山东省德州市某中学2016届高三上学期1月月考数学文试题

高三月考 数学（文）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集为R ，集合A ={}2x x >，2230x x --≥的解集为集合B ，则()R A C B = （ ）A ．()0,3B ．[)2,3C ．()2,3D ．[)3,+∞2. 下列判断正确的是（ ）A. 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题B. 命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”C. “1sin 2α=”是“ 6πα=”的充分不必要条件D. 命题“,20x x ∀∈>R ”的否定是“ 00,20x x ∃∈≤R3. 把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A ．8π=x B ．4π-=x C ．4π=x D ．2π-=x4．若)(x f 为奇函数且在+∞,0(）上递增，又0)2(=f ，则0)()(>--xx f x f 的解集是（ ）A ．)2,0()0,2(⋃-B ．)2,0()2,(⋃-∞C ．),2()0,2(+∞⋃-D ．),2()2,(+∞⋃--∞5.若点(4,tan )θ在函数2y log x =的图像上，则22cos θ= ( )A.25 B. 15 C. 12 D. 356.已知命题p ：关于x 的函数234y =x ax -+在[1,)+∞上是增函数，命题q ：函数(21)x y =a -为减函数，若p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．23a ≤B. 120a << C ．1223a <≤ D. 112a <<7．等差数列}{n a 的前n 项和为2811,30n S a a a ++=若，那么13S 值的是（ ） A. 130B. 65C. 70D. 以上都不对8. 在ABC V 中,54sin =A ,6=∙ ,则ABC V 的面积为（）. A ．8B ．125C ．6D ．49. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，若(1)2f ->-，1(7)32a f a+-=-，则实数a 的取值范围为 （ ）A.B ．（﹣2，1）C ．D ．10．若存在负实数使得方程 112-=-x a x成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),2(+∞ B. ),0(+∞ C. )2,0( D. )1,0(二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分）11. 已知函数(2),0()31,0x f x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则(2016)f =_____.12. 已知向量b a ,夹角为60︒，且a =1，b a -2b =_____.13.设数列{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知241a a =，37S =，则5S =_____.14. 在△ABC 中，a 1=，2b =，1cos 4C =，则sin B ＝________ . 15．关于函数)0(||1lg )(2≠+=x x x x f ，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当0>x 时，)(x f 是增函数；当0<x 时，)(x f 是减函数； ③)(x f 的最小值是2lg ；④)(x f 在区间）和+∞-,1()0,1(上是增函数； ⑤)(x f 无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.(12分)设函数()f x =2)0(sin sin cos 2cos sin 2πϕϕϕ<<-+x x x 在π=x 处取最小值-1.（Ⅰ）求ϕ的值；若,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的单减区间； (Ⅱ)把()f x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位得的图像()g x ，求()g x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17.(12分)已知∆ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ,)b ，n＝(sin B ，sin )A ，p＝(b 2-, a 2-).（Ⅰ）若//n p，求证：∆ABC 为等腰三角形；(Ⅱ) 若m ⊥p ，边长2c =，角C∆ABC 的面积 .18.（12分）已知等差数列{n a }的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列．(Ⅰ)求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)令n b 14n n a a +=，求数列{n b }的前n 项和为n T ，求证n T 2<19．（12分）已知递增等差数列}{n a 中，11a =，1410,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ)求数列{3}n n a ⋅的前n 项和n S .20.（13分）设()ln 1f x a x =，(Ⅰ)求)(x f 的单调区间；(Ⅱ)当,1=a 1x >时，求证曲线()f x 恒在直线3(1)2y x =-的下方.21．（14分）已知函数()2ln 1f x a x x =+-(Ⅰ)若'(1)1f =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(Ⅱ)若关于x 的不等式()()1f x b x ≥-在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，其中,a b 为实数，求a 的取值范围.数学（文）答案一、选择题: CDDDA CADDC二、填空题: 11. 0 12. 3 13.314 15. ①③④ 三、解答题16. 