人教A版数学必修第二册考点复习：空间几何体的表面积和体积课件
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的是( D )
A.2
B.2 2
C. 3
D.2 3
如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中
还原出三视图的直观图,
该四面体为三棱锥D1-BCB1,
其四个面的面积分别为2, 2 2, 2 2, 2 3.
命题角度二
空间几何体的体积
经典再现
例 (课标全国Ⅱ文,16,5分)已知圆锥的顶点为S, 母线SA, SB互相垂直, SA与圆锥
高一
必修二
空间几何体的表面积和体积
本节目录
1
空间几何体的表面积与体积
2
几何体的内切、外接问题
考向一
空间几何体的表面积与体积
命题角度一
空间几何体的表面积
经典再现
例 (课标全国Ⅱ,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图, 则该
几何体的表面积为( C )
A.20π
B.24π
C.28π
D.32π
A.8 6 π
B.4 6 π
C.2 6 π
D. 6 π
令PA=PB=PC=2x(x>0),则EF=x,连接FC,由题意可得FC= 3.
在△PAC中,cos∠APC=
2
2
4 2 +4 2 −4 2 2 −1
=
.
2×4 2
2 2
2
在△PEC中,EC =PC +PE -2PC·PEcos∠EPC
对点训练
1.(洛阳模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( C )
A.2
B.1
C.
2
3
D.
1
3
如图,由三视图可知几何体的底面是对角线为
1
3
2的正方形,几何体的高为1,所以体积为 ×
×2×1×2×1=
2
3
.
1
2
2. (安徽黄山一模) 《九章算术》中记载了一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,
3
r=2.
3
1
π×12×2=8π.
8π
.
例 (课标全国Ⅲ文,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,
该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体, 其中O
为长方体的中心, E,F,G,H分别为所在棱的中点, AB=BC=6 cm, AA1=4 cm. 3D
1
×3×4
2
1
2
= ×(3+4+5)r,解得r=1,
✓ 所以内切球最大半径为1,直径为2,由AA1=5
得,最多可加工出2个球.
2.(洛阳联考)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切,则球O的体积
为( A )
A.
8 2
π
3
B.
8 3π3来自C.8 6π3
D.
16 2
3
π
命题角度二
几何体的外接问题
经典再现
对点训练
1.(运城联考)一块木料的三视图如图所示,将它经过切削、打磨成半径最大的球,
则该木料最多加工出球的个数是 ( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
✓ 如图所示,将三视图还原为直观图,得直三棱
柱ABC-A1B1C1, AB=4, BC=3, AA1=5.
✓ 设△ABC内切圆半径为r,则S△ABC=
总结提升
求空间几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接根据常见的柱体、锥体、台体等规则几何体的体积公式计算.
(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高,使得体积
计算更容易，或是求出一些体积比等.
(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化
为可直接计算体积的几何体.
(2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成柱、锥、台体,
先求出这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差求得所给几何体
的表面积.
对点训练
1.(湖北武汉调研)一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( B )
A.28
B.24+2 5
C.20+4 5
D.20+2 5
如图所示, 三视图所对应的几何体是长,宽,高分别为
2.若球面上四点P,A,B,C中, PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,则可构
造长方体或正方体确定直径解决外接问题.
3.利用球心O与截面圆的圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于
弦的性质,确定球心.
对点训练
1.(河南濮阳二模,7)已知三棱锥A-BCD中,△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形
3
6 π.
6
,
2
法二
总结提升
此类问题的实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题,其中球心的确定是关键.
1.相关简单多面体外接球的球心的结论.
(1)正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.
(2)正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.
(3)直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.
考向二
几何体的内切、外接问题
命题角度一
几何体的内切问题
经典再现
例 (课标全国Ⅲ,10,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.
若AB⊥BC, AB=6, BC=8, AA1=3, 则V的最大值是( B )
A.4π
B.
9
2
C.6π
D.
