半参数门限随机波动率模型及其实证研究

第35卷第1期2018年 2月
贵州大学学报（自然科学版）
J o u r n a l o f G u iz h o u U n iv e r s ity!N a t u r a l S c ie n c e s)
Vol.35 No.1
Feb.2018
文章编号1000-5269 ( 2018 # 01-0027-08 DOI： 10.15958/ki.gdxbzrl〇.2018.01.06半参数门限随机波动率模型及其实证研究
冯从威，胡支军！
(贵州大学数学与统计学院，贵州贵阳550025)
摘要：为了描写金融资产收益率波动率非对称性，以及充分刻画金融资产收益率偏态厚尾等典 型特征，将门限效应和非参数分布引入到标准的随机波动率（SV)模型中，构建半参数门限随机 波动率（TSV-DPM)模型对金融资产收益率的波动率进行建模。

利用基于贝叶斯的MCMC算法 估计模型参数，使用对数预测尾部得分（LPTS)比较不同模型在极端事件中的预测能力。

以欧 元/美元汇率日度数据对TSV-DPM模型进行实证分析，结果表明TSV-DPM模型不但能够有效 的刻画欧元/美元汇率收益的波动率的动态特征，而且对极端事件的预测能力优于SV-DPM模 型，同时验证了欧元/美元汇率收益率具有较强的波动率持续性和较弱的波动率非对称性。

关键词：随机波动率；门限效应；非参数分布；M CM C
中图分类号:F830.9 文献标识码：A
众所周知，金融市场的波动性随着时间的推移 而变化，而波动率的预测在金融领域中有着非常广 泛的应用，金融资产收益率的波动率在风险价值评 估、期权期货定价以及资产配置等方面起到非常重 要作用，因此建立更好的拟合模型是非常有意义 的，国内外学者对此进行了广泛和深人的研究。

于是Engle和B olle/ey等[1，2]分别提出了自 回归条件异方差模型（ARCH)和广义自回归条件 异方差模型（GARCH)，然而许多研究表明，此类模 型对金融时间序列的拟合效果并不好，于是Taylor 等[3]提出了随机波动（SV)模型，其对金融资产收 益率具有更好的拟合效果，且对波动率具有更强拟 合能力和预测能力，另外该模型与金融经济理论有 密切联系，因此引起国内外学术界广泛的关注[4-7]。

然而在描述金融时间序列方面上，标准的SV 模型仍存在非常大的局限性。

许多金融时间序列 的无条件分布呈现出偏态厚尾分布的特征，于是许 多学者对SV模型进一步深人研究，一种方法是完 全在参数模型框架中，使用如学生t分布、有偏学 生t分布、广义误差分布（3ED)等分布来代替正态分布，去描述资产收益率偏态厚尾的特征。

但这些 改进后的SV模型仍无法完全刻画资产收益率偏 态厚尾的特征，于是Y u等[8-0]提出另一种改进方 法，完全放弃对观测方程中随机误差项的参数假 设，考虑非参数贝叶斯模型（Nonparametric Bayes Model)，在此类模型中，收益率服从一个非参数分 布，与参数分布 描 金 资产收
率等典型特性，并能提高收益和风险价值的预测精 度。

非参数贝叶斯模型无需对参数假设，直接从数 据中学习概率分布，具有很强的灵活性，深受学者 欢迎。

Jensen等[11]利用Dirichlet先验分布，构建 了半参数SV模型，即Dirichlet过程混合随机波动 (SV-DPM)模型。

但是SV-DPM模型仍存在一定 的局限性，大量研究发现，资产收益率中正向冲击 (利好消息）和负向冲击（利空消息）对资产收益率 的波动率的影响程度是不同的，具有非对称性。

So 等[12]针对此问题，提出将门限效应（Thiehold effect)引人到SV模型中，并构建了门限SV(TSV)模型。

许多实证研究表明TSV模型不但能捕获资 产收 率 动率 性，收 率具有
的拟合效果和预测精度[13-6]。

收稿日期：2〇17-09-18
基金项目：国家自然科学基金（71361003),贵州省教育厅人文社科规划项目资助（13S5D005)
作者简介:冯从威（1992-)，男，在读硕士，研究方向：金融统计与数量分析，Email:cwfengl992@163'om !通讯作者:胡支军，Email :zjhu@.
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基于此，为了能同时捕获金融资产收益率波
动率的非对称性以及充分刻画金融资产收益率偏
态厚尾等典型特征，结合门限随机波动率模型和 非参数方法的建模思想，本文在将标准S V模型 改进，将门限效应和Dirichlet过程同时引人到标 准的SV模型，构建了半参数门限随机波动率模型，g卩Dirichlet过程混合门限随机波动率模型(TSV-DPM)对金融资产收益率的波动率建模。

