2020年初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习与常考题和培优题(含解析)

作者：非成败
作品编号：92032155GZ5702241547853215475102
时间：2020.12.13
初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题
一．选择题（共5小题）
1．如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．一般三角形D．等腰三角形
2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H 是AF的中点，那么CH的长是（）
A．3.5 B．C． D．2
3．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）
A．3 B．5 C．2.4 D．2.5
4．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）
A．17 B．21 C．24 D．27
5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）
A．10 B．4.8 C．6 D．5
二．填空题（共4小题）
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC 于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于．
7．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=时，四边形ABEC是矩形．
8．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．
9．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是．
三．解答题（共31小题）
10．如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，求∠BEF的度数．
11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．
12．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．
13．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；
（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．
14．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．
（1）求∠EDG的度数．
（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．
①求证：BF∥DE；
②若正方形边长为6，求线段AG的长．
15．如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．
（1）求证：BF=DF；
（2）求证：∠DFE=90°；
（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=度．
16．已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．
①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF
②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB 延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？
17．如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．
（1）求证：PE=PD；
（2）求证：∠PDC=∠PEB；
（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．
18．如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．
（1）求证：EF=DF﹣BE；
（2）若△ADF的周长为，求EF的长．
19．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．
（1）求证：0E=OF；
（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．
20．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG 交对角AC于点F．求证：
（1）BF=DF；
（2）BF⊥FE．
21．已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND．（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；
（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何？说明理由．
22．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
23．（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．
（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．
（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．
24．如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．
①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：
②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=，AF=．
25．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE ⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证：MN⊥BD．
26．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当
其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
作者：非成败
作品编号：92032155GZ5702241547853215475102
时间：2020.12.13
（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．
27．如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD于G，连接BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：
（1）求证：BE⊥AG；
（2）求线段DH的长度的最小值．
28．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．
（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．
（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？
29．某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD 中，AB=4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：AP=CQ；
（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．
30．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两
点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度
为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值．
31．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AE=3，AD=5，点P为BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请直接写出所有BP的值．
32．已知：如图，BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F．EF分别交边AB、AC于点M、N．求证：
（1）四边形AFBE是矩形；
（2）BC=2MN．
33．如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD=8，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．
（1）对角线AC的长是，菱形ABCD的面积是；
（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变请说明理由，若变化，请直接写出OE、OF之间的数量关系，不用明理由．
34．如图，已知Rt△ABD≌Rt△FEC，且B、D、C、E在同一直线上，连接BF、AE．
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形．
（2）若∠ABD=60°，AB=2cm，DC=4cm，将△ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动，设△ABD运动的时间为t，在△ABD运动过程中，试解决以下问题：（1）当四边形ABEF是菱形时，求t的值；
（2）是否存在四边形ABFE是矩形的情形？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．
35．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为
O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．
（2）如图1，求AF的长．
（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程
中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．
①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．