易知AC=10.设底面△ABC的内切圆的半径为r,
底面所成角为30°.若△SAB的面积为8, 则该圆锥的体积为
设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l,高为h,
2 3
因为母线SA与底面所成的角为30°,所以l=
r,
3
1 2
1
4 2
由△SAB的面积为8, SA⊥SB, 得 l =8, 即 × r =8,
2
2
3
2
所以r =12,所以r=2 3,则h=
1
2
所以圆锥的体积为 πr h=
高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十
二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,
十二而一”.就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积V=
1
12
×(底面圆的周长的平方×
高),则由此可推得圆周率π的取值为( A )
A.3
B.3.1
C.3.14
D.3.2
3
打印所用原料密度为0.9 g/cm .不考虑打印损耗, 制作该模型所需原料的质量
为 118.8
g.
依题意,知该模型是长方体中挖去一个四棱锥,故其体积
V=V长方体-V四棱锥=6×6×4-
1 1
×
3
3
×4×6×3=132(cm ).
3
又该模型的原料密度为0.9 g/cm ,
故制作该模型所需原料的质量为0.9×132=118.8(g).
例 (课标全国Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,
7
母线SA,SB所成角的余弦值为
8
, SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5 15, 则该圆锥的侧面
积为 40 2 .
总结提升
求几何体的表面积的方法
(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面几何问题,即空间图
形平面化,这是解决立体几何问题的主要出发点.
例 (课标全国Ⅲ,9,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个
球的球面上,则该圆柱的体积为( B )
A.π
B.
3
4
C.
D.
4
例 (课标全国Ⅰ,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC
是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为( D )
1
2
1
2
则 ×6×8= ×(6+8+10)·r,所以r=2,
3
2
因为2r=4>3,所以最大球的直径2R=3,即R= .
此时球的体积V=
3 9
4
πR =
3
2
.
32
3
总结提升
•
求解多面体的内切球半径问题,一般是将多面体分割成以球心
为顶点,多面体的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于
各棱锥的体积之和求出内切球的半径.
2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE-DCMH,
其中AE=DH=2, BI=MC=3, BC=AD=AB=CD=2,
则该几何体的表面积
S=(2×2)×5+
1
2
× 1 × 2 ×2+2×1+2× 5 =24+2 5.
2. (黑龙江哈尔滨模拟)某四面体的三视图如图所示,则其四个面中面积最大
A.8 6 π
B.4 6 π
C.2 6 π
D. 6 π
∵E、F分别是PA、AB的中点, ∴EF∥PB.
∵∠CEF=90°, ∴EF⊥EC, ∴PB⊥EC,
又∵三棱锥P-ABC为正三棱锥, ∴PB⊥AC, 从而PB⊥平面PAC,
∴三条侧棱PA、PB、PC两两垂直.
∵△ABC是边长为2的正三角形, ∴PA=PB=PC= 2,
A.8 6 π
∴x=
2
,
2
B.4 6 π
C.2 6 π
D. 6 π
∴PA=PB=PC=2x= 2.
∵AB=BC=CA=2,
∴三棱锥P-ABC的三个侧面为等腰直角三角形,
∴PA、PB、PC两两垂直,故球O是棱长为 2的正方体的外接球,
设球O的半径为R,则2R= 3 × 2, R=
∴球O的体积V=
3
4
πR =
则球O是棱长为 2的正方体的外接球, 设球O的半径为R,
则2R= 3 × 2 , R=
6
,
2
4
3
3
∴球O的体积V= πR = 6 π.
法一
例 (课标全国Ⅰ,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC
是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为(
且二面角A-BD-C为直二面角,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为( D )
A.
10
3
B.5π
C.6π
D.
0
3
取BD的中点M,连接AM,CM,取△ABD,△CBD的中心,即AM,CM的靠近BD
的三等分点P,Q, 过P作面ABD的垂线,过Q作面CBD的垂线,两垂线相交于
点O,则点O为外接球的球心,其中OQ=
径R=OC=
3
,
3
CQ=
2 0
15
,则外接球的表面积为4πR =
.
3
3
3
,连接OC,则外接球的半
3
2.(福建福州模拟)已知圆锥的高为3,底面圆的半径为 3,若该圆锥的顶点与底面的
圆周都在同一个球面上,则这个球的体积为( B )
A.
8
π
3
C.16π
B.
32
3
π
D.32π
通过本节课，你学会了什么？
2
=4x +x
2
2 2 −1
-2×2x·x· 2
2
2
=x +2,
在△FEC中,∵∠CEF=90°,
2
2
2
2
2
∴FC =EF +EC ,即x +2+x =3,
法二
)
例 (课标全国Ⅰ,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC
是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为( D )
A.2
B.2 2
C. 3
D.2 3
如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中
还原出三视图的直观图,
该四面体为三棱锥D1-BCB1,
其四个面的面积分别为2, 2 2, 2 2, 2 3.
