2021年高二数学上学期9月月考试卷 理(含解析)

2021年高二数学上学期9月月考试卷理（含解析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（） A． B． C． D． 4
3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（） A． B． C． D．
4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（）
A． B． C． D．
5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）
A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x
6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）
A． B． C． D．
7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）
A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）
8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）
A． B． C． D．
9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）
A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=2
10．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）
A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]
11．过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P．若，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
12．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）
A． 9 B． 16 C． 18 D． 27
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.
13．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是．
14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．
15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于．
16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为．
三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．
18．求下列各曲线的标准方程．
（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．
（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．
19．已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
20．已知p：|x﹣2|≤3，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
21．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．
（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．
（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．
22．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；
（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
xx学年吉林省松原市扶余一中高二（上）9月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据充分必要条件的定义进行判断．
解答：解：∵x=2⇒（x﹣2）（x﹣1）=0，
（x﹣2）（x﹣1）=0推不出x=2，
∴x=2是（x﹣2）（x﹣1）=0的充分不必要条件，
故选：A．
点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．
2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（）
A． B． C． D． 4
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据椭圆的方程求解，a，b，c的值，即可得到答案．
解答：解：∵椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，
∴椭圆x2+=1的焦点在y轴上，
＞1，2a=2， 2b=2，2c=2，
∵焦距是短轴长的两倍，
∴2=4，m=，
故选：A
点评：本题综合考查了椭圆的几何性质，计算较容易．
3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）
A． B． C． D．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题．
分析：由题意可得 cos60°==，从而得到椭圆的离心率的值．
解答：解：由题意可得 cos60°==，
∴椭圆的离心率是 =，
故选 B．
点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到 cos60°=，是解题的关键．
4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（） A． B． C． D．
考点：伸缩变换；椭圆的标准方程．
专题：计算题．
分析：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上．代入圆方程即可求得x和y的关系式，即曲线的方程．
解答：解：在曲线C上任取一个动点P（x，y），
根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上，
∴x2+9y2=4，
即
则所得曲线为．
故选C．
点评：本题主要考查变换法求解曲线的方程，理解变换前后坐标的变化是关键考查了学生分析问题的能力及数学化归思想．
5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）
A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x
考点：抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据双曲线方程，算出它的右顶点为F（2，0），也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=4，从而得出该抛物线的标准方程．
解答：解：∵双曲线的方程为﹣=1，
∴a2=4，得a=2，
∴抛物线的焦点为F（2，0），
设抛物线方程为y2=2px，（p＞0），则=2，得2p=8
∴抛物线方程是y2=8x．
故选：C．
点评：本题给出抛物线焦点与已知双曲线的右焦点重合，求抛物线的标准方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）
A． B． C． D．
考点：曲线与方程．
专题：作图题；分类讨论．
分析：当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y 轴上的椭圆，
当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线．解答：解：方程mx+ny2=0 即 y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．
当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．
当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选 A．
点评：本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状，体现了分类头论的数学思想，分类讨论是解题的关键．
7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）
A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）
考点：复合命题的真假．
专题：规律型．
