必修数学试题解析及答案

必修数学试题解析及答案
一、选择题
1. 下列哪个选项是偶函数？
A. f(x) = x^2
B. f(x) = x^3
C. f(x) = |x|
D. f(x) = sin(x)
解析：偶函数满足f(-x) = f(x)的性质。

选项A中，f(-x) = (-
x)^2 = x^2，符合偶函数定义。

选项B、C、D均不满足偶函数的性质。

答案：A
2. 若cos(α) = 1/3，0 < α < π，求sin(α)的值。

解析：根据三角函数的基本关系，sin^2(α) + cos^2(α) = 1。

已知cos(α) = 1/3，代入公式得sin^2(α) = 1 - (1/3)^2 = 8/9。

由于0 < α < π，sin(α)为正值。

答案：sin(α) = √(8/9) = 2√2/3
二、填空题
3. 已知等差数列的首项a1 = 3，公差d = 2，求第10项a10。

解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d。

将已知条件代入公式。

答案：a10 = 3 + (10 - 1) * 2 = 3 + 9 * 2 = 21
4. 若函数f(x) = 2x - 5在区间[1, 4]上的最大值和最小值。

解析：由于f(x)是一次函数，且斜率为正，函数在区间[1, 4]上单调递增。

因此，最小值在x = 1处取得，最大值在x = 4处取得。

答案：最小值f(1) = 2 * 1 - 5 = -3；最大值f(4) = 2 * 4 - 5 = 3
三、解答题
5. 解不等式：|x + 3| - |x - 5| ≤ 4。

解析：根据绝对值的性质，可以将不等式分为三种情况进行讨论：
(1) 当x ≤ -3时，不等式化为-(x + 3) - (x - 5) ≤ 4。

(2) 当-3 < x < 5时，不等式化为(x + 3) - (x - 5) ≤ 4。

(3) 当x ≥ 5时，不等式化为(x + 3) - (x - 5) ≤ 4。

答案：经过计算，解集为：-3 ≤ x ≤ 5。

6. 已知抛物线y = ax^2 + bx + c与x轴相交于点(1, 0)和(-2, 0)，求a和b的值。

解析：由于抛物线与x轴相交于点(1, 0)和(-2, 0)，根据韦达定理，x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a。

将已知点代入得：
1 -
2 = -b/a
1 * (-2) = c/a
答案：a = 1，b = 3。

四、证明题
7. 证明：若a, b, c ∈ R，且a + b + c = 0，则a^3 + b^3 + c^3
- 3abc = 3abc。

解析：利用立方和公式(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = (a + b +
c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)，结合已知条件a + b + c = 0，代入公式。

答案：由于a + b + c = 0，故原式 = 0 * (a^2 + b^2 + c^2 -
ab - bc - ca) = 0，即a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0，从而证明了
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 3abc。

五、应用题
8. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 50x + 10000，其中x
为生产数量。

若该产品每件售价为200元，求工厂利润最大时。