山东省淄博市2017届高三数学仿真模拟(打靶卷)试题 理

山东省淄博市2017届高三数学仿真模拟（打靶卷）试题 理
本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若
i i
ai
212-=-，则=a A ．5 B ．5- C ．5i D ．5i - 2．已知集合{}
2
|0=-<A x x x ，{}|=<B x x a ,若A
B A =，则实数a 的取值范围是
A ．(]1-∞，
B ．()1-∞，
C ．[)1+∞，
D ．()1+∞， 3．已知等比数列{}n a 满足14=a ，2641
4
a a a =-，则2a = A ．2 B ．1 C ．
12 D ．1
8
4．直线3y kx =+与圆22
(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥k 的取值范围
是
A ．3[,0]4-
B ．[33
- C ．[ D ．2[,0]3- 5．下列四个结论中错误的个数是
①若0.4
0.433,log 0.5,log 0.4===a b c ，则>>a b c
②“命题p 和命题q 都是假命题”是“命题∧p q 是假命题”的充分不必要条件
③若平面α内存在一条直线a 垂直于平面β内无数条直线，则平面α与平面β垂直 ④已知数据12,,
,n x x x 的方差为3，若数据()121,1,
1,0,R n ax ax ax a a +++>∈的方差为12,则
a 的值为2
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．8(4)π+ B ．8(8)π+ C ．16(4)π+ D ．16(8)π+
7．已知向量AB 与AC 的夹角为120︒，1=AB ，2=AC ，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为 A ．
45 B ．4
5- C ．
2
5
D ．25
-
8．某程序框图如右图所示，运行该程序输出的k 值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
9．若直线)2(+=x k y 上存在点(),x y 满足011-≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
x y x y y ，则实
数k 的取值范围是
A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--41,1
B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,1
C ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∞-，，
511 D ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-51,41 10．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2
()2()=--f x x f x ．当(
,0)x ∈-∞时，()2'<f x x ；
若(2)()44+--≤+f m f m m ，则实数m 的取值范围是
A ．(]1，
-∞- B ．(]2，-∞- C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-
+∞
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．在区间[]
0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为 ．
12．观察下列各式：31=1，3321+2=3，33321+2+3=6，333321+2+3+4=10，…，由此推得：
33331+2+3+n = ．
13．6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为 ． 14．已知()lg
2x f x x =-，若()()0f a f b +=，则41
a b
+的最小值是 ． 15．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做x 轴的垂
线交双曲线于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）
如图，在ABC ∆中，M 是边BC
的中点，cos BAM ∠=
tan AMC ∠= （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若角6
BAC π
∠=，BC 边上的中线AM
，求ABC ∆的面
积．
17．（本小题满分12分）
如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，ABC ∆为等边三角形， M 为
ABC ∆内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PA PB =．
（Ⅰ）证明：OB OA =； （Ⅱ）证明：AB OP ⊥；
（Ⅲ）若::AP PO OC =，求二面角B OA P --的余弦值． 18．(本小题满分12分)
在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同． （Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；
（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ． 19．(本小题满分12分)
O
B
C
P
M
∙
已知数列{}n a 和{}n b 满足1232(N*)n b
n a a a a n =∈．若{}n a 是各项为正数的等比数列，且14a =，
