高一下学期数学2.3.22.3.3平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3含答案

【巩固提升】 一、选择题
1 ．设 i ，j 是平面直角坐标系内分别与 x 轴， y 轴正方向相同的两个单位向量，
→→ ＝ 3i ＋ 4j ，则 2OA＋ OB的坐标是 ( )
A． (1 ，－ 2) B
． (7,6)
C
．(5,0)
D
． (11,8)
→
→
O为坐标原点， 若 OA＝4i ＋ 2j ，OB
2．已知向量 a＝ ( － 1,2) ， b＝(1,0) ，那么向量 3b－ a 的坐标是 ( )
其中正确结论的个数是 ( )
A． 1
B
．2
C
．3
D
．4
→→ 5．已知四边形 ABCD的三个顶点 A(0,2) ， B( － 1，－ 2) ， C(3,1) ，且 BC＝ 2AD，则顶点 D的坐标为 ( )
7
A. 2， 2
B.
1 2，－ 2
C ． (3,2) D
．(1,3)
→→ → 6．已知点 A(2,3) ，B(5,4) ，C(7,10) ，若第三象限的点 P满足 AP＝AB＋ λAC，则实数 λ 的取值范围是 ( )
→→ (2) 若点 P(2 ， y) 满足 PB＝ λBD( λ∈ R) ，求 λ 与 y 的值．
2.3.2-3 答案
→
→
3 33
例 1. a＝ OA＝ ( 2， 2) ， b＝ OB＝ － 2， 2 .
跟踪训练 1. (1 ，－ 1) (1,1) ( － 1,1)
例 2. （ 1） A
(2) a ＋ b＝ ( － 1,2) ＋(3 ，－ 5) ＝ (2 ，－ 3) ， a－ b＝ ( － 1,2) － (3 ，－ 5) ＝ ( － 4,7) ， 3a＝ 3( － 1,2) ＝ ( － 3,6) ， 2a＋ 3b＝ 2( －1,2) ＋ 3(3 ，－ 5) ＝ ( － 2,4) ＋ (9 ，－ 15) ＝ (7 ，－ 11) ．
类型三 向量坐标运算的应用
→→ → 例 3 已知点 O(0,0) ， A(1,2) ， B(4,5) ，及 OP＝ OA＋tAB.
(1) t 为何值时，点 P在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？
(2) 四边形 OABP能为平行四边形吗？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由．
跟踪训练 3 若保持本例条件不变， B 为线段 AP的中点，则 t ＝ ______. ；
②若 x1， x2， y1， y2∈ R， a＝( x1， y1) ≠（x2， y2) ，则 x1≠x2，且 y1≠ y2；
③若 x， y∈ R， a＝ ( x， y) ，且 a≠0，则 a 的起点是原点 O；
④若 x， y∈ R， a≠0，且 a 的终点坐标是 ( x， y) ，则 a＝ ( x， y) ．
x1＋ 1＝ 4， 所以
y1＋ 2＝ 3，
x1＝ 3， 所以
y1＝ 1，
所以 B(3,1) ． 同理可得 D( － 4，－ 3) ， 设 BD的中点 M( x2， y2) ，
3－4 1
1－ 3
则 x2＝ 2 ＝－ 2， y2＝ 2 ＝－ 1.
1 所以 M － 2，－ 1 .
→ (2) 由 PB＝ (3,1) － (2 ，y) ＝ (1,1 － y) ，
→ 13．已知 O是坐标原点，点 A 在第一象限， | OA| ＝4 3，
∠ xOA＝60°，
→ (1) 求向量 OA的坐标；
→ (2) 若 B( 3，－ 1) ，求 BA的坐标．
→
→
14 ．已知向量 AB＝ (4,3) ， AD＝( － 3，－ 1) ，点 A( － 1，－ 2) ．
(1) 求线段 BD的中点 M的坐标；
→ BD＝ ( － 4，－ 3) － (3,1) ＝ ( － 7，－ 4) ，
→→ 又 PB＝ λBD( λ∈ R) ，
所以 (1,1 － y) ＝ λ( － 7，－ 4) ＝( － 7λ，－ 4λ) ，
1＝－ 7λ， 所以
1－y＝－ 4λ，
1 λ＝－ 7，
所以
3
y＝
. 7
A． ( － 4,2)
B
． ( －4，－ 2) C ．(4,2)
D
． (4 ，－ 2)
3．已知向量 a＝ (1,2) ， 2a＋ b＝ (3,2) ，则 b＝ ( )
A． (1 ，－ 2) B
． (1,2)
C
．(5,6)
D
． (2,0)
4．已知向量 i ＝ (1,0) ， j ＝ (0,1) ，对坐标平面内的任一向量 a，给出下列四个结论：
1＋ 3t ＜ 0， 若点 P 在第二象限，则
2＋ 3t ＞ 0，
2
1
所以－
3＜ t
＜－
. 3
→
→
(2) OA＝ (1,2) ， PB＝ (3 － 3t, 3－3t ) ．
→→
3－ 3t ＝ 1，
若四边形 OABP为平行四边形，则 OA＝PB，所以
3－ 3t ＝ 2，
故四边形 OABP不能为平行四边形． 跟踪训练 3. 2
跟踪训练 2.
