四川省棠湖中学2020届高三数学上学期期末考试试题理20-含答案

四川省棠湖中学2020届高三数学上学期期末考试试题 理
第I 卷(选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1.已知复数z 满足(13)23i z i +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．圆的方程为2
2
2100x y x y +++-=，则圆心坐标为 A ．(1,1)-
B ．1
(,1)2
-
C ．(1,2)-
D ．1
(,1)2
-
- 3．2019年第十三届女排世界杯共12支队伍参加，中国女排不负众望荣膺十冠王.将12支队伍的积分制成茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为 A ．17.5和17 B ．17.5和16 C ．17和16.5
D ．17.5和16.5
4．某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是 A ．44号
B ．294号
C ．1196号
D ．2984号
5．已知直线1:220l x y +-=，2:410l ax y ++=，若12l l P ，则
实数a 的值为
A ．8
B ．2
C ．1
2
- D ．2- 6．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．设2:log 0p x <，:33x
q ≥，则p 是q ⌝的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分条件也不必要条件
8.若函数2
()2f x x ax =-+与()1
a
g x x =
+在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围 A ．(1,0)(0,1)-U B ．(1,0)(0,1]-U C. (0,1) D ．(0,1]
9．已知两点A （－2，0），B （0，2），点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积
的最小值是
A ．3－2
B ．3＋2
C ．3－
22 D ．322
- 10．将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则关于,x y 方程组22
80
40ax by x y +-=⎧⎨+-=⎩
，有实数解的概率为 A ．
2
9
B ．
79
C ．
736
D ．
936
11．如图，12F F 、分别是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与
C 的左、右两 支分别交于点A B 、．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为
A ．4
B ．7
C ．
23
3
D ．3
12．如图，三棱锥P ABC -的四个顶点恰是长、宽、高分别是m ，2，n 的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为 A ．2563π B ．823
π
C ．323π
D ．36π
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知x 、y 满足约束条件10
101x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥-⎩
，则2z x y =-的最小值为________.
14．斜率为2的直线l 经过抛物线2
8y x =的焦点F,且与抛物线相交于,A B 两点,则线段AB 的长为____.
15. 若倾斜角为α的直线l 与曲线3y x =相切于点()1,1，则2cos sin2αα-的值为_____.
16．若椭圆22221x y a b
+=的焦点在x 轴上，过点()2,1作圆22
4x y +=的切线，切点分别为A ，
B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为 .
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17．（12分）某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（III）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入x（单位：万元） 1 2 3 4 5
销售收益y（单位：百万元） 2 3 2 7
表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y关
于x的回归方程.；附公式：1
2
2
1
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
=
=
-
=
-
∑
∑
$
，a y bx
=-
$$.
18. （12分）已知函数2
()23sin cos2cos1
f x x x x
=--，()
x R
∈
（Ⅰ）当[0,]
2
x
π
∈时，求函数()
f x的最小值和最大值；
（Ⅱ）设ABC
∆的内角,,
A B C的对应边分别为,,
a b c，且3
c=，()0
f C=，若向量
(1,sin)
m A
=
u r
与向量(2,sin)
n B
=
r
共线，求,a b的值.
19．(12分)如图1，在等腰Rt ABC
∆中，90
C
∠=︒，D，E分别为AC，AB的中点，F 为CD的中点，G在线段BC上，且3
BG CG
=。