326b b =+．
（Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设1
n n
c b =
-，记数列{}n c 的前n 项和为n S ． ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意N*n ∈，均有n k S S ≥． 20．（本小题满分13分）
已知抛物线2
:4C y x =，点M 与抛物线C 的焦点F 关于原点对称，过点M 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于不同两点B ,A ，线段AB 的中点为P ，直线PF 与抛物线C 交于两点D ,E ． （Ⅰ）判断是否存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形．若存在，求
出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求2
2PM
PF 的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知λ∈R ，函数()ln x
f x e x x λ=-（ 2.71828
e =是自然对数的底
数）．
（Ⅰ）若()10f =，证明：曲线()y f x =没有经过点2,03M ⎛⎫
⎪⎝⎭
的切线； （Ⅱ）若函数()f x 在其定义域上不单调，求λ的取值范围； （Ⅲ）是否存在正整数n ，当1
1,n n ne λ++⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
时，函数()f x 的图象在x 轴的上方，若存在，求n 的值；若不存在，说明理由．
淄博市2016-2017学年度高三三模考试 数学试题参考答案及评分说明 2017．6
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若
i i
ai
212-=-，则=a A ．5 B ．5- C ．5i D ．5i - 2．已知集合{}
2
|0=-<A x x x ,{}|=<B x x a ,若A
B A =,则实数a 的取值范围是
A ．(]1-∞，
B ．()1-∞，
C ．[)1+∞，
D ．()1+∞， 3．已知等比数列{}n a 满足14=a ，2641
4
a a a =-，则2a = A ．2 B ．1 C ．
12 D ．1
8
4．直线3y kx =+与圆22
(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥k 的取值范围
是
A ．3[,0]4-
B ．[
C ．[
D ．2[,0]3- 5．下列四个结论中错误的个数是
①若0.4
0.433,log 0.5,log 0.4===a b c ，则>>a b c
②“命题p 和命题q 都是假命题”是“命题∧p q 是假命题”的充分不必要条件 ③若平面α内存在一条直线a 垂直于平面β内的无数条直线，则平面α与平面β垂直 ④已知数据12,,
,n x x x 的方差为3，若数据()121,1,
1,0,+++>∈n ax ax ax a a R 的方差为12,则
a 的值为2
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A ．8(4)π+
B ．8(8)π+
C ．16(4)π+
D ．16(8)π+
7．（文）已知向量()()1,23,2，==-a b ，若()()
//3ka b a b +-，则实数k 的值为 A ．3 B 33
D ．3- 7．（理）已知向量AB 与AC 的夹角为120︒1=AB ，2=AC ，若AP AB AC λ=+，且
AP BC ⊥，则实数λ的值为
A ．
4
5
B ．4
5
-
C
．
2
5
D ．25
-
8．某程序框图如右图所示，运行该程序输出的k 值是
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
9．若直线)2(+=x k y 上存在点(),x y 满足011-≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩x y x y y ，则实数k 的取值范围是
A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--41,1
B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,1
C ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∞-，，
511 D ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-51,41
10．（文）已知偶函数()()0≠f x x 的导函数为()，'f x 且满足()1=0，f 当0>x 时，
()()2,'<xf x f x 则使得()0>f x 成立的x 的取值范围是( )
A ．()()101，，-∞-
B ．()()11，
，+-∞-∞ C ．()
()1001，，-D ．()()10
1，，-+∞ 10．（理）设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有
2()2()=--f x x f x ，当(,0)x ∈-∞时，()2'<f x x ，
若(2)()44+--≤+f m f m m ，则实数m 的取值范围是
A ．(]1，
-∞- B ．(]2，-∞- C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二． 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．在区间[]