为了估计TSV-DPM模型的参数，使用MCMC抽 样方法进行参数估计，利用平均对数预测得分(LPS)比较模型预测效果，采用对数预测尾部得 分（LPTS)比较模型对极端事件预测能力，使用欧 元/美元汇率日度数据对TSV-DPM模型进行实 证检验。

1模型构建
标准的SV模型如下：
V=exp(0/2)5, (1)
0+i=/ + 0(0 -，v t~M(〇，1)
(2)
其中，V表示为/寸刻的资产收益率；0/是一 ，为 2刻资产收 率的 数 动 率。

假设0/服从一个具有持续性参数为0的狀（1)过程，参数10 < 1，以保证波动率过程（2) 是平稳过程，其中（/0，#)为待估参数；5和,是误差项，独立同分布且相互独立，5服从均值为 〇、方差为1的分布。

Kim等[17]对标准的SV模型 进行变换，提出了线性标准SV模型
rt=ht + st，st~F
0/1 =/ + 0(0/-/)+,~M(〇，1)
⑶其中，r = &gv/，' = ，且'服从一个未
知分布F。

如果5/服从正态分布，则'服从log4?分布，IKm等[17]提出通过仔细调整的有限混合正 态分布去近似的分布，然而此方法仍不能完 全刻画资产收益率偏态厚尾分布特征且人为影响 因素较大。

于是，Delatola等[18_19]对于'服从的未知分布，利用Dirichlet过程先验对'进行建模，构 建了 Dirichlet过程混合随机波动（SV-DPM)模型，使用无限混合正态分布去近似'的分布，S P
r⑷
E〜DP(a，E Q)
8m(/，（1 -&)#')
其中，D P表示为Dirichlet过程；$和E+分别 表示为正的精度参数和基分布；&表示为光滑参 数。

'的条件分布是正态分布，且'的条件均值/服从精度参数为$的Dmchlet过程，基分布服从均 值为/、方差为（1 -&)#'的正态分布。

另外，由于IKm等[17]在对数据进行转换时面 临一个问题，即当收益率的值很接近于零或等于零 时，会使得数据变换后的值为极小的负值甚至为负 无穷，因此，IKm等人参照FU lle/°]的做法，引人一 个比较小的补偿参数c，即模型（3)中,重新表示 为r= i〇g(V + c)，相应地'的分布为
p(') = [M(l〇gC，#c)+ (1 -[)
(5)
其中，[表示收益率为零的概率，零收益率服 从均值为logc和方差为#。

的正太分布。

此外，若 '服从一个参数分布，则其均值是固定的，因此在 模型（3)中均值p可识别。

然而此模型中'服从非参数先验分布，所以'的均值是随机的，若不做 其他假设则很难将；/和'均值区分开来，借鉴文献 [21]的做法，将//引人到'中，令'='+ //，0! =0, -//，因此模型⑶可以转换成如下形式
7 !,!!T~T
r _ 02+'/，'/
(6)
0二1 =00! +#,，,^(O，1)
结合（4)、（5)和（6)式，即为Delatda等人构 建的SV-DPM模型，虽然该模型能有效的描述资 产收益率偏态厚尾等特征，但是描述资产收益率仍 存在局限性。

根据So等[12]和Chen等[22]发现正、负资产收益率对波动率产生影响程度不同，一般负 资产收 率# 动性 会 # 在 动率
对称性方面的问题，但是SV-DPM模型不能捕获 资产收益率的这一重要特征。