分析：分别判断命题p，q的真假，利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断即可．
解答：解：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0，∴p为真命题．
当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但不成立，∴q为假命题．
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，￢p为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，
故选：B．
点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先判断简单命题p，q的真假是解决本题的关键．
8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）
A． B． C． D．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用 =2，得到a与c的关系，从而求出离心率．
解答：解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），
∵=2，
∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．
∴a=2c，
∴e==，
故选 D．
点评：本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想．
9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）
A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=2
考点：椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．
专题：计算题．
分析：根据椭圆方程求得其长轴的端点坐标和离心率，进而可得双曲线的顶点和离心率，求得双曲线的实半轴和虚半轴的长，进而可得双曲线的方程．
解答：解：由题意设双曲线方程为，离心率为e
椭圆长轴的端点是（0，），所以a=．
∵椭圆的离心率为
∴双曲线的离心率e=，⇒c=2，
∴b=，
则双曲线的方程是y2﹣x2=2．
故选D．
点评：本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质．
10．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）
A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]
考点：复合命题的真假．
专题：规律型．
分析：先求出命题p，q为真命题的等价条件，利用p且q为假命题，即可求实数m的取值范围．
解答：解：若存在实数m使m+1≤0，则m≤﹣1，∴p：m≤﹣1．
若对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，
则对应的判别式△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，即q：﹣2＜m＜2，
∴p且q为真时，有，即﹣2＜m≤﹣1．
∴若p且q为假命题，
则m＞﹣1或m≤﹣2，
即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）．
故选：C．
点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先求出p且q为真时的等价条件是解决本题的关键．
11．过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P．若，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：综合题．
分析：先设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0），因为抛物线为y2=4cx，所以F'为抛物线的焦点，O为FF'的中点，又可得E为FP的中点，所以OE为△PFF'的中位线，得到|PF|=2b，再设P（x，y）过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．
解答：解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）
∵抛物线为y2=4cx，
∴F'为抛物线的焦点，O为FF'的中点，
∵
∴E为FP的中点
∴OE为△PFF'的中位线，
∵O为FF'的中点
∴OE∥PF'
∵|OE|=a
∴|PF'|=2a
∵PF切圆O于E
∴OE⊥PF
∴PF'⊥PF，
∵|FF'|=2c
∴|PF|=2b
设P（x，y），则x+c=2a，∴x=2a﹣c
过点F作x轴的垂线，则点P到该垂线的距离为2a
由勾股定理 y2+4a2=4b2∴4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）
∴e2﹣e﹣1=0
∵e＞1
∴e=．
故选B．
点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
12．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）
A． 9 B． 16 C． 18 D． 27
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题．
分析：首先设右焦点为F′，由点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称以及双曲线的对称性得出|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，然后根据双曲线的定义得出|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，进而求出结果．
解答：解：设右焦点为F′，
∵双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称
∴P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称
∴|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，
∵|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|=（|F′P6|﹣|P6F|）+（|F′P5|﹣|P5F|）+（|F′P4|﹣|P4F|）=18
故选C．
点评：本题考查了双曲线的性质，灵活运用双曲线的定义，正确运用对称性是解题的关键，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.
13．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
考点：特称命题．
专题：函数的性质及应用；简易逻辑．
分析：若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．
解答：解：若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，
则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，
故△=a2﹣4＞0，
解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
点评：本题考查的知识点是特称命题，存在性问题，其中将问题转化为函数图象与x轴交点个数，是解答的关键．
14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：联立方程组，转化为二次方程，借助韦达定理，求出中点坐标，再利用斜率得到等式，即可求出答案．
解答：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），中点（x，y），
椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点
化简可得：（1+n）x2﹣2nx﹣n﹣1=0
所以x1+x2=，x=，y=，
因为过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，
所以=，即n=，
故答案为：
点评：本题综合考查了直线与圆锥曲线位置关系，二次方程的系数的运用．
15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于8 ．
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据抛物线方程得它的准线为l：x=﹣1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4．过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出