→→
→ 1→
（1） AB＋ 2BC＝ ( － 18,18) ， BC－ AC＝ ( － 3，－ 3) ．
2
(2) 设 c＝ xa＋ yb，则 ( x, 2x) ＋( － 2y, 3y) ＝ ( x－ 2y, 2x＋ 3y) ＝ (4,1) ．
x－ 2y＝ 4， 故
2x＋ 3y＝1，
x＝ 2， 解得
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2． 3.3 平面向量的坐标运算
类型一 求向量的坐标 例 1 在直角坐标系 xOy中，向量 a， b 的方向如图所示，且 | a| ＝ 2， | b| ＝ 3，分别求出它们的坐标．
→
→
→
→
跟踪训练 1 如图，在正方形 ABCD中，O为中心，且 OA＝ ( － 1，－ 1) ，则 OB＝ ________；OC＝________；OD＝ ________.
2λ－ μ ＝－ 6， 所以
－ 4λ＋ 3μ＝－ 3，
21 所以 λ＝－ 2 ，
μ＝－ 15，
21 所以 p＝－ 2 a－ 15b.
→
→
13. 解析： (1) 设点 A( x， y) ，则 x＝ | OA|cos 60 °＝ 4 3cos 60 °＝ 2 3， y＝| OA|sin 60 °＝ 4 3sin 60 °＝ 6，
→ 9．已知向量 a＝ ( x＋3， x2－ 3x－4) 与 AB相等，其中 A(1,2) ， B(3,2) ，则 x＝ ________. 10．在平面直角坐标系中，点 A(2,3) ， B( － 3,4) ，如图所示， x 轴、 y 轴正方向上的两个单位向量分别为 则下列说法正确的是 ________． ( 只填序号 )
i 和j，
→ ① OA＝ 2i ＋ 3j ；
三、解答题
→ ②OB＝ 3i ＋ 4j ；
→ ③AB＝－ 5i ＋j ；
→ ④ BA＝ 5i － j .
→→→ 11．如图， 取与 x 轴、y 轴同向的两个单位向量 i ，j 作为基底， 分别用 i ，j 表示 OA，OB，AB，并求出它们的坐标．
12．已知 a＝(2 ，－ 4) ， b＝ ( －1,3) ，c ＝(6,5) ，p＝ a＋ 2b－ c. (1) 求 p 的坐标 ； (2) 若以 a，b 为基底，求 p 的表达式．
类型二 平面向量的坐标运算
→
→
例 2 (1) 已知点 A(0,1) ， B(3,2) ，向量 AC＝ ( － 4，－ 3) ，则向量 BC＝ ( )
A.( － 7，－ 4) B ． (7,4) C
． ( － 1,4)
D
． (1,4)
(2) 已知向量 a， b 的坐标分别是 ( － 1,2) ， (3 ，－ 5) ，求 a＋ b， a－ b， 3a, 2a＋ 3b 的坐标．
4,2) ． 12. 解析： (1) p＝ (2 ，－ 4) ＋ 2( － 1,3) － (6,5) ＝ ( －6，－ 3) ．
(2) 设 p＝ λa＋ μb( λ， μ∈ R) ， 则 ( － 6，－ 3) ＝ λ(2 ，－ 4) ＋μ( － 1,3) ＝ (2 λ－ μ ，－ 4λ ＋ 3μ ) ，
即 A(2 3， 6) ，
→ 所以 OA＝ (2 3， 6) ．
→ (2) BA＝ (2 3， 6) －( 3，－ 1) ＝ ( 3， 7) ．
14. 解析： (1) 设 B( x1， y1) ，
→ 因为 AB＝ (4,3) ， A( －1，－ 2) ，
所以 ( x1＋ 1，y1＋ 2) ＝ (4,3) ，
3
4
3
A． ( －∞，－ 1) B.
－∞，－ 5
C.
－ 1，－ 7
D.
－ 1，－ 5
二、填空题
7．在平面直角坐标系内，已知 i 、j 是两个互相垂直的单位向量，若 a＝ i － 2j ，则向量用坐标表示 a＝ ________.
→
→
8．如下图所示，已知 O是坐标原点，点 A 在第一象限， | OA| ＝4 3，∠ xOA＝60°，则向量 OA的坐标为 ________．
y＝－ 1.
所以 c＝ 2a－ b.
→→ → 例 3. (1) OP＝ OA＋ tAB＝ (1,2) ＋ t (3,3) ＝ (1 ＋ 3t, 2＋ 3t ) ．
2 若点 P 在 x 轴上，则 2＋ 3t ＝0，所以 t ＝－ 3.
1 若点 P 在 y 轴上，则 1＋ 3t ＝0，所以 t ＝－ 3.
该方程组无解．
巩固提升答案
1-6DDAAAA
7. (1 ，－ 2)
8. (2 3， 6)
9.-1
10. ①③④
→
→
→
→
→
→
11. 解析： 由图形可知， OA＝6i ＋ 2j ，OB＝ 2i ＋ 4j ，AB＝－ 4i ＋ 2j ，它们的坐标表示为 OA＝ (6,2) ，OB＝ (2,4) ，AB＝ ( －
→→
→ 1→
跟踪训练 2 (1) 已知 A、B、C的坐标分别为 (2 ，－ 4) 、(0,6) 、( －8,10) ，则 AB＋ 2BC＝ ____________ ，BC－ 2AC＝
____________；
(2) 已知向量 a＝ (1,2) ， b＝ ( －2,3) ，c ＝(4,1) ，若用 a 和 b 表示 c，则 c＝ ____________.