②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
36．如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD 于G，连接BE交AG于点H
（1）求证：AG⊥BE；
（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．
37．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E时AD边的中点，点M时AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．
（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．
38．如图，已知正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，点P（0，m）是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0，直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标；（用含m的代数式表示）
（2）若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形，求m的值．
39．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．
（1）证明：四边形BDFG是菱形；
（2）若AC=10，CF=6，求线段AG的长度．
40．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；
（2）求∠BEF大小；
（3）若EB=4，则△BAE的面积为．
初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培
优题
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2012春•炎陵县校级期中）如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．一般三角形D．等腰三角形
【分析】根据正方形性质得出FG=BC，∠G=∠C=90°，GB=CD，根据SAS证△FGB ≌△BCD，推出∠FBG=∠BDC，BF=BD，求出∠DBC+∠FBG=90°，求出∠FBD的度数即可．
【解答】解：∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD，
∴FG=BE=AD=BC，GB=EF=AB=CD，∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°，
∵在△FGB和△BCD中
，
∴△FGB≌△BCD，
∴∠FBG=∠BDC，BF=BD，
∵∠BDC+∠DBC=90°，
∴∠DBC+∠FBG=90°，
∴∠FBD=180°﹣90°=90°，
即△FBD是等腰直角三角形，
故选B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，关键是证出△FGB≌△BCD，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
2．（2015春•江阴市期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）
A．3.5 B．C． D．2
【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．
【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，∴AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM=BC+CE=4，FM=EF﹣AB=2，∠AMF=90°，
作者：非成败
作品编号：92032155GZ5702241547853215475102
时间：2020.12.13
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴CH=AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF==2，
∴CH=，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出AF的长和得出CH=AF，有一定的难度．
3．（2015春•泗洪县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）
A．3 B．5 C．2.4 D．2.5
【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得出CE2=CD2+DE2，代入求出即可．
【解答】解：
∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，
∴∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2=CD2+DE2，
即AE2=42+（8﹣AE）2，
解得：AE=5，
故选B．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是得出关于AE的方程．
4．（2015秋•无锡期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）
A．17 B．21 C．24 D．27
【分析】根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解．
【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，
∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，
∴FM=BC=×10=5，
同理可得，ME=BC=×10=5，
又∵EF=7，
∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17．
故选A ．
【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM 和ME 的长．
5．（2015春•乌兰察布校级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足为E 、F ，则PE +PF 的值为（ ）
A ．10
B ．4.8
C ．6
D ．5
【分析】连接OP ，利用勾股定理列式求出BD ，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA 、OD ，然后根据S △AOD =S △AOP +S △DOP 列方程求解即可．
【解答】解：如图，连接OP ，
∵AB=6，AD=8，
∴BD===10，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA=OD=×10=5，
∵S △AOD =S △AOP +S △DOP ， ∴××6×8=×5•PE +×5•PF ，
解得PE +PF=4.8．
故选B ．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
6．（2016春•东平县期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于75°．
【分析】由矩形ABCD，得到OA=OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB=OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，
∴AB=BE，
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=45°﹣15°=30°，
∠BAC=60°，
∴△BAO是等边三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°，
∴∠OBC=90°﹣60°=30°，
∵AB=OB=BE，
∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣30°）=75°．
故答案为75°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE．
7．（2014春•武昌区期中）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=2时，四边形ABEC是矩形．
【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．【解答】解：当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠BCE=∠D，
由题意易得AB∥EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，
∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，
∴FC=FE，
∴四边形ABEC是矩形，
故答案为：2．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是了解矩形的判定定理．
8．（2015春•南长区期中）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE 交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2．
【分析】首先根据菱形的判定方法，判断出四边形ABCF是菱形，再根据菱形的性质，即可判断出AC⊥BF；然后根据勾股定理，可得OB2+OC2=BC2，据此推得AC2+BF2=4CD2即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB∥CE，AD∥BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，
又∵AB=BC=CD=DE=EA，
∴四边形ABCF是菱形，
∴AC⊥BF，
∴OB2+OC2=BC2，
∵AC=2OC，BF=2OB，
∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，
又∵BC=CD，
作者：非成败
作品编号：92032155GZ5702241547853215475102
时间：2020.12.13
∴AC2+BF2=4CD2．
故答案为：AC2+BF2=4CD2．
【点评】（1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（2）此题还考查了勾股定理的应用：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，要熟练掌握．
