圆的极坐标方程

圆的极坐标方程
1 .曲线的极坐标方程
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程
f（ p , e ） = 0,并且坐标适合方程f（ p , e ）=0的点都在曲线C上，那么方程f（ p , e） =0叫做曲线C的极坐标方程.
2 .圆的极坐标方程
（1）特殊情形如下表
（2）一般情形：设圆心q P0, 0 0）,半径为r, M P, 0）为圆上任意一点，则|CM=r, / coivt | e —e 0|,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为p2— 2 p 0 p cos（ e - e 0） + p2- r2 = 0,
1.极坐标方程
P =4表示的曲线是（）
化简整理得x —平+ y —平=1,表示圆•选D. 4.极坐标方程
p =2cos 0表示的曲线所围成的面积为
解析：由p=2cos 0 =2X1 x cos 0知，曲线表示圆，且圆的半径 所以面积8=兀 答案：Tt
圆的极坐标方程
A.过（4, 0）点，且垂直于极轴的直线 B .过（2, 0）点，且垂直于极轴的直线
C.以（4, 0）为圆心，半径为 4的圆 D
解析：选D.由极坐标方程的定义可知，极坐标方程
.以极点为圆心，半径为 4的圆 p =4表不以极点为圆心，以 4为
半径的圆.
2.圆心在（1 , 0）且过极点的圆的极坐标
（）
A. p = 1 B p = cos 0 C . p = 2cos 0 D . p = 2sin 0
解析：选C.经过极点O 且半径为 a 的圆的极坐标方程为
=2acos e ,因圆心在（1 ,
0）,所以半径为1,
所以极坐标方程为
p =2cos 0 ,故选 C.
3.极坐标方程
兀 =cos —
4 表示的曲线是（）
A.双曲线
・椭圆
解析: 选D. P =cos
兀
T-e 71 71
=cos —cos 0 + sin —sin
e+*si 『e,
所以
p cos
e +斗
即X 2
+ y 2=¥x+2122y.
例fl 求圆心在
C2, 3
— 处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点
5兀
—2, sin — 6
是否在这个圆上.
［解］如图，由题意知, 圆经过极点 O OA 为其一条直径，设 M P , 0）为圆上除点 O
A 以外的任意一点，则|OA = 2r,连接AM 则OML MA
, , 一
3 兀
在 Rt^OA 汕,10M= | OA cos / AOM 即 p=2r cos-20
所以p = —4sin 0 ,经验证，点 0（0 , 0） , A 4, 2^-的坐标满足上式. 所以满足条件的圆的极坐标方程为 p = - 4sin 9 .
所以 p = - 4sin 9 = - 4sin -6-= — 2, 5兀
所以点 一2, sin --在此圆上.
6
求曲线的极坐标方程的五个步骤
（1）建立适当的极坐标系（本题无需建）；（2）在曲线上任取一点 M P , e ） ； （3）根据曲 线上的点所满足的条件写出
等式；（4）用极坐标（p , e ）表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程； （5）证明所
得的方程是曲线的极坐标方程.
（一般只要对特殊点加以检验即可
）.
[注意]求曲线的极坐标方程，关键要找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标 表本. 凶JR 踪训练求圆心在C 版 彳，半径为1的圆的极坐标方程.
解：设圆C 上任意一点的极坐标为 MP , 8）,如图，在^ OCMK 由余弦定理，得 |OM 2+| OC 2—2| OM • | OC - cosZ COM | CM 2,
即 p 2 - 2\[2 p cos 9 — 4 +1=0. 当O, C, M 三点共线时，
点M 的极坐标 后 1, A 也适合上式， 所以圆的极坐标方程为 p 2- 2\[2 p cos 0 - ~ +1=0.
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 EE ）进行直角坐标方程与极
坐标方程的互化：
因为sin
5兀 1
⑴ y 2=4x ；
(2)
x 2+y 2—2x —1 = 0;
(3)
［解］(1)将 x= p cos 0 , y= p sin 0 代入 y 2= 4x, 得(P sin 8 )
2
=
4 p cos 9 .
化简，得 p sin 2 0 = 4cos 0 .
(2)将 x= p cos 0 , y= p sin 0 代入 y 2 +x 2— 2x- 1= 0, 得(p sin 0)2+( p
cos 0 )2 — 2 pcos 0 —1 = 0,
2
-
化间，得 p — 2 p cos 8—1 = 0.