因此，本文借鉴So 等[12]和Delatola等[18]的建模思想，在标准SV模型 中将门限效应和非参数分布同时引人，构建了如下 的半参数门限随机波动模型一TSV-DPM对金融 资产收益率的波动率进行建模：
r=0, + '，'~F(?)
0/1 =0S,0/ + #*,，,~M( +，1)
第1期
冯从威等:半参数门限随机波动率模型及其实证研究
-29 -
(8)
状态变量*定义为 =j 〇,当 V < 〇
1 {l# 当 V ' +其中，'服从一个未知分布O ,其分布如（4) 和(5)式所示，可以充分刻画资产收益率的偏态厚 尾特征。

状态变量*是根据〖时刻资产收益率V 的取值在两个区制之间进行转换。

如果t 时刻有 利空消息，则资产价格下降，即资产收益率负向冲 击，V < 0和* = 0;反之，如果^时有利好消息，则 资产价格上升，即资产收益率正向冲击，V ' 0和 * = 1。

因此，参数0和在两种状态* =丨〇，1丨 之间进行变换。

当参数0和在两种状态下相等时，则说明资产收益率不存在波动率非对称性， 反之则说明存在波动率非对称性。

如果#。

> #1， 表明与正向冲击相比，同等程度的负向冲击会引起 资产收益率更高的波动性;如果0 > 0，表明与正 向冲击相比，同等程度的负向冲击会引起资产收益 率更强的波动率持续性。

)参数估计
由于SV 模型中包含隐变量，因此造成模型中
参数估计比较困难，现已存在许多近似估计方法用
于SV 模型参数进行估计，例如广义矩（GMM )估计 方法、伪极大似然（QML )估计方法和有效矩 (EMM )估计方法等，其中Mark %链蒙特卡罗（MC - MC )是最有效且应用最广的方法，因此，本文采用 MCMC 方法估计TSV -DPM 模型的参数，参照文献 [18]设计的皿€皿匸抽样方法，下面给出？=乂-0?皿 模型的估计参数方法具体步骤。

首先假设TSV -DPM 模型中未知参数的先验 分布，参照文献[23 ]中的做法，设0~ 7W (_i ，i )(0， 10)，#*~3(2.5,0.025)，其中 3($，5)表示为逆伽马分布，W M ($，5)(/#2)表示取值范围限制在区 间（$，5)的均值为;/，方差为#2的截断正态分布， 以此确保波动率方程是平稳过程。

[〜A \$(0. 1， 0. 9)，根据Griffin 等[24]提出的建议，将精度参数$ 的先验分布设定为逆Beta 分布：
r (2")<(r ("))2 ($ + «)2"
其中，参数！为样本量，"为方差参数，通常设 定为3。

参照Griffin 建议，固定(4)式中光滑参数& 值为0.01和0.05,考察不同的光滑参数对模型拟 合效果和预测结果的影响。

下面用MCMC 方法依
次抽取TSV -DPM 模型中的未知参数和隐变量，记 观测数据，= (,，…，,），波动率0 = (01，…人）， 波动率均值M = (/，…，/)，混合组成单元均值 / = (/，…，/ )，引人指示变量'=('，…， A !)，其中若指示变量A ,=.，则/取第.个混合
组成单元的值，即& = &i 。

MCMC 算法更新参数 的步骤如下：
1)
设定超参数 0，0，#2，#，#',/，/$，'，
[，0初始值；
2) 从后验分布
，0，0，#0，#1，#'，/，/ $，
'，[中更新0，使用前向滤波、后向抽样（FFBS )算 法对隐变量0进行更新，具体步骤详见文献[17 ];
3)
从后验分布'X ，0，0，#0，#1，#'，/，/$，
[，0中更新指示变量'，采用逆抽样方法对于指示
进行刻 ;
其中
3('=.)和为不包括21= 1 ^
$t
时刻观测值的混合组成单元的聚类个数，！2表示 属于非零收益率聚类的观察值的个数。

'表示抽样 的指示变量，当'，=1时，表示观察值属于零收益 率聚类，'等于其他值时，表示观察值属于非零收 益率聚类。

4)从后验分布 #'，/，/$，[|,0，0，#0, #1，'，0中更新参数#',/,/$，[，更新/，其全 条件分布服从正态分布
M %m
=(,-0)/k +//(1~&)\
n/f& + 1/(1 -p )
更新/，其分布服从正态分布#2
’！// + 1/(1 _^&)j
% %, (1 - $)#'
!2
，其中 / =/ +/。

