
π
π=-=
，∴
23T πω==，∴()2sin(3)f x x ϕ=+、∵点(,2)12π在图象上，∴
2sin(3)2
12
πϕ⨯
+=，即
sin()14
π
ϕ+=，∴
2()
4
2
k k ππϕπ+
=+
∈Z ，即
24
k πϕπ=+
、
故
()2sin(3)
4
f x x π=+、〔6分〕 〔2
〕
2
()2sin(3)cos32(sin 3cos cos3sin )cos33cos3cos 3)444
h x x x x x x x x x π
π
π
=+=+=+
6cos 61)sin(6)4x x x π=++=+262()242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 得函数()h x 的单调递增区间为[,]()
3
83
24
k k k π
ππ
π
-
+
∈Z 、〔12分〕
19、解：〔1〕记“在一次游戏中摸出k 个白球”为事件(0,1,2,3)k A k =、
①
21
32322531
()5
C C P A C C ==
、〔3分〕
②
22111
323222
32322
5317
()()()510C C C C C P A A P A P A C C +=+=+=
、〔6分〕
〔2〕
1233973217749(0),(1),(2)10101001010501010100
P X P X C P X ==
⨯===⨯===⨯=
、〔9分〕 ①
的分布列为 ②X 的数学期望
921497()012100501005
E X =⨯+⨯+⨯=
、
〔12分〕 【或：∵
7(2,
)10X
B ，∴77()2105
E X =⨯=】 20、解：方法1：〔1〕∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥、〔2分〕 〔2〕取BC 的中点N ，连MN 、∵PM
CN =
，∴MN
PC =，∴MN
⊥平面ABC 、作NH ⊥
AC ，交AC 的延长线于H ，连结MH 、由三垂线定理得AC MH ⊥，∴MHN ∠为二面角
M AC B --的平面角、
∵直线AM 与直线PC 所成的角为60︒，∴在Rt AMN ∆中，60AMN ∠=︒、
在ACN ∆中，AN ==、 在Rt AMN ∆中，cot 601MN AN AMN =⋅∠=︒=、
在Rt NCH ∆
中，
sin 1sin 60NH CN NCH =⋅∠=⨯︒=
在Rt MNH ∆
中，∵
MH ==
，∴cos NH MHN MH ∠==
、
故二面角M AC B --
〔8分〕
〔3〕作NE MH ⊥于E 、∵AC ⊥平面MNH ，∴AC NE ⊥，∴NE ⊥平面MAC ，∴点N 到平面
MAC
的距离为
MN NH NE MH ⋅==
N 是线段BC 的中点，∴点B 到平面MAC 的距离是
点N 到平面MAC
〔12分〕
方法2：〔1〕∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥、〔2分〕 〔2〕在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如下图、设(0,0,)P z ，那么(0,0,)CP z =
、13
(0,1,),0)(,)
22
AM z z =--=、 ∵
cos 60|cos ,||
|||||
3AM CP AM CP AM
CP ⋅︒=<>==
⋅，
且0z >，∴
1
2
=，得1z =，∴
3(,1)
2
AM =-、设平面MAC 的一个法向量为
(
,,1)x y =n ，那么由0,
0AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得310,
210,2
y y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=
⎪⎩得1,
x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴(1,1)=-n 、平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)CP =、
21cos ,||
CP
CP ||CP ⋅<>==
⋅n n n 、显然，二面角M AC B --为
锐二面角，∴二面角M AC
B --、〔8分〕
〔3〕点B 到平面MAC 的距离
||||CB d ⋅==
n n 、〔12分〕
21、解：〔1〕设1122
(,),(,)A x y B x y ，那么
12121212
1,1,2
y y x x y y x x -+=+==--、∵221
121,x y a += 222221x y a +=，∴两式相减得121212122()()()()0x x x x y y y y a +-++-=，即12