命题角度二
空间几何体的体积
经典再现
例 (课标全国Ⅱ文,16,5分)已知圆锥的顶点为S, 母线SA, SB互相垂直, SA与圆锥
高一
必修二
空间几何体的表面积和体积
本节目录
1
空间几何体的表面积与体积
2
几何体的内切、外接问题
考向一
空间几何体的表面积与体积
命题角度一
空间几何体的表面积
经典再现
例 (课标全国Ⅱ,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图, 则该
几何体的表面积为( C )
A.20π
B.24π
C.28π
D.32π
A.8 6 π
B.4 6 π
C.2 6 π
D. 6 π
令PA=PB=PC=2x(x>0),则EF=x,连接FC,由题意可得FC= 3.
在△PAC中,cos∠APC=
2
2
4 2 +4 2 −4 2 2 −1
=
.
2×4 2
2 2
2
在△PEC中,EC =PC +PE -2PC·PEcos∠EPC
对点训练
1.(洛阳模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( C )
A.2
B.1
C.
2
3
D.
1
3
如图,由三视图可知几何体的底面是对角线为
1
3
2的正方形,几何体的高为1,所以体积为 ×
×2×1×2×1=
2
3
.
1
2
2. (安徽黄山一模) 《九章算术》中记载了一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,
3
r=2.
3
1
π×12×2=8π.
8π
.
例 (课标全国Ⅲ文,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,
该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体, 其中O
为长方体的中心, E,F,G,H分别为所在棱的中点, AB=BC=6 cm, AA1=4 cm. 3D
1
×3×4
2
1
2
= ×(3+4+5)r,解得r=1,
✓ 所以内切球最大半径为1,直径为2,由AA1=5
得,最多可加工出2个球.
2.(洛阳联考)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切,则球O的体积
为( A )
A.
8 2
π
3
B.
8 3π3来自C.8 6π3
D.
16 2
3
π
命题角度二
几何体的外接问题
经典再现
对点训练
1.(运城联考)一块木料的三视图如图所示,将它经过切削、打磨成半径最大的球,
则该木料最多加工出球的个数是 ( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
✓ 如图所示,将三视图还原为直观图,得直三棱
柱ABC-A1B1C1, AB=4, BC=3, AA1=5.
✓ 设△ABC内切圆半径为r,则S△ABC=
总结提升
求空间几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接根据常见的柱体、锥体、台体等规则几何体的体积公式计算.
(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高,使得体积
计算更容易，或是求出一些体积比等.
(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化
为可直接计算体积的几何体.
(2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成柱、锥、台体,
先求出这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差求得所给几何体
的表面积.
对点训练
1.(湖北武汉调研)一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( B )
A.28
B.24+2 5
C.20+4 5
D.20+2 5
如图所示, 三视图所对应的几何体是长,宽,高分别为
2.若球面上四点P,A,B,C中, PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,则可构
造长方体或正方体确定直径解决外接问题.
3.利用球心O与截面圆的圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于
弦的性质,确定球心.
对点训练
1.(河南濮阳二模,7)已知三棱锥A-BCD中,△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形
3
6 π.
6
,
2
法二
总结提升
此类问题的实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题,其中球心的确定是关键.
1.相关简单多面体外接球的球心的结论.
(1)正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.
(2)正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.
(3)直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.
考向二
几何体的内切、外接问题
命题角度一
几何体的内切问题
经典再现
例 (课标全国Ⅲ,10,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.
若AB⊥BC, AB=6, BC=8, AA1=3, 则V的最大值是( B )
A.4π
B.
9
2
C.6π
D.
易知AC=10.设底面△ABC的内切圆的半径为r,
底面所成角为30°.若△SAB的面积为8, 则该圆锥的体积为
设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l,高为h,
2 3
因为母线SA与底面所成的角为30°,所以l=
r,
3
1 2
1
4 2
由△SAB的面积为8, SA⊥SB, 得 l =8, 即 × r =8,
2
2
3
2
所以r =12,所以r=2 3,则h=
1
2
所以圆锥的体积为 πr h=
高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十
二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,
十二而一”.就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积V=
1
12
×(底面圆的周长的平方×
高),则由此可推得圆周率π的取值为( A )
A.3
B.3.1
C.3.14
D.3.2
3
打印所用原料密度为0.9 g/cm .不考虑打印损耗, 制作该模型所需原料的质量
为 118.8
g.