9．（2015春•株洲校级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC 是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．
【分析】先由矩形的性质求出OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时；根据勾股定理求出PC，即可得出结果；
（2）当PD=OD=5时；①作PE⊥OA于E，根据勾股定理求出DE，得出PC，即可得出结果；
②作PF⊥OA于F，根据勾股定理求出DF，得出PC，即可得出结果．
【解答】解：∵A（﹣10，0），C（0，3），
∴OA=10，OC=3，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=10，AB=OC=3，
∵D是OA的中点，
∴AD=OD=5，
分情况讨论：
（1）当OP=OD=5时，根据勾股定理得：PC==4，
∴点P的坐标为：（﹣4，3）；
（2）当PD=OD=5时，分两种情况讨论：
①如图1所示：作PE⊥OA于E，
则∠PED=90°，DE==4，
∴PC=OE=5﹣4=1，
∴点P的坐标为：（﹣1，3）；
②如图2所示：作PF⊥OA于F，
则DF==4，
∴PC=OF=5+4=9，
∴点P的坐标为：（﹣9，3）；
综上所述：点P的坐标为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）；
故答案为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．
【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
三．解答题（共31小题）
10．（2012春•西城区校级期中）如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC 于点F，求∠BEF的度数．
【分析】设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．
【解答】解：设∠BAE=x°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵AE=AB，
∴AB=AE=AD，
∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣∠BAE）=90°﹣x°，
∠DAE=90°﹣x°，
∠AED=∠ADE=（180°﹣∠DAE）=[180°﹣（90°﹣x°）]=45°+x°，
∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED，
=180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°），
=45°，
答：∠BEF的度数是45°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是有一定的难度．
11．（2012秋•高淳县期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、
BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．
【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．
（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH2=2，也即得出了正方形EHGF的边长．
【解答】（1）证明：在△ABC中，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF=
同理FG=，GH=，HE=
在梯形ABCD中，
∵AB=DC，
∴AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH为菱形．
设AC与EH交于点M
在△ABD中，∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH∥BD，同理GH∥AC
又∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°．
∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°
∴四边形EFGH为正方形．
（2）解：连接EG，在梯形ABCD中，
∵E、G分别是AB、DC的中点，
∴EG=（AD+BC）=（1+3）=2，
在Rt△HEG中，
EG2=EH2+HG2，
4=2EH2，
EH2=2，
则EH=．
即四边形EFGH的边长为．
【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．
12．（2013秋•青岛期中）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．
【分析】延长CF、BA交于点M，先证△BCE≌△CDF，再证△CDF≌△AMF得BA=MA 由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△MBP中AP=BM，即AP=AB．
【解答】证明：延长CF、BA交于点M，
∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，
∴BC=CD，∠BCE=∠CDF，CE=DF，
∴△BCE≌△CDF，
∴∠CBE=∠DCF．
∵∠DCF+∠BCP=90°，
∴∠CBE+∠BCP=90°，
∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．
又∵FD=FA，∠CDF=∠MAF，∠CFD=∠MFA，
∴△CDF≌△AMF，
∴CD=AM．
∵CD=AB，∴AB=AM．
∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，
∴AP=BM，
即AP=AB．
【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质，本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键．
作者：非成败
作品编号：92032155GZ5702241547853215475102
时间：2020.12.13
13．（2015春•禹州市期中）如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）求证：PA=EF；
（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．
【分析】（1）连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF=PC，证△ABP≌△CBP，推出AP=PC即可；
（2）证△CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF，求出周长即可．
【解答】解：证明：（1）连接PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠C=90°，
在△ABP与△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．
又∵∠C=90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EF=PC，
∴PA=EF．
（2）由（1）知四边形PFCE是矩形，
∴PE=CF，PF=CE，
又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，
∴BE=PE，又BC=a，
∴矩形PFCE的周长为2（PE+EC）=2（BE+EC）=2BC=2a．
【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能证出AP=PC是解此题的关键．
14．（2015秋•福建校级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．
（1）求∠EDG的度数．
（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．
①求证：BF∥DE；
②若正方形边长为6，求线段AG的长．
【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”
证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；
（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；
②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE 的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；
【解答】（1）解：如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，
∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，
在Rt△DGA和Rt△DGF中，
，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），
∴∠3=∠4，
∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，
=（∠ADF+∠FDC），
=×90°，
=45°；
（2）①证明：如图2所示：
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，
∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，
∴∠5=∠6，
∵∠FEC=∠5+∠6，
∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，
∴2∠5=2∠DEC，
即∠5=∠DEC，
∴BF∥DE；
②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，
∵正方形边长为6，E为BC的中点，
∴CE=EF=BE=×6=3，
∴GE=EF+GF=3+x，
在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，
解得：x=2，
即线段AG的长为2．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