解：（Ⅰ）x x xx f sin sin cos 2cos 1sin 2)(-++=ϕϕ)sin(sin cos cos sin ϕϕϕ+=+=x x x ………………3分 因为函数)(x f 在π=x 处取得最小值,所以1)sin(-=+ϕπ,由诱导公式知1sin =ϕ, 因为πϕ<<0,所以2πϕ=,所以x x x f cos )2sin()(=+=π………………5分,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴()f x 的单减区间是0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………6分(Ⅱ)因为()cos f x x =， ()f x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)得cos 2y x =，向左平移6π个单位得()g x cos 2()6x π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦cos(2)3x π=+………………8分44x ππ-≤≤，∴52636x πππ-≤+≤………………10分 当203x π+=即6x π=时，max ()g x =1当5236x ππ+=即4x π=时，min ()g x =12分17. （Ⅰ）证明：n ∥p∴sin (2)sin (2)B a A b -=-由正弦定理可得 (2)(2)b a a b -=- ∴a b =所以ABC ∆为等腰三角形………………………4分(Ⅱ) (2) m p ⊥∴m ·p ＝0,即(2)(2)0a b b a -+-=a b ab ∴+= …………………………………………6分由2222cos c a b ab C =+-可知， 224a b ab =+-2()3a b ab =+- ………8分 ∴2()340ab ab --=4ab ∴=或1ab =- （舍去） …………………10分11sin 4sin 223S ab C π∴==⋅⋅=…………………12分 18.解：（Ⅰ） 公差2d =，∴11S a = 212122S a a a d =+=+41234146S a a a a a d =+++=+………2分124,,S S S 成等比数列，2142S S S ∴= 2111(46)(2)a a d a d ∴+=+………3分212a d d ∴= 2d = 11a ∴= ………5分 12(1)21n a n n ∴=+-=-………6分证明：(Ⅱ) 144112()(21)(21)2121n n n b a a n n n n +===--+-+ ………9分∴11111112(1)()()()335572121n T n n ⎡⎤=-+-+-++-⎢⎥-+⎣⎦ ………11分 12121n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭2<………12分19. 解：（Ⅰ）由条件知()224110,1319,a a a d d =+=+ 解得13d = 或0d =（舍）1233n a n ∴=+．………6分(Ⅱ)13(2)3n n n a n -⋅=+⋅ ，………7分()012133435323n n S n -=⨯+⨯+⨯+++⋅ ----①3n S = 1213343(1)3(2)3n n n n -⨯+⨯+++⋅++⋅ ----②①—②得：()2123(333)23n n n S n --=+++-+⋅ ………8分13(13)3(2)313n n n --=+-+⋅- ………9分133(13)(2)32n n n -=---+⋅3133(2)322n n n =-+⋅-+⋅313(2)22n n =+-- 323322n n +=-⋅ ………11分 ∴ 233344n n n S +=⋅- ………12分20. （Ⅰ）解：定义域为()∞+，0………1分 2121)('f -+=x x a x =xxa 22+………2分 当0a ≥时，0)('>x f ………3分当0a <时，令0)('>x f 解得24x a >；令0)('<x f ，240a x <<………5分综上所述：当0a ≥时，()f x 的递增区间为），（∞+0当0a <时，()f x 的递增区间为），（∞+2a 4，()f x 的递减区间为）（2a 4,0……6分(Ⅱ)证明：记g (x )＝3()(1)2f x x --=ln x ＋x －1－32(x －1). ………8分g ′(x )＝1x ＋12x －32，当x >1时，'()0g x <∴g (x )在(1，＋∞)上单调递减. ………10分又g （1）＝0，有g (x )<0，即 3()(1)02f x x --<………12分 所以曲线()f x 恒在直线3(1)2y x =-的下方. ………13分 21. 解：（Ⅰ）()'2afx x x=+，………1分 ()'12f a ∴=+'(1)1f = 21a ∴+= ………3分又()10f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为:()011y x -=⋅- 即10x y --=…………5分(Ⅱ) 设()()()1g x f x b x =-- 即()0g x ≥在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立又()10g =有()()1g x g ≥恒成立即1x =处取得极小值，得()'120g a b =+-=…………7分所以2b a =+, 从而()()'1(2)x x a g x x--=令'()0g x =得1x =或2ax =…………8分 （1）当12a e ≤时，()g x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()1g x g ≥ 即2a e≤…………9分（2）112a e <≤时，()g x 在1,2a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()1,+∞上单调递增，则只需211210a g e e e e ⎛⎫=-+-+≥ ⎪⎝⎭， 解得212a e e e <≤+-…………12分（3）当12a >时，，()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()1,+∞上单调递增，由()102a g g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭知不符合题意，综上，a 的取值范围是12a e e≤+-…………14分。