0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为
1
4
． 12．观察下列各式：3
1=1，3321+2=3，33321+2+3=6，333321+2+3+4=10，…，则 33331+2+3+n =
()
2
214
n n + ． 13．（文）若命题“0x ∃∈R ，使得2
+20x x a +≤” 是假命题，则实数a 的取值范围是
()1+∞，
． 13．（理）6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为 144 ． 14．已知()lg
2x f x x =-，若()()0f a f b +=，则41
a b
+的最小值是 92 ．
15．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做x 轴的垂
线交双曲线于,B C 两点，若12A B A C ⊥
1． 三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（文科 本小题满分12分） 已知函数()()2
2cos
cos 2x f x a x θ⎛
⎫
=++ ⎪⎝
⎭为奇函数，且02f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，其中()πθ，，
0∈∈R a ．
（Ⅰ）求θ，a 的值； （Ⅱ）若,2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，2()cos()cos 202854f αππαα+++=，求cos sin αα-的值．
解：（Ⅰ）因为()2()2cos cos 2x f x a x θ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭是奇函数，
所以()()222cos cos 2cos cos 22x x a x a x θθ⎛⎫⎛⎫
++=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
整理得，cos cos 0x θ=，即cos 0θ= ……………………………………2分
又()0,θπ∈，
得2
π
θ= ……………………3分
所以()2
sin (2cos )2
x f x x a =-⋅+ ……………………4分
由02f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，得(1)0a -+=，即 1.a =- ……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()1sin 22
f x x =- ……………………………………7分
2(
)cos()cos 202854f α
ππαα+++=⇒4sin()cos()cos 2454
ππ
ααα+=+ 因为cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444
π
πππ
ααααα=+=+=++
所以28sin()cos ()sin()4544
π
ππ
ααα+=++ 又,2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，所以sin()04πα+=或25cos ()48πα+= …………………9分
①由3sin()04
4
π
παα+
=⇒=
所以33cos sin cos sin 44
ππαα-=-=……………………………10分 ②由25cos ()48
πα+=，35444π
ππα<+<
得cos()sin )
4
π
ααα+
=⇒-=
所以cos sin αα-= ……………………………………11分
综上，cos sin αα-=或cos sin αα-= …………………12分
16．（理科 本小题满分12分）
如图，在ABC ∆中，M 是边BC
的中点，cos BAM ∠=
tan 2
AMC ∠=-． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若角6
BAC π
∠=
，BC 边上的中线AM
ABC ∆的面积．
解：
（Ⅰ）由cos BAM ∠=
得sin BAM ∠=
，
所以tan BAM ∠=
……………………………………2分 又AMC BAM B ∠=∠+∠
所以tan tan tan tan()1tan tan AMC BAM
B AM
C BAM AMC BAM
∠-∠=∠-∠=
+∠∠
--=
= ……………………………………4分 又()0,B π∈ ， 所以23
B π
= …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知23B π=
，且6BAC π∠= 所以，6
C π
=，则AB BC =…7分 设BM x =，则2AB x =
在AMB ∆中由余弦定理得2222cos AB BM AB BM B AM +-⋅=，………9分 即2721x =
解得x =…………………10分
故2124sin 23
ABC S x π
∆=
⨯⨯=． ………………………………12分
17．（文科 本小题满分12分）
如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，
ABC ∆为等边三角形， M 为ABC ∆内部一点，点P 在OM 的延长线上，
且PB PA =．
（Ⅰ）证明：OB OA =；
（Ⅱ）证明：平面⊥PAB 平面POC ； 证明：（Ⅰ）因为OA ，OB ，OC 两两垂直， 所以222AC OC OA =+，
222BC OC OB =+ ……………………………………3分
又△ABC 为等边三角形，BC AC =
所以=+2
2
OC OA 2
2
OC OB + …………………4分 故OB OA = ………………………………5分
（Ⅱ）因为OA ，OB ，OC 两两垂直
