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知识点 2 切线的性质
知2－讲
性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 要点精析：性质定理的题设有两个条件：
①圆的切线； ②半径过切点，应用时缺一不可． 切线的性质： 温故：(1)切线和圆只有一个公共点； (2)圆心到切线的距离等于半径； (3)圆的切线垂直于过切点的半径．
知2－讲
知新：(推论) (4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用). (5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用).
则有：点P在圆外⇔ d>r，如图（a）所示；
点P在圆上⇔ d=r，如图（b）所示；
点P在圆内⇔ d<r，如图（c）所示．
知识点 1 直线和圆的位置关系
知1－导
1. 直线与圆的位置关系：
知1－讲
(1)相交： 如图(1)所示，如果直线与圆有两个公共点，这时直线与圆
的位置关系叫做相交，公共点叫做交点，这条直线叫做圆的割
当r=5 cm时，d<r， ⊙C与AB相交.
总结
知1－讲
如果画图后直线和圆的位置关系不明显，一般不选 用公共点个数来判断直线和圆的位置关系．应采用 比较圆心到直线的距离与半径大小的方法来确定它 们之间的位置关系；在没有给出d与r的具体数值的 情况下，可先利用图形条件及性质求出d与r的值， 再通过比较大小确定其位置关系．
1 如图与⊙O相切于点C，OA =OB， ⊙O的直径为 8 cm，AB =6 cm，求OA的长.
知2－练
32 (中考·无锡)如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于 点A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的 度数为( ) A．70° B．35° C．20° D．40°
知2－练
3 (中考·湖州)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆， ∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作⊙O的切线， 交AB的延长线于点D，则∠D的度数是( ) A．25° B．40° C．50° D．65°
2 标只能为2.将y＝2代入得：2＝
1
x2－1.解得：
2
x1＝ 6 ，x2＝－ 6 .
总结
知2－讲
解答这类题的关键是实现数与形之间的有机结合， 点在抛物线这个“形”上，则点的坐标必满足函数 表达式这个“数”，若相互转化，就能很好地解决 几何与代数的综合题．
知2－讲
例5 如图，已知△ABC内接于⊙O，弦AD交BC于E，过点 D的切线MN交直线AB于M，交直线AC于N，连接DB， CD. (1)求证：AE·DE＝BE·CE； (2)若MN∥BC，试探究BD 与CD之间的数量关系； (3)在(2)的条件下，已知AB＝6，AN＝15，求AD的 长．
些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午1时28分22.3.2113:28March 21, 2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022年3月21日星期一1时28分16秒13:28:1621 March
2022
谢谢观赏
知2－讲
导引：(1)利用已知条件证明△ABE∽△CDE，由相似三角
形的性质，即可证明AE·DE＝BE·CE；
(2)BD和CD之间的数量关系是BD＝CD，根据切线的
性质和平行线的性质证明 BD CD 即可；
(3)利用已知条件证明△ADB∽△AND，进而可得出
AB AD
AD AN
，由AB＝6，AN＝15，即可求出
知2－练
4 (中考·泸州)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A， B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( ) A．65° B．130° C．50° D．100°
本节应掌握： 1.直线与圆的位置关系3种：相离、相切和相交。 2.识别直线与圆的位置关系的方法：
(1)一种是根据定义进行识别： 直线L与⊙O没有公共点 ⇔直线L与⊙O相离。 直线L与⊙O只有一个公共点⇔直线L与⊙O相切。 直线L与⊙O有两个公共点⇔直线L与⊙O相交。
∠ACB＝90°，
∴AB＝ AC 2 BC 2 32 42 5(cm).
又∵S△ABC＝
1 AB CD 1 AC
2
2
BC ,
∴CD＝2.4 cm.
∴r≥2.4 cm.
知1－讲
总结
知1－讲
(1)直线和圆的位置关系的应用过程实质是数形结合思 想的应用，它始终是“数”(圆心到直线的距离与圆 的半径大小)与“形”(直线和圆的位置关系)之间的 相互转化．
①两个公共点⇔直线和圆相交；
②一个公共点⇔直线和圆相切；
③无公共点⇔直线和圆相离．
(2)如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：
①d＜r⇔直线 l 和⊙O相交；
②d＝r⇔直线 l 和⊙O相切；
③d＞r⇔直线 l 和⊙O相离．
说明：这两种方法各具特点：第一种方法直观明了，但
直线和圆相切，有时仅凭观察是不准确的；第二种方法
准确但不直观．
知1－讲
例1 如图 , Rt△ABC 的斜边 AB= 10 cm，∠A =30°. (1)以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与⊙C 相切？ (2)以点C为圆心、半径r分别为4 cm和5 cm作两个圆， 这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？
解: (1)过点C作边AB上的高CD.
(2)圆心到直线的距离通常用勾股定理与等面积法求 出．
知1－练
1 ⊙O的圆心到直线l的距离为5 cm，直线l与⊙O有唯 一公共点，问⊙O的半径r是多少厘米？
2 在△ABC中，∠C=90°，a =3, b=4,以点C为圆心，下
列r为半径的圆与AB有怎样的位置关系，为什么？
(1). 8.
