江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题(29)

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题(29）
本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1. （本小题满分14分）
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.
（1）若sin错误!＝2cos A,求A的值;
（2) 若cos A＝错误!，b＝3c,求sin C的值．
2. （本小题满分14分）
如图,已知四面体ABCD的四个面均为锐角三角形，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，BD∥平面EFGH，且EH＝FG.（1) 求证:HG∥平面ABC;
（2）请在面ABD内过点E作一条线段垂直于AC，并给出证明．
3。

(本小题满分14分）
如图,△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3(百米），底AB的长为4(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2。

（1) 若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；
（2）求错误!的最小值．
4. （本小题满分16分)
已知椭圆2
214
x y +=中心为O ，右顶点为M
，过定点(,0)(2)D t t ≠±作直线l 交
椭圆于A 、B 两点。

(1）若直线l 与x 轴垂直，求三角形OAB 面积的最大值; （2）若65
t =，直线l 的斜率为1，求证:90AMB ∠=；
（3）在x 轴上,是否存在一点E ，使直线AE 和BE 的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E 的坐标和这个常数；若不存在，说明理由。

5. （本小题满分16分）
已知函数f (x ）＝错误!是定义在R 上的奇函数，其值域为错误!. (1) 试求a 、b 的值;
(2） 函数y ＝g (x )(x ∈R ）满足：
条件1: 当x ∈［0,3)时，g （x )＝f (x );条件2: g (x ＋3)＝g (x )ln m （m ≠1）． ① 求函数g (x ）在x ∈[3，9)上的解析式;
② 若函数g (x ）在x ∈［0，＋∞)上的值域是闭区间,试探求m 的取值范围,并说明理由．
6．(本题满分16分）
对于数列}{n
x ,如果存在一个正整数m ，使得对任意的n (*
∈N n ）都有n m n x x =+成立，那么就把这样一类数列}{n
x 称作周期为m 的周期数列，m 的最小值称作数列}{n x 的最小正周期,以下简称周期。

例如当2=n
x 时
}{n x 是周期为1的周期数列，当)2
sin(n y n π
=时}{n
y 是周期为4的周期数列.
(1）设数列}{n a 满足n n n a a a -=++12(*
∈N n ），b a a a ==2
1,（b a ,不同时为0)，求证：数列}{n a 是周期为6的周期数列,并求数列}{n a 的前2012项的和2012
S ； (2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且2
)1(4+=n
n a S 。

①若0>n a ,试判断数列}{n
a 是否为周期数列，并说明理由； ②若01<+n n a a ，试判断数列}{n
a 是否为周期数列，并说明理由; （3)设数列}{n a 满足112+-=++n n n a a a （*
∈N n ），21=a ，32=a ，数列}{n
a 的前n 项和为n
S ，试问是否存在实数q p ,，使对任意的*∈N n 都有q n S p n
n ≤-≤)1(成立,
若存在，求出q p ,的取值范围;不存在，说明理由.
1。

（1）A=60° （7分） （2）3
1 (7分）
2。

（1） 证明：因为BD ∥平面EFGH ，平面BDC ∩平面EFGH
＝FG，所以BD∥FG。

同理BD∥EH，又EH＝FG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以HG∥EF。

又HG⊄平面ABC，EF⊂平面ABC, 所以HG∥平面ABC。

(6分)
（2）解:在平面ABC内过点E作EP⊥AC，且交AC于点P，在平面ACD内过点P作PQ⊥AC，且交AD于点Q，
连结EQ，则EQ即为所求线段．(10分）
证明如下：错误!⇒错误!⇒EQ⊥AC。

（14分）
3。

解：（1) ∵ E为AC中点，∴ AE＝CE＝错误!.
∵ 3
2
＋3＜
3
2
＋4，∴ F不在BC上．(2分）
若F在AB上,则AE＋AF＝3－AE＋4－AF＋3，∴ AE＋AF＝5。

