2012江苏数学高考模拟试卷5
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已知x，y，z均为正数．求证： ．
22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6．击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．
（1）若射击4次，每次击中目标的概率为 且相互独立．设 表示目标被击中的次数，求 的分布列和数学期望 ；
19.解：（1）由 ，得 ．
由于 ， ，且等号不能同时取得，所以 ．
从而 恒成立， ．………………………………………4分
设 ．求导，得 ．………………6分
， ，
从而 ， 在 上为增函数．
所以 ，所以 ．…………………………………………………8分
（2） 设 为曲线 上的任意一点．
假设曲线 上存在一点 ，使∠POQ为钝角，
22.解：（1）依题意知 ， 的分布列
ξ
0
1
2
3
4
数学期望 = （或 = ）．
………………………………………………………………………………………………5分
（2）设 表示事件“第一次击中目标时,击中第 部分”， ，
表示事件“第二次击中目标时,击中第 部分”, ．
依题意，知 , ,
,…………………………………………………………7分
B.解：矩阵M的特征多项式为 ……………………3分
令 ，从而求得对应的一个特征向量分别为
．………………………………………………………………………5分
令 所以求得 ．………………………………………………7分
．…………………………………………………………10分
C.解： ，圆心 ，半径 ，
，圆心 ，半径 ．……………………………3分
（2）当BM=1时，平面 平面 ．
在直三棱柱 中，
由于 平面ABC，BB1 平面B1BCC1，所以平面B1BCC1 平面ABC．
由于AB=AC， 是 中点，所以 ．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，
所以AD 平面B1BCC1．
而CM 平面B1BCC1，于是AD CM．…………………………………………………9分
（3）比较 与 的大小，并说明理由．
1. 2.13.84. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11.[8，16]12. 2 13.3 14.
15.解：（1）由题意， 的最大值为 ，所以 ．………………2分
而 ，于是 ， ．………………………………………4分
为递减函数，则 满足 ，
即 ．……………………………………………………6分
B．选修4－2：矩阵与变换
（本小题满分10分）
已知 ，计算 ．
C．选修4－4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在极坐标系中，圆 的方程为 ，以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 的参数方程 （ 是参数），若圆 与圆 相切，求实数 的值．
D．选修4－5：不等式选讲
（本小题满分10分）
（2）若射击2次均击中目标， 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求事件 发生的概率．
23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知函数 ．
（1）若函数 在 处取极值，求 的值；
（2）如图，设直线 将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数 的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的 的取值范围；
所以(-1)n－1(αcn-2+βcn)=β2·βn－3=βn－1=an.…………………………………………16分
21.A证明：因AE=AC，AB为直径，
故∠OAC=∠OAE．…………………………………3分
所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．
又∠EAC=∠PDE，所以，∠PDE=∠POC．……………………………………………10分
．……………………………………………………………14分
16.解：（1）连接 交 于 ，连接 ．因为CE，AD为△ABC中线，
所以O为△ABC的重心， ．
从而OF//C1E．………………………………………………………………………………3分
OF 面ADF， 平面 ，
所以 平面 ．……………………………………………………………………6分
（1）若P4与P0重合，求 的值；
（2）若P4落在A、P0两点之间，且AP0=2．设 =t，将五边形P0P1P2P3P4的面积S表示为t的函数，并求S的最大值．
19．（本小题满分16分）
已知函数 ，a∈R．
（1）若对任意 ，都有 恒成立，求a的取值范围；
（2）设 若P是曲线y=F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y=F(x)上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在 轴上，求a的取值范围．
所以 在 上的单调递减区间为 ．…………………………………7分
（2）设△ABC的外接圆半径为 ，由题意，得 ．
化简 ，得
