矩阵论简明教程习题答案

1 , 0) T , 5 2 4 5 T , , e 3 =( ) . 令 3 5 3 5 3 5 1 2 2 5 3 5 3 10 1 4 2 1 U= , 则 U AU = 1 . 3 5 3 5 1 5 2 0 3 3 5
1 p1 = 4 , 0
1 p 2 = 0 4
=－1 所对应的方程组 (I+A)x=0 有解向量 1 p 3 = 0 0
令
7．
3 0 1 1 1 0 1 1 P=(p 1 , p 2, p 3 )= 4 0 0 , 则 P = 4 1 4 . 于是有 12 0 4 1 16 4 4 2100 4 2100 2100 1 2100 1 1 2100 0 3 2100 0 A 100 =P P 1 = . 3 100 100 100 1 2 1 4 2 1 4 4 2 2 (1) I A = ( 1) =D 3 ( ), I－A 有 2 阶子式
1 3 2 3 2 T ) . 3
2 1 2 2 1 2 4 ～ 0 0 0 2 4 2 4 4 0 0 0
当 =1 时, 对应的齐次线性方程组 (I－A)x=0 的系数矩阵
由此求出特征向量 p 2 =(－2, 1, 0) T , p 3 =(2, 0, 1) T . 单位化后得
是
d1 1, d 2 1,
d 3 ( 1)( 2)
1 A～J= 1 2
因为 A 可对角化，可分别求出特征值－1，2 所对应的三个线性无关 的特征向量： 当 =－1 时，解方程组 ( I A) x 0, 求得两个线性无关的特征向量
1 2 6 1 (4) 因 I A 1 3 ～ 1 , 故 1 ( 1) 2 1 4 1 A～J= 1 1 0 1 设变换矩阵为 P= ( p1 , p2 , p3 ) , 则 Ap1 p1 Ap 2 p2 Ap p p 2 3 3
4
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则有
1 0 0 .其中 P= 2 1 0 . 4 2 1 dy Jy , 则 令 x=Py, 将原方程组改写成 : dt dy1 dt y1 dy 2 y1 y 2 dt dy 3 y 3 dt
作带余除法得 f ( )=( 25 43 52 9 14 ), m A ( ) = 242 37 10 , 于是
48 26 3 f (A)= 24 A 2 37 A 10 I = 0 95 61 . 0 61 34 2 9. A 的最小多项式为 m A ( ) 6 7 , 设 f
O A O P O B O = Q 1 O C O Q O D 3. 设 x i 是对应于特征值 i 的特征向量, 则 A x i = i x i , 用 A 1 左乘得 P 1 A O T = O O C
1 1 0 A～J= 0 1 0 0 0 2
设变换矩阵为 P=( p1 , p2 , p3 ), 则
2
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8 Ap1 p1 3 0 5 Ap2 p1 p2 P= 3 1 Ap 2 p 2 0 5 3 3 2 (3) D3 ( ) I A ( 1) ( 2), D2 ( ) 1, D1 ( ) 1 .A 的不变因子
. 2
13. 若 A 是 Hermit 正定矩阵,则由定理 1.24 可知存在 n 阶酉矩阵 U, 使 得
1 H U AU=
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习
题 一
1. 设 为的任一特征值,则因 2 2 为 A 2 2 A O 的特征值, 故 2 2 0 . 即 =0 或 2. 2. A～B, C～D 时, 分别存在可逆矩阵 P 和 Q, 使得 P 1 AP=B, Q 1 CQ=D.令 T= 则 T 是可逆矩阵,且
P O O Q
T 1
x i i A 1 x i . 即
A 1 x i
1 i
xi
故 i 1 是 A 的特征值, i=1,2, , n. 4. (1) 可以. E A = ( 1)( 1)( 2) ,
4 1 2 1 1 1 P 3 0 0 , P AP . 4 0 1 2
为求滿足方程 ( I A) p3 p2 的解向量 p3 , 再取 p2 p, 根据
s 2 2 6 s 3t 1 1 3 1 1 3 s ～ 0 0 0 3s 3t 1 1 3 t 0 0 0 st T 由此可得 s=t, 从而向量 p3 ( x1 , x2 , x3 ) 的坐标应満足方程
将 =1, 2 代入上式求得 A=0.