∴ AF＝错误!＜4.（4分）
在△ABC中，cos A＝错误!.（5分）
在△AEF中，EF2＝AE2＋AF2－2AE·AF cos A＝错误!＋错误!－2×错误!×错误!×错误!＝错误!，
∴ EF＝错误!。

（6分）即小路一端E为AC的中点时小路的长度为错误!（百米)．(7分)
(2）若小道的端点E、F点都在两腰上，如图，设CE＝x,CF＝y,则x＋y＝5，
错误!＝错误!＝错误!－1(8分)
＝错误!－1
＝错误!－1≥错误!－1 ＝错误!（当x＝y＝错误!时取等号）；(10分)
若小道的端点E、F分别在一腰（不妨设腰AC)上和底上，
设AE＝x，AF＝y，则x＋y＝5，
错误!＝错误!＝错误!－1＝错误!－1≥错误!－1＝错误!（当x＝y＝错误!时取等
号）．（13分）
答:最小值是错误!。

（14分)
4。

解：设直线l 与椭圆的交点坐标为1
1
2
2
(,)(,)A x y B x y 、。

（1）把x t =代入2
214
x y +=
可得：y = （2分）
则1
12
OAB
S
OD AD t ∆=⋅=
⋅
，当且仅当t = （4分）
(2）由2
265
1
4
y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2125240440x x -+=,1244125x x =，124825x x +=（6分）
所以
()()()()
1212121266552222AM BM
x x y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==
----()()1212121263652524x x x x x x x x -++=-++ 4464836
125525254448241255
-⋅+=-⋅+64164-==-⇒90AMB ∠= （9分)
（3）(理）当直线l 与x 轴不垂直时，可设直线方程为：()y k x t =-，
由22
()
14
y k x t x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得22222
(41)8440k x k tx k t +-+-= 则21222212208414441k t x x k k t x x k ⎧
⎪∆>⎪
⎪
+=⎨+⎪
⎪-=
⎪+⎩
① 又
1122()
()
y k x t y k x t =-⎧⎨
=-⎩ ②
若存在定点(,0)E m 符合题意，且则为非零常数),(s s k k
BE AE
=⨯
221212122121212(())
()()()AE BE
y y k x x t x x t k k s x m x m x x m x x m
-++===---++ （11分）
把①、②式代入上式整理得
2222
4()(4)(4)0k s t m t s m ---+-=⎡⎤⎣⎦(其中m t s 、、都是常数)
要使得上式对变量(0)k k ≠恒成立，当且仅当
22
2
4()(4)0
(4)0(0)
s t m t s m s ⎧---=⎪⎨-=≠⎪⎩，解得2±=m (13分)
当2=m 时，定点E 就是椭圆的右顶点(2,0),此时,2
4(2)
t s t +=-；
当2m =-时，定点E 就是椭圆的左顶点(-2,0)，此时，24(2)
t s t -=+； （15
分）
当直线l 与x 轴垂直时，由22
14
x t
x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得两交点坐标为
((,A t B t ，可验证：24(2)
AE BE t k k t +=-或24(2)t t -+ 所以，存在一点E (2,0)（或(-2,0)），使直线AE 和BE 的斜率的乘积为 非零常数
2
4(2)t t +-（或24(2)
t t -+）. (16分)
5. 解：（1) 由函数f （x ）定义域为R ，∴ b ＞0.
又f (x ）为奇函数，则f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，得a ＝0。

（2分) 因为y ＝f (x )＝错误!的定义域为R ，所以方程yx 2－x ＋by ＝0在R 上有解．
当y ≠0时,由Δ≥0，得－错误!≤y ≤错误!,而f （x ）的值域为错误!，所以错误!＝错误!，解得b ＝4；
当y ＝0时，得x ＝0，可知b ＝4符合题意． 所以b ＝4。