所以OC ⊥平面OAB …………………………6分
AB ⊂平面OAB ，所以OC ⊥AB ……………7分
取AB 的中点D ,连接OD 、PD …………………9分 因为OB OA =，PB PA =，所以,OD AB PD AB ⊥⊥
OD PD D =,所以AB ⊥平面POD
所以AB PO ⊥ ……………………………… 11分 又CO
PO O =,所以AB ⊥平面POC
因为AB ⊂平面PAB ,所以平面⊥PAB 平面
POC ………………………………12分
17．（理科 本小题满分12分）
如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC
两两垂直，
ABC ∆为等边三角形， M 为ABC ∆内部一点，点P 在
OM 的延长
线上，且PA PB =． （Ⅰ）证明：OB OA =；
（Ⅱ）证明：AB OP ⊥；
P
O
O
A
B
C
P
M
∙
P
（Ⅲ）若::AP PO OC =，求二面角B OA P --的余弦值． 证明：（Ⅰ）因为OA ，OB ，OC 两两垂直，
所以222AC OC OA =+，222BC OC OB =+……………1分 又△ABC 为等边三角形，BC AC =
所以=+22OC OA 22OC OB + …………………2分 故OB OA = …………………………3分 （Ⅱ）取AB 的中点D ，连接OD 、PD ………4分 因为OB OA =，PB PA =，所以,OD AB PD AB ⊥⊥
OD PD D =，所以AB ⊥平面POD
所以AB PO ⊥ …………………6分 （Ⅲ）如图建立空间坐标系
因为::AP PO OC =，可设1OC =,
则AP PO ==由（Ⅰ）同理可得1OA OB OC === …………………7分 因为2
2
2
PO AP OA =+，
所以 OA AP ⊥ …………………8分 所以(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C 设(,,)P x y z
（0,0,0x y z >>> ）
所以222010
10012
66OA AP x x AB OP x y y z x y z OP ⎧⋅=⎧-==⎧⎪⎪⎪⎪
⋅=⇒-+=⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪=++=⎩=⎩⎪⎩
所以(1,1,2)P …………………………10分 平面OAB 的法向量为(0,0,1)OC =
设平面POA 的法向量为000(,,)n x y z = 则000020
00
0x y z n OP x n OA ⎧++=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩
取01,z = 则02y =- 所以(0,2,1)n =- …………………………11分
cos 5
5OC n OC n
θ⋅=
=
=⋅ …………………………12分 18．（文科 本小题满分12分）
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖一次．抽奖方法是：从装有标号为
1,2,3,4的4个红球和标号为1,2的2个白球的箱中，随机摸出2个球，若摸出的两球号码相同，可
获一等奖；若两球颜色不同且号码相邻，可获二等奖，其余情况获三等奖．已知某顾客参与抽奖一次．
（Ⅰ）求该顾客获一等奖的概率； （Ⅱ）求该顾客获三获奖的概率．
解：标号为1,2,3,4的4个红球记为1234,,,A A A A ，标号为1,2的2个白球记为12,B B ． 从中随机摸出2个球的所有结果有：
{}12,A A ，{}13,A A ， {}14,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}34,A A ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}41,A B ，{}42,A B ，{}12,B B ，共15个．这些基本事件的出现
是等可能的． ……………………5分
（Ⅰ）摸出的两球号码相同的结果有：{}11,A B ，{}22,A B ，共2个． 所以“该顾客获一等奖”的概率2
15
P =
．…………………………………8分 （Ⅱ）摸出的两球颜色不同且号码相邻的结果有：{}12,A B ,{}21,A B ,{}32,A B ，共3个．
则“该顾客获二等奖”的概率31
155
P ==． ………………………10分 所以“该顾客获三等奖”的概率212
11553
P =--=． ………………………12分
18．（理科 本小题满分12分）
在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．
（Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率； （Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ．
解：（Ⅰ）记“第一次取到红球”为事件A ，“后两次均取到白球”为事件B ，则()4
7
P A =
，()4324
76535
P AB ⨯⨯=
=⨯⨯．
所以，“第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率”()()()1
|5
P AB P B A P A ==
………………………………4分
（或()113211
651
|5
C C P B A C C ==） ……………………………………4分 （Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,2,3． …………………………………………5分
212121431
(0)18
C C P X C C ==⋅=
11121221222121434361
(1)+183C C C C C P X C C C C ==⋅⋅==