知1－练
3 (中考·湘西州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm， AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆， 则⊙C与直线AB的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
4 (中考·嘉兴)如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3， AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径 为( ) A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6
知1－练
5 (中考·无锡)如图，在△AOB中，∠O＝90°，AO＝8 cm，BO＝6 cm，点C从点A出发，在边AO上以2 cm/s的速度向点O运动，与此同时，点D从点B出发， 在边BO上以1.5 cm/s的速度向点O运动，过OC的中 点E作CD的垂线EF，则当点C运动了________s时， 以点C为圆心，1.5 cm为半径的圆与直线EF相切．
线．
(2)相切：如图(2)所示，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与
圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫
做切点.
(3)相离：如图(3)所示，如果直线与圆没有公共点，这时直线与圆的
位置关系叫做相离．
2. 直线和圆的位置关系的性质及判定：
知1－讲
(1)直线和圆的公共点个数与位置间的关系：
证明：如图，连接OC，OD. ∵PD为⊙O的切线， 且C为半圆ACB的中点， ∴OD⊥PD，OC⊥AB. ∴∠PDE＝∠PDO－∠ODE ＝90°－∠ODE， ∠PED＝∠CEO＝90°－∠C. 又∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODE， ∴∠PDE＝∠PED. ∴PD＝PE.
知2－讲
总结
知2－讲
当图形中有切线和切点时，通常连接经过切点的半 径，则这条半径必与切线垂直；而有弧的中点的条 件时，也要连半径，本题中的作辅助线的方法适用 于同类条件的图形作辅助线．
(3)解：∵BC∥MN，∴∠4＝∠ANM.
又∵∠4＝∠ADB，∴∠ADB＝∠AND.
由(2)知 BD CD ，
∴∠1＝∠2.∴△ADB∽△AND.
∴
AB AD AD AN
，即
6 AD , AD 3 AD 15
10 .
总结
知2－讲
等积式通常可以转化为比例式，常通过相似 三角形的性质得出．
知2－练
You made my day!
我们，还在路上……
AD＝3 10.
(1)证明：∵∠ABC＝∠ADC，∠1＝∠3， ∴△ABE∽△CDE, ∴ AE BE，
AE DE
∴AE·DE＝BE·CE.
(2)解：连接OD，如图， ∵MN切⊙O于点D， ∴OD⊥MN， ∵MN∥BC，∴OD⊥BC， ∴在⊙O中，BD CD ，∴BD＝CD.
知2－讲
知2－讲
知2－讲
例4 如图所示，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线 y＝1 x2－1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P 2 的坐标为_(__6_,_2_)_或__(___6_,_2_)_．
知2－讲
导引：当⊙P与x轴相切时，由⊙P的半径为2，且圆的切
线垂直于过切点的半径，可得P点纵坐标为2或－2；
又点P在抛物线y＝ 1x2－1上运动，因此P点的纵坐
知1－讲
例2 在Rt△ABC中，AC＝3 cm，BC＝4 cm，∠ACB＝ 90°.若以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相 离，求r的取值范围． 导引： ⊙C与直线AB不相离， 即⊙C与直线AB相交或相 切，因此只需点C到直线 AB的距离小于或等于r.
解: 如图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，AC＝3 cm，BC＝4 cm，
以上(3)(4)(5)可归纳为：已知直线满足： (1)过圆心； (2)过切点； (3)垂直于切线中的任意两个，就可得到第三个．
知2－讲
例3 如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C 为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于 点E. 求证：PD＝PE.
导引：要证PD＝PE，需证∠PDE ＝∠PED，而题目缺少直 接证明这两个角相等的条件，因此需证其余角相等， 所以要构造出它们的余角的基本图形，需作出相应的 辅助线．
(2)另一种是根据圆心到直线的距离d与圆半径r比较来 进行识别： d>r ⇔直线L与⊙O相离； d=r ⇔直线L与⊙O相切； d<r ⇔直线L与⊙O相交。
3.圆的切线垂直于过切点的半径. 已知直线满足：(1)过圆心；(2)过切点； (3)垂直于直线任意两个，就可得到第三个。
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月21日星期一下午1时28分16秒13:28:1622.3.21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那
知1－讲
∵ ∠A =30°, AB =10 cm,
∴BC= 1 AB 1 10 5(cm).
2
2
在Rt △BCD中 ，有
C当D半=B径C为sinB5=53sicnm60时°=，A52B与3(⊙cmC)相. 切.
2 (2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d=
5
3 cm .
2
当r=4 cm时，d>r， ⊙C与AB相离；
第24章 圆
24.4 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关 系及切线的性质
1 课堂讲解 直线和圆的位置关系
切线的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的 半径为r，点P到圆心的距离OP=d，
O dr
P (a)
r O
dP
(b)
r O d
P (c)