(5分) (2） ① 因为当x ∈［0，3)时，g （x ）＝f （x ）＝错误!， 所以当x ∈［3,6）时,g （x ）＝g （x －3）ln m ＝错误!；（6分） 当x ∈[6，9）时，g （x ）＝g (x －6)（ln m )2＝错误!， 故g (x )＝错误!(9分)
② 因为当x ∈［0，3）时，g (x )＝错误!在x ＝2处取得最大值为错误!，在x ＝0处取得最小值为0，
所以当3n ≤x ＜3n ＋3（n ≥0，n ∈Z ）时，g (x )＝错误!分别在x ＝3n ＋2
和x ＝3n 处取得最值为错误!与0。

（11分）
（ⅰ） 当|ln m |＞1时，g (6n ＋2）＝错误!的值趋向无穷大，从而g （x )的值域不为闭区间;
(ⅱ） 当ln m ＝1时，由g (x ＋3)＝g （x ）得g (x ）是以3为周期的函数，从而g （x ）的值域为闭区间错误!;
(ⅲ） 当ln m ＝－1时，由g (x ＋3）＝－g (x ）得g （x ＋6)＝g （x ），得g (x )是以6为周期的函数， 且当x ∈[3，6）时g (x )＝错误!值域为错误!,从而g （x )的值域为闭区间错误!； （ⅳ） 当0＜ln m ＜1时，由g (3n ＋2)＝错误!＜错误!，得g （x ）的值域为闭区间错误!；
（ⅴ） 当－1＜ln m ＜0时，由错误!≤g (3n ＋2）＝错误!≤错误!，从而g （x ）的值域为闭区间错误!. （15分） 综上知,当m ∈错误!∪(1，e ］，即0＜ln m ≤1或－1≤ln m ＜0时，g (x ）的值域为闭区间。

16分) 6.
（1）证明：⇒⎩⎨⎧-=-=+++++123
12n n n n
n n a a a a a a n n a a -=+3又n n n a a a =-=++36，
所以}{n
a 是周期为6的周期数列，………………2分
006
5
4
3
2
1
3
3
=+++++⇒=+⇒-=++a a a a a a a a a a n
n n
n .
所以=2012
S b a a a a a a a a a +=+++++++⋅21
6
5
4
3
2
1
)(335.………4分
解：（2）当1=n 时，1
1
a S =，又2
11)1(4+=a S 得11
=a 。

………6分
当2≥n 时,
2121)1()1(444+-+=-=--n n n n n a a S S a 2
1
2)1()1(+=-⇒-n n a a ，
即21=--n n a a 或)2(1
≥-=-n a a n n .…………6分
①由0>n a 有21=--n n a a )2(≥n ，则}{n a 为等差数列，即12-=n a n
，
由于对任意的n 都有n m n a a ≠+，所以}{n
a 不是周期数
列.…………8分
②由01
<+n n a a 有)2(1
≥-=-n a a n n
，数列}{n
a 为等比数列，即1
)1(--=n n
a ，
存在2=m 使得n
n a a =+2对任意*
∈N n 都成立，
即当01<+n n a a 时}{n
a 是周期为2的周期数列.…………10分
（3）假设存在q p ,,满足题设。

于是⇒⎩⎨⎧+-=+-=+++++11
123
12n n n n n n a a a a a a 23=++n n a a 又236=+++n n a a 即n n a a =+6,
所以}{n
a 是周期为6的周期数列,}{n
a 的前6项分别为
0,1,0,2,3,2-，…12分
则⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+±=+±=+==)
36(4)262(3)
161(1)6(－或或k n n k n n k n n k n n
S n （*∈N k ），……14分 当k n 6=时，1)1(=-n S n n ，
当262±=k n 或时,n
n S n n 31)1(+=-2
5)1(1≤-<⇒n S n n ， 当161±=k n 或时，n n S n n 11)1(--=-1)1(2-<-≤-⇒n S
n n ， 当36-=k n 时，n
n S n n 41)1(--=-1)1(37-<-≤-⇒n
S
n n , 所以25)1(37≤-≤-n S n n ,为使q n S p n n ≤-≤)1(恒成立,只要37-≤p ，2
5
≥q 即可， 综上，假设存在q p ,，满足题设，37-≤p ，2
5
≥q .……16分
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