|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长．
解答：解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1
设线段AB的中点为M（3，y0），则M到准线的距离为：|MN|=3﹣（﹣1）=4，
过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D
根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8
再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|
∴|AB|=|AF|+|BF||AC|+|BD|=8．
故答案为：8
点评：本题给出过抛物线y2=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为或．
考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．
解答：解：∵2，m，8构成一个等比数列，
∴m=±4．
当m=4时，圆锥曲线+=1是椭圆，它的离心率是；
当m=﹣4时，圆锥曲线+=1是双曲线，它的离心率是．
故答案为：或．
点评：本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．
三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：把方程化简为：，求出a，b，c 再根据几何性质写出答案．
解答：解：∵双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81，
∴双曲线标准方程为：，
实轴长：18，虚轴长为6，
a=9，b=3，c=3，
焦点坐标（0，±3），离心率：e=，渐近线方程为：y=±3x．
点评：本题主要考察了双曲线的方程，几何性质，属于比较简单的计算题．
18．求下列各曲线的标准方程．
（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．
（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．
考点：椭圆的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），设焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），因为椭圆经过点P（，﹣），利用椭圆的定义可得
2a=|PF1|+|PF2|，再利用b2=a2﹣c2即可得出．
（2）抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．根据焦点到准线的距离为6，可得p=6，即可得到抛物线的标准方程．
解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），
∵椭圆经过点（，﹣）．
∴．
∴．
∵c=2，∴b2=a2﹣c2=10﹣4=6．
所求椭圆的标准方程为．
（2）∵抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．
∵焦点到准线的距离为6，∴p=6．
∴抛物线的标准方程为y2=±12x．
点评：本题考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，属于基础题．
19．已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
考点：复合命题的真假．
专题：计算题；规律型．
分析：根据指数函数的图象和性质可求出命题p为真命题时，c的取值范围，根据对勾函数的图象和性质，结合函数恒成立问题的解答思路，可求出命题q为真命题时，c的取值范围，进而根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，可知p与q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案．
解答：解：∵若命题p：函数y=c x为减函数为真命题
则0＜c＜1
当x∈[，2]时，函数f（x）=x+≥2，（当且仅当x=1时取等）
若命题q为真命题，则＜2，结合c＞0可得c＞
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，故p与q一真一假；
当p真q假时，0＜c≤
当p假q真时，c≥1
故c的范围为（0，]∪[1，+∞）
点评：本题主要考查复合命题与简单命题的真假关系的应用，要求熟练掌握．
20．已知p：|x﹣2|≤3，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：分别设出A，B，由￢p是￢q的必要不充分条件，得出不等式组，解出即可．
解答：解：由命题P可知：﹣1≤x≤5，
设A={x|﹣1≤x≤5}，
因为命题q可知：1﹣m≤x≤m+1，
设B={x|1﹣m≤x≤m+1}，
∵￢p是￢q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件，
∴A⊊B，
∴，解得：m≥4，
∴m的范围是：[4，+∞）．
点评：本题考查了充分必要条件，四种命题的关系，是一道基础题．
21．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．
（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．
（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．
考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）由题意可得点Q满足双曲线的定义，且求得a，c的值，再由b2=c2﹣a2求得b，则点Q的轨迹E的方程可求；
（Ⅱ）由题意得到直线AB的方程，和双曲线方程联立后利用弦长公式得答案．
解答：解：（Ⅰ）由点Q是线段AP垂直平分线上的点，
∴|AQ|=|PQ|，
又∵，
满足双曲线的定义．
设E的方程为，
则，
，
则轨迹E方程为；
（Ⅱ）直线AB的倾斜角为30°，且直线过C（3，0），
∴直线AB的方程为，
由，消去y得5x2+6x﹣27=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴有，．
则|AB|=．
点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常用根与系数的关系解决，是压轴题．
22．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；
（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
考点：椭圆的应用．
专题：计算题；压轴题．
分析：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程，根据四边形ABCD为菱形，判断出AC⊥BD．于是可设出直线AC的方程与椭圆的方程联立，根据判别式大于0求得n的范围，设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，代入直线方程可表示出y1+y2，进而可得AC中点的坐标，把中点代入直线y=x+1求得n，进而可得直线AC的方程．（Ⅱ）根据四边形ABCD为菱形判断出∠ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|．进而可得菱形ABCD 的面积根据n的范围确定面积的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．
于是可设直线AC的方程为y=﹣x+n．
由得4x2﹣6nx+3n2﹣4=0．
因为A，C在椭圆上，
所以△=﹣12n2+64＞0，解得．
设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则，，y1=﹣x1+n，y2=﹣x2+n．
所以．
所以AC的中点坐标为．
由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y=x+1上，
所以，解得n=﹣2．
所以直线AC的方程为y=﹣x﹣2，即x+y+2=0．
（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，
所以|AB|=|BC|=|CA|．
所以菱形ABCD的面积．
由（Ⅰ）可得，
所以．
所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值．
点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线方程和最值解析几何的综合题，在高考中的“综合程度”往往比较高，注意复习时与之匹配
33411 8283 芃34219 85AB 薫40193 9D01 鴁yM g32071 7D47 絇37514 928A 銊25096 6208 戈28946 7112 焒521440 53C0 叀<]。