一、，
1
⑶因为P =2^TT' 所以 2 p — p cos 9=1. 所以 242 + y 2 — x= 1. 化简，得 3x 2 + 4y 2-2x- 1 = 0.
在进行两种坐标方程间的互化时应注意的问题
(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标 系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同.
(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在 0W e <2兀范围内
求值.
(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简.
(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常要用 p 去乘方程的 两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形.
Q JR 踪训练1.把下列直角坐标方程化为极坐标方程. 1 1) y=*x ； (2) x 2-y 2= 1.
解：(1)将 x= p cos 0 , y= p sin 0 代入 y =>/3x 得 p sin 8 =43 p cos 0 ,从而
(2)将 x= p cos 0 , y= p sin e 代入 x 2-y 2= 1, 得 p 2cos 2 0 — p 2sin 2 0 = 1, 2 .把下列极坐标方程化为直角坐标方程.
(1) p 2cos 2 0=1;
一
一 八 兀
(2) p = 2cos 0 --.
1
P = « ---- r
2— cos 0
化简，得 2
1
「 cos 2 9 .
解：(1)因为 p 2cos 2 0=1, 所以 p 2cos 2 0 - p 2sin 2 0 = 1. 所以化为直角坐标方程为
x 2- y 2= 1.
一. 兀 兀 L - — .
2
1—
(2)因为 p =2cos 0 cos — + 2sin 0 sin — = ^cos 0 +^2sin 0 ,所以 p =" p cos 8 +，2 p sin 0 .
所以化为直角坐标方程为
x 2+y 2—，2x —J 2y = 0.
求相关动点的极坐标方程
例3)从极点O 作圆C ： p =2a cos 0的任意一条弦 ON 求各弦的中点 M 的极坐标方 程. ［解］法一：如图所示，圆 C 的圆心qa, 0),半径r = |OC = a,
因为M 为弦ON 的中点，连接 CM 所以CML ON 故M 在以。

的直径的圆上， 所以动点M 的极坐标方程是 p = acos 9 .
法二：设 M P , 0 ) , N P 1, 8 1) .
N 点在圆 p = 2acos 0上， p 1 = 2acos 0 1.① M 是ON 勺中点， P 1 = 2 p , 9 1= 9 .
将它代入①式得 2 p = 2acos 0 ,故M 的极坐标方程是 p = acos 0 .
将本例中所求得的中点 M 的极坐标方程化为直角坐标方程.
2
解：因为 p = acos 0 ,所以 p = a - p cos 0 , 所以 x 2+ y 2= ax,
所以中点 M 的直角坐标方程为 x 2+y 2—ax=0.
本例所涉及的问题有相关的两个动点，其中一个动点的轨迹方程已知，求另一个动点 的轨迹方程.求解时找出等量关系，代入化简即可.
踪训练 从极点O 弓I 定圆p =2cos 0的弦OP 延长OP 到Q 使祟|,求点Q 的
PQ 3
极坐标方程，并说明所求的轨迹是什么图形?
=2,所以P 0=|p ,因为 p — p 0
3
5
因为 所以 因为 所以
解：设 Q p , 9 ) , P( p 0, 8 0),贝U
8=80,
= 2cos 8 0.所以：p = 2cos 8 , 即p = 5cos 5
它表不一■个圆.
1 .曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一",即（p, 8）,（P,2TI+8）,（—P,兀+ e）,（—
p ,—兀+ e）都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可. 例
,,.,一，，、一一. 兀兀... .... . 兀兀，、兀兀，、如对于极坐标方程p = 8 ,点M —,—可以表不为—,—+ 2 %或—,—■—2 % 或
—1, 等多种形式，其中，只有—,—的极坐标满足方程p = 0 .
2 .曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互相转化
与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半
轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内的曲线（含直线）的极坐标方程
与直角坐标方程也可以进行互相转化.
3 .求曲线的极坐标方程
求解步骤与直角坐标系中求曲线方程的步骤基本相同.较简单曲线的极坐标方程可直接求，较复杂曲线的极坐标方程可以先求直角坐标方程，然后再转化.
4 .极坐标方程表示的曲线形状的判断方法
极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出，通常是先转化为直角坐标方程后再分析形状.
1 .极坐标方程p = 1表木（）
A.直线 B .射线
C.圆 D .半圆
解析：选C.因为p=1,所以p2=i,所以x?+y2=l.所以表示圆.