21111212222121434391
(2)=182
C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=
2122214321
(3)=189
C C P X C C ==⋅=． ………………………………………9分
X 的分布列为：
……………………………10分
11115
0123183293
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯= …………………………12分 19．(文科 本小题满分12分) 已知数列{}n a 和{}n b 满足123
2()n b
n a a a a n N *=∈．若{}n a 是各项为正数的等比数列，且12a =，
323b b =+
（Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设11
n n n
c a b =
-，求数列{}n c 的前n 项和为n S ． 解：（Ⅰ）解：由题意1232()n b
n a a a a n N *=∈，323b b =+
知3
2
3322b b a -==又由12a =，得公比2q =（2q =-，舍去） ………………3分
所以数列{}n a 的通项为*
2()n n a n N =∈ ……………………………………4分
所以(1)2
1232
n n n a a a a +=
故数列{}n b 的通项为*(1)
()2
n n n b n N +=
∈ …………………………………6分（Ⅱ）*111112()()21
n n n n c n N a b n n =
-=--∈+
……………………………8分所以
2111111112122
2223111112122211111212n n n n
S n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--+-++- ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-- ⎪+
+⎝⎭-
………………12分
19．（理科 本小题满分12分） 已知数列{}n a 和{}n b 满足123
2()n b
n a a a a n N *=∈．若{}n a 是各项为正数的等比数列，且14a =，
326b b =+
（Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设1
n n
c b =
-，记数列{}n c 的前n 项和为n S ． ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意*
∈N n ，均有n k S S ≥．
解：（Ⅰ）解：由题意1232()n b
n a a a a n N *=∈，326b b =+
知3
2
3264b b a -==又由14a =，得公比4q =（4q =
-，舍去）
所以数列{}n a 的通项为2*
42()n n n a n N ==∈ ……………………………………3分
所以(1)2(1)2
1232
2n n n n n a a a a +⨯
+==
故数列{}n b 的通项为*
(1)()n b n n n N =+∈ …………………………………5分
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知*1111()()
2
1n n n c n N b n n =
-=--∈+
…………7分
所以211
11111112222231111111221111212
n n n n
S n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--+-++
-
⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=- ⎪++⎝⎭-………………9分
②因为12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，1(1)
[1]
(1)2n n
n n c n n +=-+
而
11(1)(1)(2)(1)(2)0222n n n n n n n n n ++++++--=>得5
(1)5(51)
122n n n +⋅+≤<
所以，当5n ≥时，0n c <；
综上，对任意*
n N ∈恒有4n S S ≥，故4k = ………………………12分
20．（文科 本小题满分13分）
已知椭圆14
22
=+y x C :
，如图所示点)(),(),(332211y ,x
P y ,x B y ,x A 为椭圆上任意三点． （Ⅰ）若0OA OB OP ++=，是否存在实数λ，使得代数式2121y y x x λ+为定值．若存在，求出实数λ和2121y y x x λ+的值；若不存在，说明理由． （Ⅱ）若0=⋅OB OA ，求三角形OAB 面积的最大值；
（Ⅲ）满足（Ⅱ），且在三角形OAB 面积取得最大值的前提下，若线段PB ,PA 与椭圆长轴和短轴交于点F ,E （F ,E 不是椭圆的顶点）．判断四边形ABFE 的面积是否为定值．若是，求出定值；若不是，说明理由．
解析：（Ⅰ）由于⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+1414142
323
2
2222
121y x y x y x ，且312312()()x x x y y y =-+⎧⎨=-+⎩； 得：222
231231222
2212121212()()442()1444
x x x y y y x x x x y y y y ++=++=+++++=
………………………2分
所以
2
1
42121-=+y y x x ，即242121-=+y y x x ………………………3分 故，存在实数4λ=使得242121-=+y y x x ． （Ⅱ）当直线AB 斜率不存在时，可设为m x =；
