学案1：高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题

高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题
考点一·平面向量 一、基础知识要记牢
在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量． 二、经典例题领悟好
例1 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )， 则λ
μ
＝________.
方法技巧
平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法及实数与向量的积，在解决这类问题时，经常出现的错误有：
1.忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆；
2.错用数乘公式. 对此，要注意两点：
1.运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合；
2.运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件. 三、预测押题不能少
1．(1)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－4
5 B.⎝⎛⎭⎫45，－3
5 C.⎝⎛⎭
⎫－35，45 D.⎝⎛⎭
⎫－45，35 (2)如图，在△ABC 中，设AB ＝a ，AC ＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP 等于( )
A.12a ＋1
2
b
B.13a ＋23b
C.27a ＋47b
D.47a ＋27
b 考点二·平面向量的数量积 一、基础知识要记牢
(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．
(2)求非零向量a ，b 的夹角一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b
|a ||b |
先求出夹角的余弦值， 然后求夹角．
(3)向量a 在向量b 方向上的投影为a·b
|b |＝|a |cos θ.
二、经典例题领悟好
例2 (1)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A.322
B.3152
C ．－322
D ．－315
2
(2)在平行四边形ABCD 中， AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1, 则AB 的长为________． 方法技巧
求平面向量的数量积的方法有两个：
(1)定义法：a ·b ＝|a ||b |·cos θ，其中θ为向量a ，b 的夹角； (2)坐标法：当a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 三、预测押题不能少
2．(1)已知向量a ，b ，满足|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.2π3
C.3π4
D.5π6
(2)已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，AB ·AC ＝－2，则|AG |的最小值是( ) A.33
B.
22
C.23
D.34
交汇·创新考点盘点
平面向量是高中数学的基础工具之一，它具有代数形式与几何形式的“双重型”，考查时经常与三角函数、解析几何、线性规划问题等知识交汇命题． 角度一·平面向量与线性规划问题的交汇 一、经典例题领悟好
例1 已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP ＝λAB ＋μAC (1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．
学审题——审条件之审视隐含
设P 点坐标―→AP 、AB 、AC 坐标――――――――――――→AP ＝λAB ＋μAC
关于λ，μ，x ，y 方程组―→求出λ，μ―→关于x ，y 不等组―→作出可行域―→D 的面积．方法技巧
本题由AP ＝λAB ＋μAC 把平面向量转化为线性规划问题，求解的易误点是由
⎩
⎪⎨⎪⎧
2λ＋μ＝x －1，λ＋2μ＝y ＋1求x ，y 的范围然后计算面积时，出现面积变大，错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形．本题采用线性规划知识求解． 二、预测押题不能少
1．已知O 为坐标原点，A 点的坐标为(1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋|y |≤1，x ≥0，
则z ＝OA ·OP 的最大值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1
D ．2
角度二·平面向量与三角函数的交汇 一、经典例题领悟好
例2 已知O 为坐标原点，对于函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，称向量OM ＝(a ，b )为函数f (x )的伴随向量，同时称函数f (x )为向量OM 的伴随函数．
(1)设函数g (x )＝sin(π2＋x )＋2cos(π
2
－x )，试求g (x )的伴随向量OM 的模；
(2)记ON ＝(1，3)的伴随函数为h (x )，求使得关于x 的方程h (x )－t ＝0在[0，π