#2， 其全条件分布 从
马分布3|
2 ? 2
% :：, (, -/%)2 %:_>「/)
—+ -&
1
更新[，其全条件分布服从Dirichlet
分布
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第35卷
H %(1 + (! 一！2),4 +!*) &更新$ #其全条件分布服从
P( $"
--------------&
n %i $ + % -1
其中6($)为先验分布，采用MH (Metropolis - Hastings )算法抽样更新参数$ ,
5)从后验分布 00,01,#2,#1 ,#,/，/$, [,',A 中更新 00,01,#,#
更新0* ,采用MH 方法更新参数0* ,从截断 正态分布抽样0*的一个提议值0* :
0*Z M (-i ,i )
,%二3*(0 -/)(021 -/) #
、v
% 2# 一3*(0-
~/〇
)
% 2# 一3*(0-
~/〇
) y
以min (1,exp js (0s :)-尽（0*)丨）的概率接受 0* ,其中
(01 _/)2(1 - 0*)
S (0*) = 1〇〇6(0*)--------7-^-------- +
2#*
+log (1 - 0* )。

合;当*# 1时，表示收益率大于等于0的集合。

3
模型效果比较
为了比较模型的效果，参照Delatola 等'18(的做 法，采用对数预测得分（；BP )和对数预测尾部得
分（)对模型预测效果进行比较研究，向前 一步预测的平均；B P 和；BW &定义分别为：
LPS = - ^% 1〇gN (，1 ,_1),
i % 1LPTS& =
% l =1/(,>6)l〇g p ,,1)
其中, = (,,,,!,,), 6表示收益数据经验
分布的上100&]分位数。

一般LPS 值越小说明模 型预测能力越好，但是Delatola 等[18_19]发现一般不 同模型中LPS 值基本一致。

在金融领域中，决策者 往往对于极端事件更加关注,因此评估不同模型对 极端事件的预测能力就非常有意义。

于是Delatola 等[18]提出LPTS &方法，用于比较不同模型对极端 事件预测能力，具体评价准则为LPTS &值越小，说 明模型对于极端事件预测能力越好。

以下主要针 对& # 091,095两种情况下比较分析模型对极端 件的 测 。

更新#,其全条件分布服从逆伽马分布
4
实证分析
#2 I 01,!,0…,0*~3(2.5 + 皆,&*)。

其
ft : # 0.025 +
(01 -/)2(卜 0* + % 二
((0 + 1 -/0) -0S ,(02 -/))2
2
,
为示性函数，当*= 0时，表示收益率小于0的集
st
本文分别利用模拟的数据和金融市场的实际
数据对TSV-DPM 模型进行实证分析。

首先，根据 TSV 模型模拟产生T # 3000样本长度的观测序列， 其中 00 = 097, 0上=095, # = 093, # = 092,' 服从7个正态分布的混合分布。

运用MCMC 抽样 方法估计参数,得到& = 091,095时TSV-DPM 模 型参数估计结果。

表1参数估计结果
参数真实值TSV-DPM (& = 0.01)
TSV-DPM (& = 0.05)
000.970.9793(0.9222, 0.9967)0.9775( 0.9362, 0.9998)010.950.9650(0.8859,0.9811)0.9642(0.9298, 0.9897)#0.030.0369(0.0132, 0.0785)0.0354(0.0156, 0.0451)#
0.02
0.0249(0.0073, 0.0369)0.0235(0.0055, 0.0351)# 4.1602(4.0117, 4.3201) 4.7589( 4.5852, 4.9958)$
0.7712(0.2062, 2.1961)
6.3206(1.1858, 21.5401)
m
29(5,84)
33(10,99)
[
0.0000(0.0000 , 0.0048)
0.0000(0.0000 , 0.0054)
注：（）中是参数估计的95%置信区间。

第1期冯从威等:半参数门限随机波动率模型及其实证研究-31 -
表1给出了参数估计结果和95k的置信区间，看到，此方参数估计的接 应 的真实值，且真实值均 置 间中，表明 计方 较准确，合理并有效的参数估计结果。

自2008年爆发的金融危机蔓延全球，各国股 票及其衍生品 均受到重挫，全球经济持续低，美国、欧盟为 经济 不断调整利率，造成美元/欧元的汇率波动 增加，2011年 ：发，欧元续贬值，美元、欧元作为外汇市场 的主要 到非常大的影响，其 理与规
起更广 ，美元/欧元的汇率的波动
率成为亟需研究的问题。