联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=1
4
2
2
y x m
x ，得)(412m ,m B ,A -±； 由0=⋅，得0412
2
=--)(m m ，即55
2±
=m ，54=∆OAB S ； ………………………4分
当直线AB 斜率存在时，可设为m kx y +=；
联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=142
2y x m
kx y ，得0448142
22=-+++)()(m kmx x k ；
1
4141482
221221+-=+-=+k m x x ,k km x x )
( ………………………6分 由0=⋅，得02121=+y y x x ，
即01
48141412
2
222
=++-⨯++-⨯+m k km km k m k )()()(，)(14522+=k m ……7分
14141422
22
+-+⋅+=k m k k AB ，21k
m d h +==； 1
1
8169
15
4
1816915418161171654212
22422
424≤+++=+++=++++=⨯=∆k k k k k k k k k d AB OAB S
等号成立时，1614=k ，即21
±=k ．
所以OAB S ∆的最大值为1． …………………………………………9分 （Ⅲ）OAB S ∆取得最大值时，2
1
±=k ，此时直线AB 与坐标轴的交点恰好分别是椭圆长轴和短轴各一个端点；
不妨取)(02,A ，)(10,B ，若线段PB ,PA 与椭圆长轴和短轴交于点F ,E （F ,E 不是椭圆与坐标轴的交点）．
此时点P 定在第三象限，即0<<330y ,x ； 直线PA 的方程为)(2233--=
x x y y ，令0=x ，得)(2
2033
--x y ,E …………10分 同理，得)(01
33
,y x F --
………………………………………………11分 四边形ABEF 的面积为：
333323333223333333333333333211
212212
(22)2(2)(1)
444842(22)44882(22)
2
x y S AF BE y x x y x y x y x y x y x y y x y x y x y y =
⨯=+⨯+--+-=
--++--+=
-+--+=
-+=
………………………………………………13分
20．（理科 本小题满分13分）
已知抛物线2
:4C y x =，点M 与抛物线C 的焦点F 关于原点对称，过点M 且斜率为k 的直线l 与抛
物线C 交于不同两点B ,A ，线段AB 的中点为P ，直线PF 与抛物线C 交于两点D ,E ． （Ⅰ）判断是否存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形．若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求
2
2PM
PF 的取值范围．
解：（Ⅰ）设直线l 的方程为)(1+=x k y ，设)()()()(44332211y ,x D ,y ,x E ,y ,x B ,y ,x A
． 联立方程组⎩⎨⎧=+=x
y x k y 412)(，得0422
222=+-+k x k x k )(．
显然0≠k ，且0>∆，即04424
2
2
>--k k )(，得1<k 且0≠k ．
得2
2
2124k k x x -=+，121=x x ………………………………………………4分
122221-=+=
k x x x P ，k )k
k y P 2
1122=+-=][(． 直线PF 的方程为：)(112
--=
x k k
y ， 联立方程组⎪⎩
⎪⎨⎧
=--=x
y x k k y 41122
)(，得0141212
222222222=-++-+-)())(()(k k x k k x k k ， 得2142
2
243+=
+k k x x )-(，143=x x ……………………………………6分 若四边形AEBD 为平行四边形，
当且仅当222124k k x x -=+432
22214x x k
k +=+=)-(，即012
2=-)(k k ，
得10±=,k ，与1<k 且0≠k 矛盾． …………………………8分 故不存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形 ………………………9分
（Ⅱ）
22
242222
2222
222213131122PF k k k k k k k PM
k k ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭===++-++⎛⎫⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
…………………………11分
由1<k 且0≠k ，得2112k <+<；
当2
1k +=，
2
2PM PF
取得最小值3；
当112=+k 时，2
2PM
PF 取1；当212k +=时，
2
2PM
PF 取
12
；
所以
22
3,1)PF PM
∈ ………………………………………13分
21．（文科 本小题满分14分）
已知a ∈R ，函数()ln x e a
f x a x x
-=-（ 2.71828e =是自然对数的底数）．
（Ⅰ）函数()f x 是否存在极大值，若存在，求极大值点，若不存在，说明理由；
（Ⅱ）设()1ln x
e g x x x
=+，证明对任意0x >，()1g x >．
解：（Ⅰ）由已知得，函数()f x 的定义域为()0,+∞，
()()()()2
211x x x
e x e a a
f x x e a x x x
--⎡⎤'=
-
=--⎣⎦ ……………………1分 （1）若1a ≤，则x e a >，