2]内恒有两个
不相等实数解的实数t 的取值范围．
方法技巧
解决平面向量与三角函数结合的题目，首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数，然后利用三角公式进行恒等变换，转化为题目中所要求的问题.而本题求解需要在理解新定义的基础上把问题转化为常规类型，运用三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数公式进行化简运算，同时也伴随着平面向量的坐标运算. 二、预测押题不能少
2．设a ＝(cos α，(λ－1)sin α)，b ＝(cos β，sin β) >0,0<<<2λαβπ⎛⎫
⎪⎝⎭
是平面上的两个向量，若向量a ＋b 与a －b 互相垂直． (1)求实数λ的值；
(2)若a ·b ＝45，且tan β＝4
3，求tan α的值．
角度三·新定义下平面向量的创新问题
近年，高考以新定义的形式考查向量的概念、线性运算、数量积运算的频率较大，其形式体现了“新”．解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题难点的关键所在． 一、经典例题领悟好
例3 对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·β
β·β
.若两个非零的平面向量a ，b 满足
a 与
b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a ∘b ＝( ) A.5
2 B.32 C ．1 D.12
方法技巧
本题把向量的数量积、夹角、不等式和集合等问题通过新定义有机结合在一起．解答本题的关键是明确a ∘b 与b ∘a 在集合Z 2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭
中的实际意义是|a ||b |cos θ与|b ||a |cos θ都能表示成n
2(n ∈Z )的形式． 二、预测押题不能少
3．在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝45°，点P 的斜坐标定义为“若OP ＝x 0e 1＋y 0e 2(其中e 1，e 2分别为与斜坐标系的x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的坐标为(x 0，y 0)”． 若F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且动点M (x ，y )满足|1MF |＝|2MF |，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( ) A ．x －2y ＝0 B ．x ＋2y ＝0 C.2x －y ＝0 D.2x ＋y ＝0
参考答案
考点一·平面向量 二、经典例题领悟好 例1 4
【解析】以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴 建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)， c ＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，
λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λ
μ＝4.
三、预测押题不能少 1．(1)A
【解析】由已知， 得AB ＝(3，－4)，所以|AB |＝5， 因此与AB 同方向的单位向量是1
5AB ＝⎝⎛⎭⎫35，－45. (2)C
【解析】选C 如图，连接BP ， 则AP ＝AC ＋CP ＝b ＋PR ，①
AP ＝AB ＋BP ＝a ＋RP －RB ，②
①＋②，得2AP ＝a ＋b －RB .③ 又RB ＝12QB ＝1
2(AB －AQ )
＝1
2⎝
⎛⎭⎫a －12 AP ，④ 将④代入③，得2AP ＝a ＋b －1
2⎝⎛⎭⎫a －12 AP ， 解得AP ＝27a ＋4
7
b .
考点二·平面向量的数量积 二、经典例题领悟好 例2 (1)A (2)1
2
【解析】 (1)由已知得AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，因此AB 在CD 方向上的投影为
AB ·CD |CD |
＝1552＝32
2.
(2)设AB 的长为a (a >0)，又因为AC ＝AB ＋AD ，BE ＝BC ＋CE ＝AD －1
2AB ，
于是AC ·BE ＝(AB ＋AD )·⎝⎛⎭⎫AD －12 AB ＝12AB ·AD －1
2AB 2＋AD 2 ＝－12a 2＋1
4
a ＋1，
由已知可得－12a 2＋1
4a ＋1＝1.又a >0，
∴a ＝12，即AB 的长为1
2.
三、预测押题不能少 2．(1)D
【解析】a ⊥(a ＋b )⇒a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0， 故cos 〈a ，b 〉＝－963＝－32，故所求夹角为5π6.
(2)C
【解析】设BC 的中点为M ，则AG ＝2
3AM .
又M 为BC 中点，∴AM ＝1
2(AB ＋AC )，
∴AG ＝23AM ＝1
3(AB ＋AC )，
∴|AG |＝1
3
AB 2＋AC 2＋2AB ·AC
＝13
AB 2＋AC 2－4.
又∵AB ·AC ＝－2，∠A ＝120°， ∴|AB ||AC |＝4. ∵|AG |＝1
3
AB 2＋AC 2－4≥1
3
2|AB ||AC |－4＝2
3
，
当且仅当|AB |＝|AC |时取等号， ∴|AG |的最小值为2
3
.