．………………………………………………………9分
由正弦定理，得 ， ．①
由余弦定理，得 ，即 ．②…………………11分
将①式代入②，得 ．
解得 ，或 （舍去）．…………………………………………………13分
5．若直线 的倾斜角为钝角，则实数 的取值范围是．
6．某市教师基本功大赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图
如图所示，则去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的
标准差为．（茎表示十位数字，叶表示个位数字）
7．若执行如图所示的程序框图，则输出的a的值为．
8．已知单位向量a，b的夹角为120°，那么 的最小值是．
下面我们只要证明：n≥3时，(-1)n－1（αcn-2+βcn）=βn－1．
因为=－=－=－
=－=－=β．
又c1=1，c2=-1，c3=2，则当n=3时，(-1)2(αc1+βc3)=(α+2β)=1+β=β2，
所以{(-1)n－1(αcn-2+βcn)}是以β2为首项，β为公比的等比数列．
(-1)n－1(αcn-2+βcn)是它的第n－2项，
数学Ⅱ附加题
21．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．
圆心距 ，………………………………………………………………………5分
两圆外切时， ；………………………………7分
两圆内切时， ．
综上， 或 ．………………………………………………………………10分
D.证明：因为x，y，z都是为正数，所以 ．………………………3分
同理，可得 ．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得 ．………10分
因为BM =CD=1，BC=CF=2，所以 ≌ ，所以CM DF．………11分
DF与AD相交，所以CM 平面 ．
CM 平面CAM，所以平面 平面 ．………………………………………13分
当BM=1时，平面 平面 ．…………………………………………………14分
17.解：（1）由 ，c=2，得a= ，b=2．
综上所述，a的取值范围是 ．………………………………………………16分
20.解：因为α，β是方程x2－x－1=0的两个根，所以α+β=1，α·β=-1，β2=β+1.
（1）由b2=a3－αa2=a1+a2－αa2=1+a2－αβ=2+a2，得b2－a2=2.……………………4分
（2）因为==
====β，……………………………8分
又b1=a2－αa1=β－α≠0，所以{bn}是首项为β－α，公比为β的等比数列．……10分
（3）由（2）可知an+1－αan=（β－α）βn－1．①
同理，an+1－βan=α（an－βan-1）．又a2－βa1=0，于是an+1－βan=0．②
由①②，得an=βn－1.…………………………………………………………………13分
17．（本小题满分14分）
已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 .
（1）若 ，求椭圆的方程；
（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点， 的中点为M， 的中点为N，若原点 在以线段 为直径的圆上．
①证明点A在定圆上；
②设直线AB的斜率为k，若 ，求 的取值范围．
18．（本小题满分16分）
如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一质点从AB边上的点 出发，沿与AB的夹角为的方向射到边BC上点 后，依次反射（入射角与反射角相等）到边CD，DA和AB上的 处．
则 ．…………………………………………………………………………10分
1若t≤-1， ， ， = ．
由于 恒成立， ．
当t=－1时， 恒成立．
当t<－1时， 恒成立．由于 ，所以a≤0.………12分
2若 ， ， ， ，
则 = ，
对 ， 恒成立．……………………………………………14分
③当t≥1时，同①可得a≤0．
因为 ，k2>0，所以 ， ．…………………………12分
所以 ．化简，得
解之，得 ， .
故离心率的取值范围是 .………………………………………………14分
(说明：不讨论 ，得 的扣2分)
18.解：（1）设 ，则 ， ．………………………2分
= ， ．…………………………4分
， ，
．…………………………………………………………………6分
所求的概率为
=
= ．
答：事件 的概率为0.28．……………………………………………………………10分
9．已知角 的终边经过点 ，函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，则 =．
10．各项均为正数的等比数列 满足 ，若函数 的导数为 ，则 ．
11．若动点P在直线l1： 上，动点Q在直线l2： 上，设线段PQ的中点为 ，且 ≤8，则 的取值范围是．
12．已知正方体C1的棱长为 ，以C1各个面的中心为顶点的凸多面体为C2，以C2各个面的中心为顶点的凸多面体为C3，以C3各个面的中心为顶点的凸多面体为C4，依次类推．记凸多面体Cn的棱长为an，则a6=．
20．（本小题满分16分）
已知α，β是方程x2－x－1=0的两个根，且α＜β．数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=β，
an+2=an+1+an，bn=an+1－αan(n∈N*).