2 .极坐标方程p =asin 0 （a>0）所表示的曲线的图形是（）
设M P , 0）是圆上任意一点，则/ ONMZ MOx= 0 ,在RtA NMCO3, |OM=|ONs in Z ONM
即p = 2r sin 9 = a sin 9 .
3 .把圆C的极坐标方程p=2cos 0转化为直角坐标方程为直角坐标为.
解析：因为p = 2cos 0 ,所以p 2=2 p cos 8 ,将p2=x2 + y2, x= p cos 直角坐标方程为x2+y2=2x,其圆心坐标为(1 , 0).
答案：x2+y2=2x (1 , 0)
4 .写出圆心在(1 , - 1)处，且过原点的圆的极坐标方程.
解：圆的半径为r=@圆的直角坐标方程为(x—1)2+(y+1)2= 2.
变形得x2+y2=2(x-y),
用坐标互化公式得p 2=2( p cos 0 - p sin 0 ),
即p = 2cos 0 — 2sin 0 .
[A基础达标]
(也，兀)且过极点的圆的方程为()
B . p = — 2\/2cos 0
D . p =- 272sin 0
解析：选B.如图所示，P(^2,兀)，在圆上任找一点M( P , 8 ),,圆心的0代入得
1 .在极坐标系中，圆心在
A. p = 2A/2cos 0
C. p = 2^/2sin 0
延长OP 与圆交于点Q 则/OMQ 90 ,在 RtA OM （J, 10M=| OQ - cos/QOM
所以 p = 2，2cos （兀- 9 ）, 即 P = — 2小cos 0 .选 B.
2. x 1 2 3 4+y 2—4x = 0的极坐标方程为（）
=0,
所以 p=0 或 p = 4cos 9 .
又极点也在 p = 4cos 0上，故选 C.
3.圆p =5cos 0—5，3sin 0的圆心坐标是（）
A. 5,
B . 5, 7 C. 5, Y D . 5,三
3
3
3
3
解析：选 D.因为 p = 5cos 0 - 5^3 sin 0 ,
所以 p 2=5pcos 0 — 5^/3 p sin 8, 所以 x 2+y 2=5x — 5g 3y, 所以 x-| + y + 52- =25,
八 y _ 八5兀
tan 9 = = — *\/3, 9 = 2 ,
X
3 所以圆心C 的极坐标为C5,粤. 3
4.极坐标方程分别为 p = cos 9和
A. 2 B .啦 C
解析：选D.两圆的直角坐标方程分别为
1 2 , 2 1
2 ,
1 2 1
X —2 +y =-, X + y —2 =4，
1 1
圆心分别为2，°，。

，2， 圆心距d=、/4+T =*， 故选D.
所以圆心 A. p = 2cos 0
B . p = 2sin 0
解析：选 C.把 x= p - cos 9 , y= p - sin
C . p = 4cos 0
D . p = 4sin 0
9 , x2+ y 2= p 2 代入得 p 2—4 • p • cos e
p=sin 0的两个圆的圆心距是（） 2 .1 D .三
2
A.双曲线 B .椭圆 C .抛物线 D .圆
解析：选 D.因为 p = cos 彳―^ ，即 P =¥^(cos 8 + sin 8), 2
：2.
一.
一
所以 P =弓＜ P cos 0 + p sin 0 ),
所以 x2+ y 2= ~^x+-^y,即 x —+ y —= 7. 2 2
4 4
4
6 .在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若
曲线C 的极坐标方程为 p=2sin 0 ,则曲线C 的直角坐标方程为 .
解析：因为 p =2sin 8 ,所以 p 2=2p sin 8 ,所以 x2+ y 2= 2y, 即 x 2+ y 2- 2y=0. 答案：x 2+y 2—2y =0
7 .圆心在点（3 ,兀）处，半径为3的圆的极坐标方程为 .
解析：如图所示 C （3,兀），A （6 ,兀），设M （ P, 0）为圆上异于 Q A 的任一点，连接
OM AM 则OMLAM | OA = 6为圆C 的直径，在 Rt^OMM, / AO 随兀―0或0 —兀， 因为 | OM=|
OA cos （兀一e ）, 所以 p = 6cos （兀- 9 ）,
即p = — 6cos 0 ,验证知 O A 也适合， 所以所求圆的极坐标方程为
p = - 6cos 8 （_2"W 0 < ^2^）.
答案：p =— 6cos 0 (_2- & 0 & -2-) 8.在极坐标系中，若过点 A （3, 0）且与极轴垂直的直线交曲线 p=4cos 0于A 、
两点，则| AB =.
