2.4等比数列(基础)

2.4等比数列（基础）
要点一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0q ≠），
即：
1
(0)n n
a q q a +=≠. 要点诠释：
①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 可不能是0； ②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q ”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；
③隐含条件：任一项0n a ≠且0q ≠；“0n a ≠”是数列{}n a 成等比数列的必要非充分条件；
④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列；不为0的常数列是公比为1的等比数列； ⑤证明一个数列为等比数列，其依据*1
(0)n n
a q n N q a +=∈≠，.利用这种形式来判定. 要点二、等比中项
如果三个数a 、G 、b 成等比数列，那么称数G 为a 与b 的等比中项.
其中G =。

要点诠释：
①只有当a 与b 同号即0ab >时，a 与b 才有等比中项，且a 与b 有两个互为相反数的等比中项. 当a 与b 异号或有一个为零即0ab ≤时，a 与b 没有等比中项。

②任意两个实数a 与b 都有等差中项，且当a 与b 确定时，等差中项2
a b
c +=
唯一. 但任意两个实数a 与b 不一定有等比中项，且当a 与b 有等比中项时，等比中项不唯一。

③当0ab >时，a 、G 、b 成等比数列⇔
G b
a G
=
2 ④2
G ab =是a 、G 、b 成等比数列的必要不充分条件。

要点三、等比数列的通项公式
首相为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q -=⋅（*1N 0n a q ∈⋅≠，）
推导过程：
（1）归纳法： 根据等比数列的定义
1
n
n a q a -=可得1(2)n n a a q n -=≥： ∴21
211a a q a q -==；
23132111()a a q a q q a q a q -====； 234143111()a a q a q q a q a q -====；
……
111(2)
n n n a a q a q n --===≥L
当n=1时，上式也成立
∴归纳得出：1
11(*n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠，
（2）累乘法： 根据等比数列的定义
1
n
n a q a -=可得： 21a q a =，32a q a =，43a
q a =，…，1
n n a q a -=， 把以上1n -个等式的左边与右边分别相乘（累乘），并化简得：
11
n n
a q a -=，即11(2)n n a a q n -=≥
又1a 也符合上式
∴1
11(*0)n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠，.
要点诠释：
①通项公式由首项1a 和公比q 完全确定，首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了。

②通项公式中涉及1a 、n 、q 、n a 四个量，已知任意三个量，解方程，可求出第四个量。

要点四、等比数列的通项公式的推广
已知等比数列{}n a 中，第m 项为m a ，公比为q ，则：
n m n m a a q -=⋅
证明：∵1
1n n a a q -=⋅，11m m a a q -=⋅
∴111
1n n m
n m m a a q q a a q
---⋅==⋅ ∴n m
n m a a q -=⋅
由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式
111(*0)n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠，可以看成是1m =时的特殊情况。

