傅立叶变换论文

傅里叶变换
摘要
本文旨在分析傅里叶变换的起源、分类及应用。

本文从四个角度
来分析傅里叶变化，分别是时域连续非周期、时域连续周期、时域离
散非周期和时域离散周期。

由连续时间信号进行理想抽样抽样的离散
周期序列，引入DFT进行处理实现了计算机处理信号得出信号的频
谱。

关键字：傅里叶变换、DFT 、理想抽样
Abstract
This article aims to analyze the origin, classification and application
of Fourier transform. From the perspective of four Fourier transform,Are
non-periodic continuous time domain, time domain successive cycles, discrete non-periodic time-domain and time-domain discrete cycles. Ideal sampling discrete periodic sequence by sampling a continuous time signal, DFT processing is introduced and a computer processing the signal spectrum
of the signal derived.
Keywords: Fourier transform, DFT, over a sample
一、引言
傅立叶是一位法国数学家和物理学家，原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成，而傅里叶变换是一种将时间转化为频率的变化。

二、傅里叶变换的分类
根据原信号的类型，我们可以将傅里叶变换分为四种类型：
2.1 非周期连续信号傅里叶变换（Fourier Transform）
2.2周期连续信号傅里叶级数（Fourier Series）
2.3非周期离散信号离散时域傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform）
2.4周期离散信号离散傅里叶变化（Discrete Fourier Transform）
三、连续时间信号的傅里叶的变换
3.1周期连续信号
当函数满足绝对可积时，利用傅里叶级数对周期信号的频谱进行
分析。

3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数：
直流分量：
3.1.2指数形式的傅里叶级数
称为幅度谱，为相位谱，周期信号由基波分量和谐波分量组成，谐波分量的频率越高，所携带的能量就越少。

周期信号的频谱只会出现
在0，等离散频率点上，这种频谱称为离散谱。

3.1.2非周期连续信号
傅里叶正变换：
傅里叶逆变换：
非周期信号和周期信号样，也可以分解为许多不同频率的正、余弦分量。

所不同的是，由于非周期信号的周期趋于无限大，基波趋于无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。

同时由于周期趋于无限大，因此，对任一能量的
有限信号，在各频率点的分量幅度趋于无限小，所以频谱不能用幅度
表示，只能用频谱密度函数来表示。

3.1.3周期信号的傅里叶变换
将上式俩边取傅里叶变换：
3.1.4周期信号的傅里叶级数和非周期信号傅里叶变换之间的关系 周期信号f(t)的傅里叶级数：
四、 离散时间信号的傅里叶变换
4.1时域离散傅里叶变换
∑∞
-∞
=-=
=n t
j j e
n x n x FT e X n x ωω
)()]([)()(的傅里叶变化定义为：
序列
1
(n)IFT(X(e ))(e
)2j j j x X e d π
ω
ω
ωπω
π
-
==
⎰
4.1.1时域离散傅里叶变换的性质：
处。

率在为周期的函数，最高频得到的频谱是以）（πωπ=2DTFT 1
是常数
其中啊）（，那么
设）线性
（b a e bX e aX n bx n ax FT n x FT e X n x FT e X j j j j ,)())()(()]([)()),(()(22
;1212211ω
ωωω+=+== （3）时移和频移
)
()]([)()]([)),((0
00(0ωωωωωω--==-=j n
j j n j j e
X n x e
FT e X e n n x FT n x FT e X 那么）（设
（4）时域卷积定理
)
().())(()(*)()(ωωj j e H e X n y FT n h n x n y ==
（5）频域卷积定理
)
().()]([)
(*)(21
)(n x n h e Y IFT e X e H e Y j j j j ==
ωωωωπ
则
若 （6）时域能量和频域能量之间的关系
2
2
1
(n)(e )2j n x X d π
ω
π
ωπ
∞
-
=-∞
=
∑
⎰
4.1.2 DTFT 的物理意义：
DTFT 是序列的Z 变换在单位圆上的连续取值。

4.2离散傅里叶变换
由于离散时域信号的频谱为周期连续谱，计算机处理很不方便，而离散周期信号是周期离散谱，因此可以选取周期离散序列的一个周期，进行离散傅里叶变换。

4.2.1 离散傅里叶的定义
定义x(n)的N 点傅里叶变换为：
的傅里叶逆变换为：
)(ωj e X
1
(k)[x(n)](n)W 0,1......1N kn
N
n X DFT x k N -====-∑
X(k)的离散傅里叶逆变换(IDFT)为：
1
1
(n)IDFT[X(k)](k)W
0,1,2.....1N kn N
k x X n N N
--===
=-∑
N
j
N e
W ρ2-=其中
4..2.1 DFT 与 Z 变换之间的关系
设序列x(n)的长度为M,其Z 变换和N 点的DFT 分别为：
1
(z)ZT[x(n)](n)M n n X x z --===∑
1
0X(k)[x(n)](n)W 0,1......N 1M kn
N N
DFT x k -===-∑
比较上式可得俩者之间的关系式为：
2(k)(z)
0,1.......N 1j K N
z e
X X k π===-
上式说明序列的x(n)d 的N 点DFT 是x(n)的Z 变换在单位圆上等间隔距离采样。

4.2.2 DFT 与DTFT 之间的关系。

且周期为隐含周期性，
和的周期性，使得于均为有限长序列，但由和由于N k X n x W k X n x kn
N )()()()( 1
1
()00(k mN)(n)W
(n)W (k)N N k mN n
kn
N
N n n X x x X --+==+===∑∑ 拓
的有限长序列的周期延为的序列都可以看做长度任何周期为N N
(n)(n mN)m x x ∞
=-∞
=
+∑
(n)(n)R (n)N x x =
其物理意义为：有限长序列x(n)的N 点傅里叶变换为X(k)正好是x(n)的周
期序列周期延拓的序列x((n))N 的离散傅里叶级数系数的主值序列。

五、总结
相对比较容易地转换成了易于分析的频域信号，可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工，把信号转化为可以对其进行各种数学变化的数学公式，对其进行处理。

最后还可以.利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号，它是一种特殊的积分变换。

六、参考文献
【1】2008.8 高西全，丁玉梅数字信号处理第三版西安电子科技大学出版社
【2】2000 郑君里，杨为理信号与系统第二版高等教育出版社
【3】The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing，By Steven W. Smith, Ph.D。