1 0 1 (2) P = 0 1 0 . 1 0 1 2 6. I A = ( 2) ( 1) , A 有特征值 2, 2, －1.
=2 所对应的方程组 (2I－A)x=0 有解向量
1
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1
1 1 0 J=PAP = 0 1 0 , 0 0 1
解此方程组得: y 1 =C 1 e t +C 2 Te t , y 2 =C 2 e t , y 3 =C 3 e t . 于是
c1e t c2te t t t x=Py= 2c1e c2 ( 2t 1 )e . t t t 4c1e c2 ( 4t 2 )e c3e A 是实对称矩阵. I A = ( 10)( 1) 2 ,A 有特征值 10, 1, 1.
Ap1 p1 Ap 2 0 Ap p 2 3
解出
1 1 1 P= 1 3 2 ; 1 4 2
(2) 因为 D3 ( ) ( 1) 2 ( 2), D2 ( ) D1 ( ) 1 ，故
1 1 = －4 21 17
－4 不是 D 3 ( )的因子, －1, 2 . A 的
所以 D 2 ( )=D 1 ( )=1, A 的初等因子为
Jordan 标准形为
J
1 0 0 = 0 0 1 0 0 0
设 A 的相似变换矩阵为 P=(p 1 ,p 2 ,p 3 ), 则由 AP=PJ 得
8 2 2 2 0 1 5 4 ～ 0 1 1 2 2 4 5 0 0 0
12.
(1)
当 =10 时. 对应的齐次线性方程组 (10I－A)x=0 的系数矩阵
由此求出特征向量 p 1 =(－1, －2, 2) T , 单位化后得 e 1 = ( , A 是 Hermit 矩阵. 同理可求出相似变换矩阵
5
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U=
0 i 2 1 2
1 2 i 2 1 2

1 2 0 i 1 , U AU= 2 1 2
2
[f (A)] 1 =
2) ( 1)( 1) ; (3) 2 . 11. 将方程组写成矩阵形式:
dx1 d x1 x1 1 1 0 dt 1 1 0 x1 dt dx 2 4 3 0 x , x x , d x d x2 , A= 4 3 0 2 2 dt dt dt dx3 8 8 1 x3 d x3 x3 8 8 1 dt dt
1 p1 0 , 1 2 p 2 1 0 1 2 2 P= 0 1 1 1 0 1
当 =2 时，解方程组 (2 I A) x 0, 得
2 p3 1 , 1
p1 , p2 是线性方程组 ( I A) x 0 的解向量，此方程仴的一般解形为
s 3t p= s t
取
3
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1 p1 1 , 0
3 p2 0 1
( )= 24 123 192 29 37 ,则 f ( )= (22 5)m A ( ) + 2 . 于是 [f (A)] 1 = ( A 2 I ) 1 .由此求出
1 7 1 23 2 3 0 0 1 2 6 1 10. (1) I－A= 1 3 标准形 0 1 0 , A 的最小多项 1 0 0 ( 1) 2 1 4 2 式为 ( 1) ;
x1 x2 3x3 s
取 p3 ( 1, 0, 0) , 最后得
T
1 3 1 P= 1 0 0 0 1 0 8 5 4 2 8. 设 f ( )= 2 3 4 . A 的最小多项式为 m A ( ) 3 2 1 ,
(2) 不可以.
0 1 0 2 1 (3) P 1 0 1 , P AP 2 . 0 1 1 1 5. (1) A 的特征值是 0, 1, 2. 故 A =－(b－a) 2 =0. 从而 b=a.又 1 I A a 1 a 1 a 1 a = (2 3 2a 2 2) 1