解析：由题意知，直线方程为 x= 3, 曲线方程为（x —2）2+y 2=4, 将x= 3代入圆的方程， 得 y= 土水，则 | AB =2^3. 答案：2 3
9.把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化. （1）
x 2+ y 2-2x= 0;
5.极坐标方程
p = cos( 7
t
8）表木的曲线是
（）
（2） p = cos 9 — 2sin 9 ;
⑶ p 2= cos 2 8 .
解：(1)因为 x 2+y 2—2x= 0,
2
所以 p — 2 P cos 9=0. 所以 p = 2cos 0 .
(2)因为 p = cos 0 — 2sin 0 , 所以 p 2= p cos 0 — 2 p sin 0 . 所以 x 2+ y 2= x —2y, 即 x 2+ y 2-x+ 2y= 0. ⑶因为p 2= cos 2 0 ,
所以 p 4= p 2cos 2 0 =( p cos 0 )2. 所以(x 2+ y 2) 2=x 2,
即 x 2+ y 2= x 或 x 2 + y 2= — x .
10.若圆C 的方程是 p = 2a sin 0 ,求： (1)关于极轴对称的圆的极坐标方程； (2)关于直线0 = 34^对称的圆的极坐标方程. 解：设所求圆上任意一点
M 的极坐标为（p, e ）.
⑴点M p, e ）关于极轴对称的点为（P , — e ）, 代入圆 C 的方程 P = 2asin 0 ,得 p = 2asin （ — e ）,
即p = — 2asin 0为所求. （2）点M P , e ）关于直线
e =34L 对称的点为
3
2a sin
8 ,得 p =2a sin
9 ，即 p = — 2a cos 0 为所求.
[B 能力提升]
p = 2sin
—2 p p 0cos( 8 — 80),所以可得 p = 2cos( 0 — 1).
2兀 兀
12.在极坐标系中，已知点P 2, 可，点Q 是圆p=2cos 0 +— 上的动点，则|PQ 的最小值是
3
P , ~2 — 8，代入圆C 的方程p =
11.以极坐标系中的点
（1, 1）为圆心，1为半径的圆的方程是（）
C. p = 2cos( 0—1) D p = 2sin( 8—1)
解析：选C.在极坐标系中，圆心在
（p 。

，0 0）,半径为r 的圆的方程为:
2
2
2
r = p 。

+ p
_ . _____ . 5
解析：已知圆的圆心为 ci,3兀，半径为1,将点P , C 的极坐标化为直角坐标为 P （— 由圆的几何性质知，| PQ 的最小值应是| PC 减去圆的半径，即| PQ min = | PC — 1
1 1
2 -
3 2
-1-2 + 小+丁 - 1 = 3-1 = 2.
答案：2
13.设点 M 是定圆O 内一定点，任作半径 OA 连接MA 过M 作MPLM 岐 OA 于点P, 求P 点的极坐标方程.
解：以O 为极点，射线 0皿极轴，建立极坐标系，如图.
因为MPL MA
所以 |MA 2+|MP 2=| PA 2.
由余弦定理，可知 | M-2= a 2+r 2—2ar cos 0 , |Mp 2=a 2+ p 2—2apcos 0.
而| PA = r — p ,
由此可得 a 2+r 2—2ar cos 0 +a 2+ p 2- 2a p cos 0 = (r - p )2.
一一一、. 一 兀 ，一. .一,一一,一
C 的圆心为3,5，半径为3,点Q 在圆周上运 动.
（1）求圆C 的极坐标方程； （2）若点P 是OQ 勺中点，求点 P 的轨迹.
解：（1）如图，设 Q p , 0）为圆上任意一点， OM 直径，连接 DQ OQ 则|OD = 6,
兀 ，
兀 Z DOQ ： -- e ,或/ DOQ e , 3 3
设定圆O 的半径为r, OM= a,
P （ P , e ）是轨迹上任意一点.
整理化简，得
a (a-r cos 0 ) a cos r
14.（选做题）在极坐标系中，已知圆
一- _ _ 兀
因为/ DQ今-.
, 兀所以在RtA ODCQ5, |OQ=|OD Cos 0 --, 3
rr 一八兀
即p = 6cos 9 ——.
（2）若P的极坐标为（p , e）,
则Q点的极坐标为（2 p , e）.
兀
所以 2 P = 6cos 8 ——, 3
—, 一- 兀
所以p = 3cos 9 —3 .
所以P的轨迹是圆.。