（1）求b2－a2的值；
（2）证明：数列{bn}是等比数列；
（3）设c1=1，c2=-1，cn+2+cn+1=cn（n∈N*），证明：当n≥3时，an=(-1)n－1（αcn-2+βcn）．
南通市2012届高三第二次调研测试
数学I
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合 ， ，那么 ＝．
2．已知 （a∈R， 为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则
a=．
3．若抛物线 上的点 到焦点的距离为6，则p=．
4．已知函数 ．在区间 上随机取一 ，则使得 的概率为．
由于 与 重合， ，所以 ，即 ．…………………8分
（2）由（1），可知 ．
因为P4落在A、P0两点之间，所以 ，即 ．……………………10分
S=S四边形ABCD
．…………………………………………………………………………14分
由于 ，所以 ．
故S的最大值为 ．……………………………………………………………16分
所求椭圆方程为 ．…………………………………………………………4分
（2）设 ，则 ，
故 ， ．………………………………………………6分
①由题意，得 ．
化简，得 ，所以点 在以原点为圆心，2为半径的圆上．…………8分
②设 ，则 ．
将 ， ，代入上式整理，得
．…………………………………………………………10分
13．若函数 ，则函数 在（0，1）上不同的零点个数为．
14．已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为 的中点，点D、E分别在半径OA、OB上．若 ，则 的最大值是．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知函数 的最大值为2．
（1）求函数 在 上的单调递减区间；
（2）△ABC中， ，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°， ，求△ABC的面积．
16．（本小题满分14分）
如图，直三棱柱 中， 、 分别是棱 、 的中点，点 在棱 上，已知 ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）设点 在棱 上，当 为何值时，平面 平面 ？
22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6．击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．
（1）若射击4次，每次击中目标的概率为 且相互独立．设 表示目标被击中的次数，求 的分布列和数学期望 ；
19.解：（1）由 ，得 ．
由于 ， ，且等号不能同时取得，所以 ．
从而 恒成立， ．………………………………………4分
设 ．求导，得 ．………………6分
， ，
从而 ， 在 上为增函数．
所以 ，所以 ．…………………………………………………8分
（2） 设 为曲线 上的任意一点．
假设曲线 上存在一点 ，使∠POQ为钝角，
22.解：（1）依题意知 ， 的分布列
ξ
0
1
2
3
4
数学期望 = （或 = ）．
………………………………………………………………………………………………5分
（2）设 表示事件“第一次击中目标时,击中第 部分”， ，
表示事件“第二次击中目标时,击中第 部分”, ．
依题意，知 , ,
,…………………………………………………………7分
B.解：矩阵M的特征多项式为 ……………………3分
令 ，从而求得对应的一个特征向量分别为
．………………………………………………………………………5分
令 所以求得 ．………………………………………………7分
．…………………………………………………………10分
C.解： ，圆心 ，半径 ，
，圆心 ，半径 ．……………………………3分
（2）当BM=1时，平面 平面 ．
在直三棱柱 中，
由于 平面ABC，BB1 平面B1BCC1，所以平面B1BCC1 平面ABC．
由于AB=AC， 是 中点，所以 ．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，
所以AD 平面B1BCC1．
而CM 平面B1BCC1，于是AD CM．…………………………………………………9分
（3）比较 与 的大小，并说明理由．
1. 2.13.84. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11.[8，16]12. 2 13.3 14.