1212212()
x x y y y y x x a +-++- 0=，即2
1
1(2)0
a +⨯-=，得212a =，∴椭圆C 的方程为2221x y +=、〔4分〕 〔2〕解法1：设3344(,),(,)P x y Q x y ，2:l y kx m =+〔∵2l 与y 轴相交，∴2l 的斜率存在〕、
由,
4PM MQ OP OQ OM λλ⎧=⎪⎨
+=⎪⎩得33443434(,)(,),(,)(0,4),x m y x y m x x y y m λλλ--=-⎧⎨++=⎩得3434,4,x x y y m λλ-=⎧⎨+=⎩
即
3434,()()4,x x kx m kx m m λλ=- ⎧
⎨
+++= ⎩①②
将①代入②得(3)0m λ-=，∵0m ≠，∴3λ=、
解法2：∵PM MQ λ=，∴()OM OP OQ OM λ-=-，∴(1)OP OQ OM λλ+=+，又∵OP OQ λ+=4OM ，∴(1)4OM OM λ+=，∴(3)OM λ-=0，又∵OM ≠0，∴3λ=、
〔8分〕 〔3〕将y kx m =+代入2221x y +=得222(2)2(1)0k x kmx m +++-=、∵3λ=， ∴由
34342
2342
3,2,212x x km x x k m x x k ⎧
⎪=-⎪
-⎪
+=⎨+⎪
⎪-=⎪+⎩
消去3x 、4
x 得
22
22(1)41m k m -=-、由0∆>得222(1)k m >-，即222(1)41
m m ->
-
22(1)m -，即22
2(1)041m m m -<-，即(1)(1)0
(21)(21)
m m m m +-<+-，得112m -<<-，或112m <<、〔13分〕 22、解：〔1〕方法1：∵*
1
3()
n n
S
n n S n
++=∈N ，且111S a ==，∴当2n ≥时， 32112
14562(1)(2)1123
16
n n n S
S S n n n n S S S S S n -+++=⋅⋅⋅
⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-，且11S =也适合、 当2n ≥时，
1
(1)2n n n n n a S S -+=-=，且11a =也适合，∴*
(1)()
2
n n n a n +=∈N 、 方法2：∵1
(3)0n n nS
n S +-+=，∴1(1)(2)0n n n S n S ---+=，两式相减，得
11()(2)()n n n n n S S n S S +--=+-，即1(2)n n na n a +=+，即1
2
(2)
n n
a n n a n
++=≥、
又∵可求得23a =，∴2
13a a =也适合上式、综上，得*12()n n
a n n a n ++=∈N 、 当2n ≥时，3211213451(1)112312
n n n a a a n n n a a a a a n -++=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-，且11a =也适合， ∴*(1)()2
n n n a n +=∈N 、〔4分〕 〔2〕2(1)n b n =+、设2(1)(1)(1)n n n n
c b n =-=-+、
当n 为偶数时，∵1221(1)(1)(1)21n n n n c c n n n --+=-⋅+-⋅+=+，
12341[5(21)](3)2()()()5913(21).22n n n n n n n T c c c c c c n -+++=++++++=+++
++==∴ 当n 为奇数〔n ≥3〕时，221(1)(2)34(1)22n n n n n n n T T c n --+++=+=-+=-，且114T c ==-也适合上式、
综上：得234(),2(3)().2
n n n n T n n n ⎧++- ⎪⎪=⎨+⎪ ⎪⎩为奇数为偶数〔9分〕 〔3〕令()ln(1)f x x x =-+、当0x >时，∵
1()101f x x
'=->+，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，∴当0x >时，()(0)0f x f >=，得ln(1)x x +<、 令1(1,2,,)i
x i n a ==，得11211ln(1)2()(1)1i i a a i i i i +<==-++， ∴1
1111111ln(1)2[(1)()()]2(1)222311n i i a n n n =+<-+-++-=-<++∑， 即12111ln[(1)(1)(1)]2n a a a +++<，即21212
111e 9n n a a a a a a +++<<、〔14分〕。