元/美元（EUR/ USD)汇率日度数据作为研究样本。

数据抽样起始 时间为2000年1月3号，截止时间为2017年7月31 ，4632日度数据，其 2000年1月3号至2015年12月31号数据作为模型训练集，用 于样本内 计和评价，以2016年1月1号至2017年7月31 数据作为模型测试集，用于评价 不 的样本外预测 ，有数据来源于数据库。

第t交易日的汇率的对数收益率定 义为：V # 100&(</<-1)，其中<表示第t交易日 欧元/美元汇率收盘价格。

表2日度收益率（V )描述性统计量
统计量值统计量值
均值0.0031偏度0.0576
标准差0.6339峰度 4.4567
最小值-2.7310
Jarque-Bera412.03 (0.000)数0'000
Ljung-Box(10)45846 (0.000)
最大值 3.4400
ARCH(10)313.18 (0.000)注$()内数字表示P值。

(1)日度收盘价格(b)日度收益率
(>经验收益率密度
图1欧元/美元汇率
(O)收益率Q-Q图
表2中给出欧元/美元汇率日度收益率（v )的描述性统计量。

从 看 元/美元汇率收益率序列的分布呈现 （偏度>0)和尖端
尾特征（峰度>3); 分布的匕(Jarque-Bera 统计 ）；滞后 10 阶的 Ljung-Box检验统计 明，欧元/美元汇率收益率序 在自性;ARCH检验说明欧元/美 元汇率收益率序 在 的异方差性。

图1^出了欧元/美元汇率日度收盘价格（a)、日度收益 率(b)、经验收益率密度（>、收率Q-Q图（d)，从图（b)可以看出收益率序列具有明显的波动率 性和聚集性，从（>看收益率序列均具有 的尾分布特征，呈现 的分布，从图（d)看收益率序列两个尾部均比正分布尾部长，说明收益序列具有 尾分部特征但不服从 分布。

判断欧元/美元汇率收 率均具有 动 率 性、动 率聚 性、
尾分布以及 性特征，金数据建模
，应收益率特征纳入到 。

根据第3部分设计的参数估计方法，
以及欧
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元/美元汇率日度收益率数据，运用MCMC抽样方 作为预热舍弃，后95000次抽样值用于模型分析，得 法估计模型参数，运行100000次抽样，将前5000次 到TSV-DPM模型参数估计结果如表3所示。

3参数估计结果
参数TSV-DPM(&#0.01)TSV-DPM(&#0.05)参数SV-DPM(&# 0.01)SV-DPM(&# 0.05)
00.9929 (0.9882,0.9998)0.9937(0.9891,0.9994)00.9941 (0.9896,0.9978)0.9942(0.9894,0.9978)
00.9964(0.9891，0'999)0.9952(0.9895,0.9998)
#00.0052 (0.0036,0.0075)0.0051(0.0031,0.0074)0.0046(0.0031,0.0070)0.0046(0.0031,0.0071)
0.0043 (0.0035,0.0068)0.0044(0.0031,0.0062)
#4.6967(4.1219,5.2060)5.1530(4.4606,5.7840)5.5392(4.4936,5.7771)5.4564(4.4996,5.7670) $0.6924(0.15144,2.0413)2.4891(0.3268,37.806)$0.6166(0.1379,1.0120) 2.1140(0.3104,36.6230) m17 (3,140)20(4,177)
m16(3,142)17(4,175)
[0.0521 (0.0000,0.0677)0.0316(0.0000,0.3824)[0.0514(0.0000,0.3934)0.0496(0.0000,0.4377)
注：（）中是参数估计的95%置信区间。

表3给出了 TSV-DPM模型和SV-DPM模型参数估计。

从 看出，波动率持续性参数0和0的估计值均接 1，着元/美元汇率的波动 不 在 特征，动具有很强的波动持续性；#与#的计值不同，明汇率 收益率存在波动率 性现象，且#的计值大于#的计值，说明正向冲 和负向 ，负向 元/美元汇率的影响大 等程度正向 元/美元汇率的影响，但波动的非对称性强度相对较弱;参数#估计 值大于4，明'分布具有厚尾分布特征。