15.解：（1）由题意， 的最大值为 ，所以 ．………………2分
而 ，于是 ， ．………………………………………4分
为递减函数，则 满足 ，
即 ．……………………………………………………6分
B．选修4－2：矩阵与变换
（本小题满分10分）
已知 ，计算 ．
C．选修4－4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在极坐标系中，圆 的方程为 ，以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 的参数方程 （ 是参数），若圆 与圆 相切，求实数 的值．
D．选修4－5：不等式选讲
（本小题满分10分）
（2）若射击2次均击中目标， 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求事件 发生的概率．
23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知函数 ．
（1）若函数 在 处取极值，求 的值；
（2）如图，设直线 将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数 的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的 的取值范围；
所以(-1)n－1(αcn-2+βcn)=β2·βn－3=βn－1=an.…………………………………………16分
21.A证明：因AE=AC，AB为直径，
故∠OAC=∠OAE．…………………………………3分
所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．
又∠EAC=∠PDE，所以，∠PDE=∠POC．……………………………………………10分
．……………………………………………………………14分
16.解：（1）连接 交 于 ，连接 ．因为CE，AD为△ABC中线，
所以O为△ABC的重心， ．
从而OF//C1E．………………………………………………………………………………3分
OF 面ADF， 平面 ，
所以 平面 ．……………………………………………………………………6分
（1）若P4与P0重合，求 的值；
（2）若P4落在A、P0两点之间，且AP0=2．设 =t，将五边形P0P1P2P3P4的面积S表示为t的函数，并求S的最大值．
19．（本小题满分16分）
已知函数 ，a∈R．
（1）若对任意 ，都有 恒成立，求a的取值范围；
（2）设 若P是曲线y=F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y=F(x)上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在 轴上，求a的取值范围．
所以 在 上的单调递减区间为 ．…………………………………7分
（2）设△ABC的外接圆半径为 ，由题意，得 ．
化简 ，得
．………………………………………………………9分
由正弦定理，得 ， ．①
由余弦定理，得 ，即 ．②…………………11分
将①式代入②，得 ．
解得 ，或 （舍去）．…………………………………………………13分
5．若直线 的倾斜角为钝角，则实数 的取值范围是．
6．某市教师基本功大赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图
如图所示，则去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的
标准差为．（茎表示十位数字，叶表示个位数字）
7．若执行如图所示的程序框图，则输出的a的值为．
8．已知单位向量a，b的夹角为120°，那么 的最小值是．
下面我们只要证明：n≥3时，(-1)n－1（αcn-2+βcn）=βn－1．
因为=－=－=－
=－=－=β．
又c1=1，c2=-1，c3=2，则当n=3时，(-1)2(αc1+βc3)=(α+2β)=1+β=β2，
所以{(-1)n－1(αcn-2+βcn)}是以β2为首项，β为公比的等比数列．
(-1)n－1(αcn-2+βcn)是它的第n－2项，
数学Ⅱ附加题
21．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．
圆心距 ，………………………………………………………………………5分
两圆外切时， ；………………………………7分
两圆内切时， ．
综上， 或 ．………………………………………………………………10分
D.证明：因为x，y，z都是为正数，所以 ．………………………3分
同理，可得 ．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得 ．………10分
因为BM =CD=1，BC=CF=2，所以 ≌ ，所以CM DF．………11分
DF与AD相交，所以CM 平面 ．
CM 平面CAM，所以平面 平面 ．………………………………………13分
当BM=1时，平面 平面 ．…………………………………………………14分
17.解：（1）由 ，c=2，得a= ，b=2．
综上所述，a的取值范围是 ．………………………………………………16分
20.解：因为α，β是方程x2－x－1=0的两个根，所以α+β=1，α·β=-1，β2=β+1.
（1）由b2=a3－αa2=a1+a2－αa2=1+a2－αβ=2+a2，得b2－a2=2.……………………4分
（2）因为==
====β，……………………………8分
又b1=a2－αa1=β－α≠0，所以{bn}是首项为β－α，公比为β的等比数列．……10分
（3）由（2）可知an+1－αan=（β－α）βn－1．①
同理，an+1－βan=α（an－βan-1）．又a2－βa1=0，于是an+1－βan=0．②
由①②，得an=βn－1.…………………………………………………………………13分
17．（本小题满分14分）
已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 .