将ADE
∆沿DE折起，使点A到1A的位置（如图2所示），且1A F CD
⊥。

（Ⅰ）证明：//BE 平面1A FG ；
（Ⅱ）求平面1A FG 与平面1A BE 所成锐二面角的余弦值
20．（12分）已知动圆M 在圆1F ：2
2
1
(1)4
x y ++=
外部且与圆1F 相切，同时还在圆2F ：2249
(1)4
x y -+=
内部与圆2F 相切． （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹方程；
（Ⅱ）记（1）中求出的轨迹为C ，C 与x 轴的两个交点分别为1A 、2A ，P 是C 上异于1A 、2A 的动点，又直线:6l x =
x 轴交于点D ，直线1A P 、2A P 分别交直线l 于E 、F 两点，
求证：DE DF ⋅为定值．
21.（12分）已知函数()b
f x ax x
=+在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-. （Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）设函数2
()()(1)ln g x mf x m x =-+（m R ∈），求()g x 在(1,)+∞上的单调区间； （III ）证明：11111ln(21)3521221
n n n n ++++>++-+L （*n N ∈）
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=-=t y t x 2
212
2
1（t 为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为θρcos 4=． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程．
（Ⅱ）若点P 坐标为（1，1），圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知1x y z ++= （Ⅰ）证明：2
2
2
13
x y z ++≥
； （Ⅱ）设,,x y z 为正数，求证：111
(1)(
1)(1)8x
y z
---≥.
2019年秋四川省棠湖中学高三期末考试
理科数学试题参考答案
1．A 2．D
3．D
4．B
5．A
6．D
7．A
8．D
9．A
10．B
11．B 12．C
13．－3 14．10 15．12
-
16．
17．（Ⅰ）设各小长方形的宽度为m ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知
()0.080.10.140.120.040.020.51m m +++++⋅==，故2m =；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是[)[)[)[)[)[]
0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12， 其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04， 故可估计平均值为10.1630.250.2870.2490.08110.045⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； （Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填5． 由题意可知，1234535x ++++=
=，23257
3.85
y ++++==，
5
1
122332455769i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，5
2222221
1234555i i x ==++++=∑，
根据公式，可求得26953 3.812
1.2555310
ˆb
-⨯⨯===-⨯， 3.8 1.230ˆ.2a =-⨯=，
即回归直线的方程为 1.2.2ˆ0y
x =+． 19．（1）证明：取BC 的中点M ，连接DM . ∵3BG CG =，∴G 为CM 的中点. 又F 为CD 的中点，∴//FG DM .
依题意可知//DE BM ，则四边形DMBE 为平行四边形， ∴//BE DM ，从而//BE FG .
又FG ⊂平面1A FG ，BE ⊄平面1A FG ， ∴//BE 平面1A FG .
（2）1,DE AD DE DC ⊥⊥Q ，且1A D DC D =I ，
DE ∴⊥平面ADC ，1A F ⊂平面ADC ，
1DE A F ∴⊥，
1A F DC ⊥Q ，且DE DC D ⋂=， 1A F ∴⊥平面BCDE ，
∴以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，
建立空间直角坐标系F xyz -，不妨设2CD =，
则()0,0,0F
，(1A ，()1,4,0B ，()1,2,0E -，()1,1,0G ，
(1FA =u u u r ，()1,1,0FG =u u u r
，(11,2,A E =-u u u r ，()2,2,0EB =u u u r
.
设平面1A FG 的法向量为()1111,,n x y z =u r
， 则100n FA n FG ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v
，即11100x y =+=⎪⎩，
令11x =，得()1,1,0n =-r
.
设平面1A BE 的法向量为()222,,m x y z =u r
， 则100m A E m EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v
，即2222220220x y x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩，
令21x =
，得(1,1,m =-u r
.
从而cos ,5m n <>=
=u r r
， 故平面1A FG 与平面1A BE
所成锐二面角的余弦值为
5
.
20．（1）设动圆M 的半径为r ，由已知得112MF r =
+，27
2
MF r =-，12124MF MF F F +=＞，
∴M 点的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆，
设椭圆方程：22
221x y a b +=（0a b ＞＞），则2a =，1c =，则2223b a c =-=，
方程为：22
143
x y +=；
（2）解法一：设00)(P x y ， ，由已知得1(2,0)A -，220A （，
） ，则1002PA y k x =+，20
02
PA y k x =-，
直线1PA 的方程为：()10
022
PA y l y x x =
++：， 直线2PA 的方程为：()20
022
PA y l y x x =
--：， 当6x =6,0)D ，(
)(
)
00
0066266222y y E F x x ⎫⎫
⎪⎪+-⎭⎭
，
，，，
∴))
20
2000626222
2
4
y y
y DE DF x x x ⋅=
⨯=⨯+--，
又Q 00)(P x y ，满足22
00
143
x y +=，∴202
0344y x =--， ∴33
242
DE DF ⋅=-⨯=为定值．
解法二：由已知得1(2,0)A -，220A （，
），设直线1PA 的斜率为1k ，直线2PA 的斜率为2k ，由已知得，1k ，2k 存在且不为零，
∴直线1PA 的方程为：1(2)y k x +＝，
直线2PA 的方程为：2(2)y k x -＝，
当x =
D
，)
)))
1
2
22E
k F
k ，，
∴
))
1
2
12222DE DF k k k k ⋅=⨯=,
联立直线1PA 和直线2PA 的方程，可得P 点坐标为()121221
2124k k k k k k k k ⎛⎫
+ ⎪--⎝⎭，，
将P 点坐标代入椭圆方程2
2
3412x y +=中,得()
()
()
2
22
1212
2
2
21214163412k k k k k k k k +⨯
+⨯
=--，
即2222
12122112()6412()k k k k k k ++=-，
整理得121234()0k k k k =+ ，Q 120k k ≠，∴1234
k k =-
， ∴1233
2242
DE DF k k ⋅==⨯-
=为定值． 21.解：（1）2
'
)(x b a x f -
= 依题意有⎪⎩⎪
⎨⎧=-==+=2)1(0
)1('
b a f b a f 分21,1ΛΛ-==⇒b a
（2）由（1）知x m x x m x g ln )1(1)(2
+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
=，()分3)(1)(2
'ΛΛx m x mx x g --= 故函数)(x g 在),1(+∞的单调性为
当()分，的递减区间为时，41
)(0ΛΛ∞+≤x g m 当分递增区间为，的递减区间为时，5,1,11)(10ΛΛ⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞⎪⎭⎫
⎝⎛<<m m x g m 当()分，的递增区间为时，61
)(1ΛΛ∞+=x g m 当()()分递增区间为，的递减区间为时，7,,1
)(1ΛΛ+∞>m m x g m
（3）由（2）知1=m 时，()0)1()(1
)(=>∞+g x g x g 为增函数，故，在 即 )1(ln 21
>>-x x x x 令11212>-+=n n x ，*N n ∈得121
2ln 212121212-+>+---+n n n n n n ， 即121
2ln 2)1221(1221-+>+---+n n n n , 所以
)1
21
121(211212ln 21121+--+-+>-n n n n n 上式中
n=1，2，3，…，n ，然后
n
个不等式相加得
11111ln(21)3521221
n n n n ++++>++-+…分12ΛΛ 22．解析：（1）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=-=t y t x 2
212
2
1（t 为参数）． 消去参数t 可得：直线l 的普通方程为：02=-+y x ..................2分
圆C 的方程为θρcos 4=．即θρρcos 42
=，
可得圆C 的直角坐标方程为：4)2(2
2=+-y x ．.........................4分
（2）将⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=-=t y t x 2
2122
1代入4)2(2
2=+-y x 得：22220t t +-=..........6分 得
1212220,*20,t t t t +=-<=-<..................................................
8分
则2121212()4 4.PA PB t t t t t t +=-=+-=.....................10分。