2020年河北省石家庄市东卓宿中学高三数学理模拟试题含解析

2020年河北省石家庄市东卓宿中学高三数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知均为单位向量，它们的夹角为120°，那么=（）
A．1 B．C．D．7
参考答案：
B
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得，再利用求向量的模的方法，求出的值．
【解答】解：∵均为单位向量，它们的夹角为120°，∴=1?1?cos120°=﹣，
∴====，
故选：B．
2. 设函数在上可导,其导函数,且函数在处取得极小值,则函数
的图象可能是（）
参考答案：
C
3. 复数 (i是虚数单位)的实部是( )．
A. B．－ C．－i D．－
参考答案：
D
略
4. 某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积是（）
A． B． C． D．参考答案：
C
5. 已知,则的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
6. 已知集合,,则
( )
A. B. {10} C. {1} D.
参考答案：
C
7. 某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2015届高三年级抽取的学生人数为( )
A．15 B．20 C．25 D．30
参考答案：
B
考点：分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：根据分层抽样的定义即可得到结论．
解答：解：三个年级的学生人数比例为3：3：4，
按分层抽样方法，在2015届高三年级应该抽取人
数为人，
故选：B．
点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件确定抽取比例是解决本题的关键，比较基础．
8. 过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，是坐标原点，当
时，直线的斜率的取值范围是
A. B.
C. D.
参考答案：
D
略9. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续天的日平均温度均不低于”．现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：个数据的中位数为，众数为；
②乙地：个数据的中位数为，总体均值为；
③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为．
则肯定进入夏季的地区有（）
A．①②③ B．①③ C．②③
D．①
参考答案：
B
考点：统计初步
10. 已知函数（a>0）的最小值为2，则实数a=（）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
参考答案：
B
由得，故函数的定义域为，易知函数在上单调递增，所以
，解得。

选B。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若存在正数x使e x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是．
参考答案：
a＞﹣1
考点：特称命题．
专题：函数的性质及应用．
分析：由不等式将参数a进行分离，利用函数的单调性进行求解．
解答：解：由e x（x﹣a）＜1，得x?e x﹣a?e x＜1，
∴a＞x﹣，
设f（x）=x﹣，则f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴当x＞0时，
f（x）＞f（0）=﹣1，
∴若存在正数x，使e x（x﹣a）＜1成立，
则a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
点评：本题主要考查函数的单调性的应用，将参数分离是解决本题的关键，利用函数的单调性是本题的突破点，考查学生的转化能力，综合性较强．
12. 是方程的两实数根；,则是
的
条件．
参考答案：
充分不必要条件
13. 二项式展开式中的系数为___________________．
参考答案：
10
14. 已知双曲线的离心率为，焦点为的抛物线与直线
交于两点，且，则的值为____________．参考答案：15. 已知函数有3个零点分别为，则的取值范围是__________. 参考答案：
略
16. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为
▲．
参考答案：
分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率. 详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求
概率为.
17. 已知sinα=，α∈（0，），则cos（π﹣α）= ，cos2α=．
参考答案：
,.
【考点】二倍角的余弦．
【分析】利用余弦的诱导公式以及倍角公式求值．
【解答】解：已知sinα=，α∈（0，），所以cosα=，cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=；
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的诱导公式以及倍角公式；关键是熟练掌握公式．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=，g（x）=，其中n∈N*
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，求n的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）先判断函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．再求导，由导数的正负判断函数的单调性；
（Ⅱ）尝试n的值，使y=f（x）的最大值小于y=g（x）的最小值即可，即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，
，
令f′（x）=0，解得．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：
所以函数f（x）在区间上为单调递增，区间上为单调递减．
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（）==．g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=n．
当x变化时，g′（x）与g（x）的变化如下表所示：
↗
所以g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=，
∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，
∴≥，
即e n+1≥n n﹣1，即n+1≥（n﹣1）lnn，
当n=1时，成立，
当n≥2时，≥lnn，即≥0，
设h（n）=，n≥2，
则h（n）是减函数，∴继续验证，
当n=2时，3﹣ln2＞0，
当n=3时，2﹣ln3＞0，
当n=4时，，
当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0，
则n的最大值是4．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．19. 设函数.
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）过坐标原点作曲线的切线，证明:切点的横坐标为.
参考答案：
解: （Ⅰ）时, ，
，……………1分
，
的减区间为,增区间. ……………3分
（Ⅱ）
在区间上是减函数，
对任意恒成立，
即对任意恒成立，……………5分对任意恒成立，
令，
，
……………7分
易知在单调递减，.
. ……………8分
（Ⅲ）设切点为，，
切线的斜率，又切线过原点，
，
存在性：满足方程，
所以，是方程的根. ……………11分
再证唯一性：设，，
在单调递增，且，
所以方程有唯一解.
综上，切点的横坐标为. ……………13分
略
20. 如图，在直角梯形中，，且分别为线段的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求点到平面的距离.
参考答案：
（1）证明：由题可得，则，
又，且，所以平面.
因为平面，所以平面平面；
（2）解：
过点作交于点，连结，则平面，，又，所以平面，
易得，则，得，
设点到平面的距离为，
因为，
又因为于，所以平面，故，
又因为，
所以，故点到平面的距离为2.
21. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直用坐标系中，直线的参数方程为为参数〕.在以原点为极点,轴的正半轴为
极轴的极坐标系中，圆心的极坐标为，圆的半径为.
（1）直接写出直线的直角坐标方程，圆的极坐标方程；
（2）设是线上的点，是圆上的点，求的最小值.
参考答案：
(1)，；(2).
考点：极坐标、参数方程和圆的几何性质等有关知识的综合运用．
22. 已知函数.
（Ⅰ）若，解不等式；
（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ）时，，
由得，
不等式的解集为.
（Ⅱ）对成立，
又对成立，，
，即.。