（1）若 ，求椭圆的方程；
（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点， 的中点为M， 的中点为N，若原点 在以线段 为直径的圆上．
①证明点A在定圆上；
②设直线AB的斜率为k，若 ，求 的取值范围．
18．（本小题满分16分）
如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一质点从AB边上的点 出发，沿与AB的夹角为的方向射到边BC上点 后，依次反射（入射角与反射角相等）到边CD，DA和AB上的 处．
则 ．…………………………………………………………………………10分
1若t≤-1， ， ， = ．
由于 恒成立， ．
当t=－1时， 恒成立．
当t<－1时， 恒成立．由于 ，所以a≤0.………12分
2若 ， ， ， ，
则 = ，
对 ， 恒成立．……………………………………………14分
③当t≥1时，同①可得a≤0．
因为 ，k2>0，所以 ， ．…………………………12分
所以 ．化简，得
解之，得 ， .
故离心率的取值范围是 .………………………………………………14分
(说明：不讨论 ，得 的扣2分)
18.解：（1）设 ，则 ， ．………………………2分
= ， ．…………………………4分
， ，
．…………………………………………………………………6分
所求的概率为
=
= ．
答：事件 的概率为0.28．……………………………………………………………10分
9．已知角 的终边经过点 ，函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，则 =．
10．各项均为正数的等比数列 满足 ，若函数 的导数为 ，则 ．
11．若动点P在直线l1： 上，动点Q在直线l2： 上，设线段PQ的中点为 ，且 ≤8，则 的取值范围是．
12．已知正方体C1的棱长为 ，以C1各个面的中心为顶点的凸多面体为C2，以C2各个面的中心为顶点的凸多面体为C3，以C3各个面的中心为顶点的凸多面体为C4，依次类推．记凸多面体Cn的棱长为an，则a6=．
20．（本小题满分16分）
已知α，β是方程x2－x－1=0的两个根，且α＜β．数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=β，
an+2=an+1+an，bn=an+1－αan(n∈N*).
（1）求b2－a2的值；
（2）证明：数列{bn}是等比数列；
（3）设c1=1，c2=-1，cn+2+cn+1=cn（n∈N*），证明：当n≥3时，an=(-1)n－1（αcn-2+βcn）．
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数学I
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合 ， ，那么 ＝．
2．已知 （a∈R， 为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则
a=．
3．若抛物线 上的点 到焦点的距离为6，则p=．
4．已知函数 ．在区间 上随机取一 ，则使得 的概率为．
由于 与 重合， ，所以 ，即 ．…………………8分
（2）由（1），可知 ．
因为P4落在A、P0两点之间，所以 ，即 ．……………………10分
S=S四边形ABCD
．…………………………………………………………………………14分
由于 ，所以 ．
故S的最大值为 ．……………………………………………………………16分
所求椭圆方程为 ．…………………………………………………………4分
（2）设 ，则 ，
故 ， ．………………………………………………6分
①由题意，得 ．
化简，得 ，所以点 在以原点为圆心，2为半径的圆上．…………8分
②设 ，则 ．
将 ， ，代入上式整理，得
．…………………………………………………………10分
13．若函数 ，则函数 在（0，1）上不同的零点个数为．
14．已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为 的中点，点D、E分别在半径OA、OB上．若 ，则 的最大值是．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知函数 的最大值为2．
（1）求函数 在 上的单调递减区间；
（2）△ABC中， ，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°， ，求△ABC的面积．
16．（本小题满分14分）
如图，直三棱柱 中， 、 分别是棱 、 的中点，点 在棱 上，已知 ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）设点 在棱 上，当 为何值时，平面 平面 ？