当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，
所以当1x =时，()f x 取得极小值，函数无极大值； ……………………2分
（2）若1a e <<，令x
e a =，得()ln 0,1x a =∈，
所以()f x '和()f x 在()0,+∞上的变化情况如下表所示
所以当ln x a =时，函数f x 取得极大值；………………………………4分 （3）当a e =时，()0f x '≥，所以()f x 在()0,+∞上是增函数， 此时不存在极值 …………………………………………5分 （4）当a e >时，令x e a =，得()ln 1,x a =∈+∞， 所以()f x '和()f x 在()0,+∞上的变化情况如下表所示
所以当1x =时，函数f x 取得极大值； ……………………………………7分 综上所述，当1a e <<时，函数()f x 的极大值点是ln x a =； 当a e >时，函数()f x 的极大值点是1x =；
当1a ≤或a e =时，函数无极大值点． ………………………8分
（Ⅱ）要证()11ln x e g x x x =
>+，只要证明101ln x
e x x ->+成立， 即证
()
1ln 01ln x e x x x x
-+>+成立， ………………………9分 令()1ln h x x x =+，则()1ln h x x '=+， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()0h x '<，()h x 单调递减； 当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
，()0h x '>，()h x 单调递增； 所以()1111
1ln 10h x h e e e e
⎛⎫≥=+
=-> ⎪⎝⎭
， ………………………………10分 所以只需证明()1ln 0x
e x x -+>即可，变形得11
ln ln 0x x e e x x x x
--<⇒->，
由（Ⅰ）知，当1a =时，1
()ln x e f x x x -=- ……………………………12分 ()1
ln x e f x x x
-=-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，
所以()()110f x f e ≥=->，即()1ln 0x
e x x -+>，
故对任意0x >，()1g x >． ………………………………………14分 21．（理科 本小题满分14分）
已知λ∈R ，函数()ln x
f x e x x λ=-（ 2.71828
e =是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若()10f =，证明：曲线()y f x =没有经过点2,03M ⎛⎫
⎪⎝⎭
的切线； （Ⅱ）若函数()f x 在其定义域上不单调，求λ的取值范围； （Ⅲ）是否存在正整数n ，当1
1,n n ne λ++⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
时，函数()f x 的图象在x 轴的上方，若存在求n 的值，若不存在，说明理由．
解证：（Ⅰ）因为()10f =，所以0λ=，此时()ln f x x x =-， 证法一：设曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线经过点2,03M ⎛⎫
⎪⎝⎭
则曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线()000()()y f x f x x x '-=- 所以()00002ln 1ln 3x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
化简得：()002
1ln 03
x x -+= ………………………………2分 令()2()1ln 3h x x x =-
+，则232
()133x h x x x -'=-=
， 所以当20,3x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0h x '<，()h x 为减函数， 当2,3x ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
时，()0h x '>，()h x 为增函数， 所以222222()1ln ln 0333333h x h ⎛⎫⎛
⎫≥=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以()002
1ln 03
x x -
+=无解
所以曲线()y f x =的切线都不经过点2,03M ⎛⎫
⎪⎝⎭
………………………………4分 证法二：设曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线经过点()(),0 0M s s > 则曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线()000()()y f x f x x x '-=- 所以()()0000ln 1ln x x x s x =---
化简得：()001ln 0x s x -+= ………………………………2分 令()()1ln h x x s x =-+，则()1s x s
h x x x
-'=-
=
， 所以当()0,x s ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数， 当(),x s ∈+∞时，()0h x '>，()h x 为增函数， 所以()()()1ln ln h x h s s s s s s ≥=-+=-，
要使()h x 存在零点0x ，则须有ln 0s s -≤，所以ln 0s ≥，即1s ≥， 所以曲线()y f x =的切线都不经过点2,03M ⎛⎫