15．（2016春•召陵区期中）如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．
（1）求证：BF=DF；
（2）求证：∠DFE=90°；
（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=50度．
【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF，然后利用“边角边”证明即可；
（2）易证∠FBE=∠FEB，又因为∠FBE=∠FDC，所以可证明∠FEB=∠FDC，进而可证明∠DFE=90°；
（3）根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF，根据等边对等角可得∠CBF=∠E，然后求出∠DFE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得解．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCF=∠DCF=45°，
∵在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS）；
∴BF=DF；
（2）证明：∵BF=EF，
∴∠FBE=∠FEB，
又∵∠FBE=∠FDC，
∴∠FEB=∠FDC，
又∵∠DGF=∠EGC，
∴∠DFG=∠ECG=90°，
即∠DFE=90°；
（3）证明：由（1）知，△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵EE=FB，
∴∠CBF=∠E，
∵∠DGF=∠EGC（对顶角相等），
∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E，
即∠DFE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DFE=∠ABC=50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键．
16．（2015秋•泗县期中）已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．
①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF
②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB 延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？
【分析】①由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等
即可；
②由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可．【解答】①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，
∴∠BOE=∠AOF=90°，
作者：非成败
作品编号：92032155GZ5702241547853215475102
时间：2020.12.13
∴∠OEB+∠OBE=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠AGE=90°，
∴∠OEB+∠OAF=90°，
∴∠OBE=∠OAF，
在△BOE和△AOF中，
，
∴△BOE≌△AOF（ASA），
∴OE=OF；
②解：OE=OF还成立；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，
∴∠BOE=∠AOF=90°，
∴∠OEB+∠OBE=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠AGE=90°，
∴∠OEB+∠OAF=90°，
∴∠OBE=∠OAF，
在△BOE和△AOF中，
，
∴△BOE≌△AOF（ASA），
∴OE=OF．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
17．（2016春•邳州市期中）如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．
（1）求证：PE=PD；
（2）求证：∠PDC=∠PEB；
（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．
【分析】（1）由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，由SAS 证明△CDP≌△CBP，得出PB=PD，再由PE=PB，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB，由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC，即可得出∠PDC=∠PEB；
（3）由四边形内角和定理得出∠DPE=100°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，
在△DCP和△BCP中，
，
∴△CDP≌△CBP（SAS），
∴PB=PD，
∵PE=PB，∴PE=PD；
（2）证明：∵PE=PB，
∴∠PBC=∠PEB，
∵△CDP≌△CBP，
∴∠PDC=∠PBC，
∴∠PDC=∠PEB；
（3）解：如图所示：
∠PDE=40°；理由如下：
在四边形DPEC中，
∵∠DPE=360°﹣（∠PDC+∠PEC+∠DCB）
=360°﹣（∠PEB+∠PEC+∠DCB）
=360°﹣（180°+80°）
=100°，
∵PE=PD
∴∠PDE=∠PED=40°．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
18．（2016春•昆山市期中）如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．
（1）求证：EF=DF﹣BE；
（2）若△ADF的周长为，求EF的长．
【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，证出∠DAF=∠ABE，由AAS证明△ADF ≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出结论；
（2）设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，由已知条件得出DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得出a2+b2=1，再由完全平方公式得出a﹣b即可．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，
∴∠DAF=∠ABE，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF≌△BAE（AAS），
∴AF=BE，DF=AE，
∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE；
（2）解：设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，
∵△ADF的周长为，AD=1，
∴DF+AF=，
即a+b=，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，
即a2+b2=1，
∴（a﹣b）2=2（a2+b2）﹣（a+b）2=2﹣=，
∴a﹣b=，
即EF=．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题（2）的关键．
19．（2015春•繁昌县期中）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；
（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°，OA=OB，再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE，然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据等腰直角三角形△EOF，当OE最小时，再根据勾股定理得出EF的最小值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，∠EAO=∠FBO=45°，
∴∠AOE+∠BOE=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE与△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴OE=OF；
（2）由（1）可知，△EOF是等腰直角三角形，∠EOF是直角，当OE最小时，EF的值最小，
∵OA=OB，OE⊥AB，
∴点E是AB的中点，
∴OE=AB，
∵AB=4，
∴OE=2，
∴EF=，
即EF的最小值是2．
【点评】本题考查了正方形的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．正确作出辅助线是关键．
20．（2016春•江宁区期中）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：
（1）BF=DF；
（2）BF⊥FE．
【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS证明△BAF ≌△DAF，得出对应边相等即可；
（2）由线段垂直平分线的性质得出BF=EF，证出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED，由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°，证出∠ABF+∠FEA=180°，由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE=90°即可．
【解答】证明：如图所示：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
作者：非成败
作品编号：92032155GZ5702241547853215475102
时间：2020.12.13
∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，
在△BAF和△DAF中，
，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF=DF；
（2）∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F，
∴BF=EF，
∵BF=DF，
∴EF=DF，
∴∠FDE=∠FED，
∵△BAF≌△DAF，
∴∠ABF=∠FDE，。