【典型例题】
类型一：等比数列的判定与证明
例1． 已知数列{}n a 的首项为1122
,,1,2,3,31
n n n a a a n a +===+……，
证明：数列1
{
1}n
a -是等比数列. 解：由12,1n n n a a a +=
+得，111
111.222n n n n
a a a a ++==+⋅ ∴
11111(1),2n n a a +-=-又11212,133
a a =∴-= ∴数列1{
1}n a -是首项为12，公比为1
2
的等比数列. 【变式1】已知数列{}n a 中11a =，1230n n a a -++=（2n ≥）判断数列{}1n a +是否为等比数列， 并说明理由
【答案】{}1n a +是等比数列，理由如下：
∵11a =，1230n n a a -++=（2n ≥）， ∴112(1)n n a a -+=-+，
∴数列{1}n a +是首项为2，公比为-2的等比数列
【变式2】已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a -=+（2n ≥）； （1）证明：数列{}1n a +是等比数列； （2）求n a .
【答案】（1）数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列 ∵1122n n a a -+=+12(1)n a -=+，即
11
21
n n a a -+=+，112a +=
∴{}1n a +是首项是2，公比为2的等比数列.
（2）21n
n a =-
由（1）知11222n n n a -+=⨯=，得21n
n a =-
例2设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，12
n n n a S n
++=（*n N ∈）. 求证：数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等比数列. 思路：用11n n n a S S ++=-代入已知等式就可以了. 证明：∵11n n n a S S ++=-，12
n n n a S n
++=
， ∴12
n n n n S S S n
++-=，∴1()(2)n n n n S S n S +-=+，∴12(1)n n nS n S +=+， ∴
121n n
S S
n n
+⎛⎫= ⎪+⎝⎭
， ∵
1
1101S a ==≠，∴0n S n ≠（*n N ∈）
， ∴1
12n n S n S n
++=，∴n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是首项是1，公比为2的等比数列.
总结：利用定义判断（或证明）等比数列时，一定要说明数列中的项都不为0，等式出现n S 与n a （或1n a +）关系式，用11,1
,2
n n n a n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩进行转化.
例3设关于x 的二次方程2
110n n a x a x +-+=有两个实数根α，β，且满足
6263ααββ-+=.
（1）试用n a 表示1n a +； （2）求证：数列23n a ⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列.
思路：（1）根与系数关系消去α，β，得到关于n a 和1n a +的关系式；
（2）利用定义法证明数列.
（1）解：由根与系数关系，得11n n n a a a αβαβ+⎧
+=⎪⎪
⎨⎪=
⎪⎩
.
代入6263ααββ-+=并化简，得111
23
n n a a +=+. （2）证明：由（1）知111
23
n n a a +=+，∴1212323n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.
若23n a =
，则原方程变为2221033x x -+=，即2
302
x x -+=， 此时，2
3(1)412∆=--⨯⨯50=-<，方程没有实根，
∴23n a ≠，于是1213223
n n a a +-
=-，∴数列23n a ⎧⎫-⎨⎬
⎩⎭是等比数列. 类型二：等比数列的通项公式及其应用
例4在等比数列{}n a 中，（1）43a =，712a =，求n a ；
（2）2518a a +=，369a a +=，若1n a =，求n 值.
解：设数列{}n a 的公比为q ，
（1）方法一：∵341671a a q a a q
⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴3
16
1312a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩两式相除，得3
4q =，
∴q =41334
a a q ==，∴41
3134n n n a a q --==⨯.
方法二：∵3
74a a q =，∴3
74
4a q a ==
，q =∴44n n a a q
-
=43n -=⨯4334n -=⨯. （2）方法一：∵4
251125
361118
9
a a a q a q a a a q a q ⎧+=+=⎪⎨+=+=⎪⎩，两式相除，得12q =，从而132a =， 又∵1n a =，∴1
11322n -⎛⎫
=⨯ ⎪
⎝⎭
，解得6n =.
方法二：∵3625()a a a a q +=+，∴12
q =
，由4
1118a q a q +=，得132a =，
由1
1n n a a q
-=1
1322n -⎛⎫=⨯ ⎪
⎝⎭
1=，得6n =.
【变式】（1）已知{}n a 为等比数列，且58a =，72a =，该数列的各项都为正数，求n a ； （2）若等比数列{}n a 的首项198a =
，末项13n a =，公比2
3
q =，求项数n ； （3）若等比数列{}n a 中，44n a a +=，求公比q .
解：（1）由已知，得4
16
182a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2114128
q a ⎧=
⎪⎨⎪=⎩，∵0n a >，∴12q =， ∴1
11282n n a -⎛⎫
=⨯ ⎪
⎝⎭
8
12n -⎛⎫= ⎪⎝⎭
.
（2）由1
1n n a a q -=⋅，得1
192383n -⎛⎫=⨯ ⎪
⎝⎭，即1
3
2233n -⎛⎫⎛⎫
= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，得4n =. （3）∵(4)4
44n n a a q
+-+=4n a q =，又44n a a +=，∴1n q =对*N n ∈均成立，∴1q =. 例5等比数列{}n a 中，71a =，且4a ，51a +，6a 成等差数列，求数列{}n a 的通项公式.