⎪⎝⎭
………………………………4分 （Ⅱ）函数的定义域为()0,+∞，因为()()1ln x
f x e x λ'=-+， 所以()f x 在定义域上不单调，等价于()f x '有变号零点， …………………………………………5分 令()0f x '=，得1ln x x e λ+=，令()1ln x
x
g x e +=（0x >）． 因为()11ln x
g x e
x x -⎛⎫
'=-- ⎪⎝⎭
，令()11ln h x x x =--，()2110h x x x '=--<，
所以()h x 是()0,+∞上的减函数，又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，
…………………………………………6分
当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增； 当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减； 故当1x =时，()g x 取得极大值且为最大值()1
1g e
=， 所以1e λ<
，即λ的取值范围是1,e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭………………………………………8分
（Ⅲ）证法一：函数()f x 的图象在x 轴的上方，即对任意0x >，()0f x >恒成立．
()0f x >⇔
ln 0x
e x x
λ->．令()ln x
e F x x x
λ=
-（0x >），
所以()()()2
21111x
x
x e F x x e x x x x
λλ-'⎡⎤=
-
=--⎣⎦…………………………9分 （1）当1n =时，22,e λ⎡⎫∈+∞⎪⎢
⎣⎭
，即2
2e λ≥ ①当01x <≤时，()0F x '<，()F x 是减函数，所以()()10F x F e λ≥=>； ②当1x >时，()()()2
11x
x x F x e x x λλ⎡
⎤-'=
-⎢⎥-⎣
⎦，
令()()1x
x G x e x λ=-
-，则()()
2
101x
G x e x λ'=+>-，所以()G x 是增函数， 所以当2x ≥时， ()()22
2
2
20e G x G e λλλ
-≥=-=
≥，即()0F x '≥ 所以()F x 在[)2,+∞上是增函数，所以()()2
2ln 21ln 202
e F x F λ≥=
-≥->，
当()1,2x ∈时，取()1,2m ∈，且使()2
1m e m λ>-，即2211
e m e λλ<<-，
则()()
2201m
m
G m e e e m λ=-
<-=-，
因为()()20G m G <，故()G x 存在唯一零点()1,2t ∈，
即()F x 有唯一的极值点且为最小值点()1,2t ∈……………………10分 所以()()min ln t
e F x F t t t
λ==-⎡⎤⎣⎦，又()()01t t G t e t λ=-
=-，即()
1t t
e t λ=-，
故()()min
1ln ,1,21F x t t t =
-∈⎡⎤⎣⎦
-，设()1
()ln ,1,21
r t t t t =-∈-， 因为()
2
1
1
()01r t t t '=-
-<-，所以()r t 是()1,2上的减函数， 所以()(2)1ln 20r t r >=->，即()min
0F x >⎡⎤⎣⎦
所以当22,e λ⎡⎫
∈+∞⎪⎢
⎣⎭
时，对任意0x >，()0f x >恒成立………………12分 （2）当2n ≥时，11n n ne λ++≥
，因为1312n n ne e ++<，取3
2
e
λ=，
则()32ln ln x
x e e F x x x x e x λ=-=-，()2321
2ln 2ln 202e F e e
=-=-<， 所以()0f x >不恒成立，
综上所述，存在正整数1n =满足要求，即当22,e λ⎡⎫
∈+∞⎪⎢
⎣⎭
时，函数()f x 的图象在x 轴的上方 ……………………………14分 证法二：()0f x >恒成立，等价于λ>ln ()x
x x
P x e
=的最大值； 当(]0,1x ∈，ln ()0x x x P x e =
≤，所以ln x
x x
e
λ>恒成立………………9分 当()1,x ∈+∞时，ln ()0x
x x
P x e
=
>， ()()1
ln 11ln 1()1x x
x
x x x P x e x e ----'==-，
设1()ln 1q x x x =
--，()2
11()01q x x
x '=--<-， 所以()q x 在()1,+∞上是减函数，因为(2)1ln 20q =->，1
(3)ln 302
q =
-<， 所以()q x 有唯一零点()2,3t ∈ ……………………………10分 当()1,x t ∈时，()0q x >，即()0P x '>，()P x 是增函数， 当(),x t ∈+∞时，()0q x <，即()0P x '<，()P x 是减函数， 所以[]()max ln ()t t t P x P t e ==
，且1()ln 01q t t t =-=-，所以1
ln 1
t t =- 所以[]max
1()(1)t t
t
t t P x e t e
-==- ……………………………12分 设()(1)t
t M t t e =-，()2,3t ∈所以()221
()01t t t M t t e
-+-'=<-， 所以()M t 在()2,3上是减函数，所以(3)()(2)M M t M <<， 即
32
32
()2M t e e <<
……………………………13分 因为11n n ne λ++≥
使()0f x >，所以2
2
e λ≥，只有1n =符合要求，
综上所述，存在正整数1n =满足要求，即当22,e λ⎡⎫
∈+∞⎪⎢
⎣⎭
时，函数()f x 的图象在x 轴的上方 ……………………………14分。