交汇·创新考点盘点
一、经典例题领悟好 例1 3【解析】设P (x ，y )，则AP ＝(x －1，y ＋1)．由题意知AB ＝(2,1)，AC ＝(1,2)．由AP ＝λAB ＋μAC
知(x －1，y ＋1)＝λ(2,1)＋μ(1,2)，即⎩
⎪⎨⎪⎧
2λ＋μ＝x －1，
λ＋2μ＝y ＋1.
∴⎩⎨⎧
λ＝2x －y －33，
μ＝2y －x ＋3
3
，
∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
3≤2x －y －3≤6，
0≤2y －x ＋3≤3.
作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)，由图可知平面区域D 为平行四边形，可求出M (4,2)，N (6,3)，故|MN |＝ 5.又x －2y ＝0与x －2y －3＝0之间的距离为d ＝3
5
，故平面区域D 的面积为S ＝5×
3
5
＝3.
二、预测押题不能少 1．D
【解析】 如图作可行域，z ＝OA ·OP ＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2.故选D.
角度二·平面向量与三角函数的交汇 一、经典例题领悟好
例2 解 (1)∵g (x )＝sin(π2＋x )＋2cos(π
2－x )＝2sin x ＋cos x ，
∴OM ＝(2,1)，∴|OM |＝
22＋12＝ 5.
(2)由已知可得h (x )＝sin x ＋ 3 cos x ＝2sin(x ＋π
3)，
∵0≤x ≤π2，∴π3≤x ＋π3≤5π
6
，∴h (x )∈[1,2]．
∵当x ＋π3∈[π3，π2]时，即x ∈[0，π
6]时，函数h (x )单调递增，且h (x )∈[3，2]；
当x ＋π3∈(π2，5π6]时，即x ∈(π6，π
2
]时，函数h (x )单调递减，且h (x )∈[1,2)．
∴使得关于x 的方程h (x )－t ＝0在[0，π
2]内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围为
[3，2)．
二、预测押题不能少
2． 解：(1)由题设，可得(a ＋b )·(a －b )＝0，
代入a ，b 的坐标，可得cos 2α＋(λ－1)2sin 2α－cos 2β－sin 2β＝0， 所以(λ－1)2sin 2α－sin 2α＝0. 因为0<α<π
2，故sin 2α≠0，
所以(λ－1)2－1＝0，
解得λ＝2或λ＝0(舍去，因为λ>0)． 故λ＝2.
(2)由(1)及题设条件，知a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝4
5.
因为0<α<β<π2，所以－π
2<α－β<0.
所以sin(α－β)＝－35，tan(α－β)＝－3
4
.
所以tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β
＝－34＋4
31－⎝⎛⎭⎫－34×43＝7
24.
所以tan α＝7
24
.
角度三·新定义下平面向量的创新问题 一、经典例题领悟好 例3 D
【解析】 a ∘b ＝a ·b b 2＝|a ||b ||b |2cos θ＝|a ||b |cos θ，b ∘a ＝|b ||a |·cos θ，因为|a |>0，|b |>0,0<cos θ<2
2
，
且a ∘b 、b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫n 2n ∈Z ，所以|a ||b |cos θ＝n 2，|b ||a |cos θ＝m 2，其中m ，n ∈N *，两式相乘，得m ·n
4＝
cos 2θ.因为0<cos θ<
22，所以0<cos 2θ<1
2
，得到0<m ·n <2， 故m ＝n ＝1，即a ∘b ＝1
2.
二、预测押题不能少 3．D
【解析】依题意，1MF ＝(－1－x ，－y )＝(－1－x )e 1－y e 2，
2MF ＝(1－x ，－y )＝(1－x )e 1－y e 2，由|1MF |＝|2MF |，得1MF 2＝2MF 2，
∴[(－1－x )e 1－y e 2]2＝[(1－x )e 1－y e 2]2，∴4x ＋4y e 1·e 2＝0. ∵∠xOy ＝45°，∴e 1·e 2＝
2
2
，故2x ＋2y ＝0，。