依题意,知该模型是长方体中挖去一个四棱锥,故其体积
V=V长方体-V四棱锥=6×6×4-
1 1
×
3
3
×4×6×3=132(cm ).
3
又该模型的原料密度为0.9 g/cm ,
故制作该模型所需原料的质量为0.9×132=118.8(g).
例 (课标全国Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,
7
母线SA,SB所成角的余弦值为
8
, SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5 15, 则该圆锥的侧面
积为 40 2 .
总结提升
求几何体的表面积的方法
(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面几何问题,即空间图
形平面化,这是解决立体几何问题的主要出发点.
例 (课标全国Ⅲ,9,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个
球的球面上,则该圆柱的体积为( B )
A.π
B.
3
4
C.
D.
4
例 (课标全国Ⅰ,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC
是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为( D )
1
2
1
2
则 ×6×8= ×(6+8+10)·r,所以r=2,
3
2
因为2r=4>3,所以最大球的直径2R=3,即R= .
此时球的体积V=
3 9
4
πR =
3
2
.
32
3
总结提升
•
求解多面体的内切球半径问题,一般是将多面体分割成以球心
为顶点,多面体的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于
各棱锥的体积之和求出内切球的半径.
2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE-DCMH,
其中AE=DH=2, BI=MC=3, BC=AD=AB=CD=2,
则该几何体的表面积
S=(2×2)×5+
1
2
× 1 × 2 ×2+2×1+2× 5 =24+2 5.
2. (黑龙江哈尔滨模拟)某四面体的三视图如图所示,则其四个面中面积最大
A.8 6 π
B.4 6 π
C.2 6 π
D. 6 π
∵E、F分别是PA、AB的中点, ∴EF∥PB.
∵∠CEF=90°, ∴EF⊥EC, ∴PB⊥EC,
又∵三棱锥P-ABC为正三棱锥, ∴PB⊥AC, 从而PB⊥平面PAC,
∴三条侧棱PA、PB、PC两两垂直.
∵△ABC是边长为2的正三角形, ∴PA=PB=PC= 2,
A.8 6 π
∴x=
2
,
2
B.4 6 π
C.2 6 π
D. 6 π
∴PA=PB=PC=2x= 2.
∵AB=BC=CA=2,
∴三棱锥P-ABC的三个侧面为等腰直角三角形,
∴PA、PB、PC两两垂直,故球O是棱长为 2的正方体的外接球,
设球O的半径为R,则2R= 3 × 2, R=
∴球O的体积V=
3
4
πR =
则球O是棱长为 2的正方体的外接球, 设球O的半径为R,
则2R= 3 × 2 , R=
6
,
2
4
3
3
∴球O的体积V= πR = 6 π.
法一
例 (课标全国Ⅰ,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC
是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为(
且二面角A-BD-C为直二面角,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为( D )
A.
10
3
B.5π
C.6π
D.
0
3
取BD的中点M,连接AM,CM,取△ABD,△CBD的中心,即AM,CM的靠近BD
的三等分点P,Q, 过P作面ABD的垂线,过Q作面CBD的垂线,两垂线相交于
点O,则点O为外接球的球心,其中OQ=
径R=OC=
3
,
3
CQ=
2 0
15
,则外接球的表面积为4πR =
.
3
3
3
,连接OC,则外接球的半
3
2.(福建福州模拟)已知圆锥的高为3,底面圆的半径为 3,若该圆锥的顶点与底面的
圆周都在同一个球面上,则这个球的体积为( B )
A.
8
π
3
C.16π
B.
32
3
π
D.32π
通过本节课，你学会了什么？
2
=4x +x
2
2 2 −1
-2×2x·x· 2
2
2
=x +2,
在△FEC中,∵∠CEF=90°,
2
2
2
2
2
∴FC =EF +EC ,即x +2+x =3,
法二
)
例 (课标全国Ⅰ,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC
是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为( D )