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由6711a a q ==，得6
1a q -=，从而
3341a a q q -==，4251a a q q -==，51
61a a q q -==.
∵4a ，51a +，6a 成等差数列，∴5462(1)a a a +=+，即2
312(1)q
q q ---+=+，
解得12q =，∴11n n a a q -=61n q q --=⋅7
n q -=7
12n -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
72n -=.
【变式】已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，31
2
a ，22a 成等差数列，求910
78
a a a a ++.
解：设数列{}n a 的公比为q ，由1a ，
31
2
a ，22a 成等差数列，得3122a a a =+， 即21112a q a a q =+，又∵0n a >，∴2
12q q =+，
解得1q =+
1q =-，
而
91078a a a a +=+22
7878
a q a q a a ++2q
=3=+类型三：等比数列的常用设项方法
例6有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
方法一：设这四个数依次为a d -，a ，a d +，2
()a d a
+（0a ≠）.
由条件得2
()16()12
a d a d a
a a d ⎧+-+
=⎪⎨⎪++=⎩
，解得44a d =⎧⎨=⎩ 或 96a d =⎧⎨=-⎩ 当4a =，4d =时，所求四个数分别为0，4，8，16； 当9a =，6d =-时，所求四个数分别为15，9，3，1. 方法二：设这四个数依次为
2a a q -，a
q
，a ，aq . 由条件得21612a
a aq q a a q ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，解得82a q =⎧⎨=⎩ ，或313a q =⎧⎪
⎨=⎪⎩
当8a =，2q =时，所求四个数分别为0，4，8，16；
当3a =，1
3
q =
时，所求四个数分别为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
总结：对于项数有限得等比数列，常用对称设项法： ①当数列有2n 项，且符号相同时，可设中间两项分别为
a q
，aq ，再以公比2
q 向两边分别对称设项，即
21
n a q -，…，
3a q ，a q
，aq ，3aq ，…，21
n aq -； ②当数列有(21)n -项时，可设中间一项为a ，再以公比q 向两边分别对称设项，
即
1
n a q -，…，
a q
，a ，aq ，…，1
n aq -. 【变式】已知由三个正数组成得等比数列，它们得和为7，积为8，求这三个数. 解：设这三个数依次为
a
q
，a ，aq ，由题意，得
87a
a aq q a a aq q ⎧⋅⋅=⎪⎪
⎨
⎪++=⎪⎩
，解得22a q =⎧⎨=⎩，或212
a q =⎧⎪⎨=⎪⎩. ∴这三个数为1，2，4或4，2，1.
【巩固练习】
1.公差不为零的等差数列{a n }，a 2，a 3，a 7成等比数列，则它的公比为( ) A ．－4 B ．－41 C.41
D ．4 答案：D
2.若等比数列的首项为89，末项为31，公比为32
，则这个数列的项数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 答案：B
3.在等比数列{a n }中，a 4＋a 5＝10，a 6＋a 7＝20，则a 8＋a 9等于( )
A ．90
B ．30
C ．70
D ．40 答案：D
4.已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( )
A ．64
B ．81
C ．128
D ．243 答案：A
5.如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝±3，ac ＝9
答案：B
6.已知等比数列前3项为12，14-，1
8
，则其第8项是________． 答案：1
256
-
7.已知等比数列{a n }的公比13
q =-，则1357
2468
a a a a a a a a +++=+++________．
答案：－3
8.在各项均为负数的等比数列{}n a 中，123n n a a +=，且25827
a a ⋅=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）16
81
-
是否为该数列的项？若是，是第几项？ （1）∵123n n a a +=，∴
123n n a a +=，数列{}n a 是公比为23的等比数列，又258
27
a a ⋅=， ∴5
3
2
1
2233a ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于数列{}n a 各项均为负数，∴132a =-，∴2
23n n a -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
（2）设1681n a =-，则2
162813n -⎛⎫
-=- ⎪
⎝⎭
，即2
4
2233n -⎛⎫
⎛⎫
= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，6n =， ∴16
81
-是该数列的第6项.
9.数列{}n a ，{}n b 满足下列条件：10a =，21a =，1
22
n n n a a a +++=，1n n n b a a +=-. （1）求证：{}n b 是等比数列； （2）求{}n b 的通项公式.
（1）证明：由题意知212n n n a a a ++=+，
∴
121
1n n n n n n
b a a b a a ++++-=-1
1
12n n n n n a a a a a ++++-=-12
=-，又121b a a =-1=0≠，
∴{}n b 是等比数列
（2）∵11b =，12q =-，∴1
112n n b -⎛⎫
=⨯- ⎪
⎝⎭
1
12n -⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
10.已知等比数列{}n a 中，0n a >且12a =,324a a =+,求n a . 解
析
：
设
等
比
数
列
{}
n a 的公比为
由得
即解得
或
（舍去），因此
所以的通项公式为。