图2给出了对数波动率时序图，从中可以看 到，对数波动率 特征与欧元/美元汇率收益率的特征基本吻合，表明 均能够较好刻画出元/美元汇率收益率 的动率特征。

另外，从图2中可以发现，在2007—2009年世界金融 期间以及 2011年爆发的 ，欧元/美元汇率均呈现较高的波动性。

4 元/美元汇率数据在不同模型中预测结果，从表4可以看出TSV-DPM模型和SV- DPM的LPS得分值非常接近，说明 测能力均较好，在LPTS得分值上，TSV-DPM均小于SV-DPM模型得分值，
表明在极端事件预测
第1期冯从威等:半参数门限随机波动率模型及其实证研究-33 -
表4模型预测效果评价
TSV-DPM TSV-DPM SV-DPM SV-DPM
(&= 〇.〇1)(&# 0.05)(&# 0.01)(&# 0.05) LPS 2.1743 2.1755 2.1714 2.1719 LP T S0.5 3.4550 3.5137 3.5156 3.5570 LPWS0.01 3.7046 3.7182 3.8906 3.9319
方面上，TSV-DPM模型预测效果优于SV-DPM模 型。

因此，TSV-DPM模型在刻画金融资产收益典 型特性和对极端事件预测方面均有较好的效果。

5结语
波动率是研究金融市场的一个重要指标，能够 准确的预测波动率，有益于投资者做出正确的投资 决策，本文将门限效应与非参数分布引人到标准 SV模型中，构建了 TSV-DPM模型对波动率进行 建模。

该模型能够捕获波动率的非对称性，以及能 够充分刻画金融资产收益偏态厚尾分布等典型特 征，并采用贝叶斯框架下的MCMC抽样方法实现 了此模型参数估计，使用平均对数预测得分（LPS)评价不同模型预测效果，利用对数预测尾部得分 (LPTS)衡量不同模型对极端事件预测效果。

采用 欧元/美元汇率日度数据，对构建的模型进行实证 检验，结果表明TSV-DPM模型能够有效刻画欧 元/美元汇率收益率的偏态厚尾分布特征、波动率 的时变性以及波动率的非对称性等资产收益率典 型特征，并且在极端事件预测方面，发现TSV-DPM 模型优于SV-DPM模型，同时验证欧元/美元汇率 收益率在负向冲击相比于同等程度上的正向冲击 会引起更高的波动率，但波动的非对称性强度相对 较弱，该模型有助于揭示欧元/美元汇率对正向和 负向冲击的反应模式，为投资组合、风险管理和资 产配置等提供了参考。

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(责任编辑:江龙）
Semiparametric Thresliold Stochastic Volatility
Model and its Empirical Test
FENG Congwei,HU Zhijun!
(College of Mathematics and Statistics, Guizhou University, Guiyang 550025 , China)
Abstract:In order to capture the non-symmetry of volatility of asset yield,and to describ istics of financial assets#both threshold e ffects and nonparametric distribution were incorporated into the standard
stochastic volatility!SV)a nd Dirichlet process mixed thresiiold stochastic volatility (TSV-DPM)model was pro­
posed to model tiie volatility of asset returns.The Bayesian MCMC m etiiod was used to estimate the the model.Log predictive score!LPS)and log predictive tail score(LPTS)were used model prediction.The TSV-DPM model applied to the date data of Euro/ dollar exchange rate. that the TSV-DPM model has better data fitting effect on the volatility of Euro/ dollar exchange rate. tively represent dynamic features of volatility and it is beter t!ian SV-DPM i n extreme risl^prediction reover,validated the euro^ doiar exchange rate of return has a strong volatility persistence and a weak volatility asymmetry.
Key words:stochastic volatility;threshold effect;nonparametric distribution;M CM C
(上接第20页）
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(责任编辑：曾晶）
Several New Criterions of Convex Functions
and Strictly Convex Functions
YANG dan,KUANG Huawu*
(College of Mathematics and Statistics, Guizhou University, Guiyang 550025 , China)
Abstract:Under som e weaker conditions,several new criterions of convex functions and strictly convex functions were established.The results we obtained are m ore general than som e known corresponding results.
Key words:convex function；strictly convex function；criterion。