河北省正定中学2014-2015学年高一下学期期中试卷数学Word版含答案

2014-2015学年度第二学期高一期中考试
数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.） 1．设,,a b c R ∈,且a b >,则（ ）
.A ac bc > .
B 11
a b < .C 22a b > .D 33a b > 2.等比数列{}n a 中，若33,2a =前3项和39
2S =，则数列{}n a 的公比为（ ）
.A 1 .B 12- .C 1或12 .D 1或1
2
-
3．已知函数()sin cos 1f x x x =+，将()f x 的图像向左平移6
π
个单位得到函数()g x 的图
像，则函数()g x 的单调减区间为（ ）
.A 7[2,2],1212k k k Z ππππ++∈ .B 7[,],1212k k k Z ππ
ππ++∈
.C 2[,],63k k k Z ππππ++∈ .D 2[2,2],63
k k k Z ππππ++∈
4.如图1，正方体''''ABCD A B C D -中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥'A EFGH -的侧视图为（ ）
5. 实数,x y 满足条件40,220,0,0,x y x y z x y x y +-≤⎧⎪
-+≥=-⎨⎪≥≥⎩
则的最大值为（ ）
.A 1- .B 0 .C 2 .D 4
6
．已知sin cos αα-=，则1tan tan αα
+的值为 （ ） .A －4 .B 4 .C －8 .D 8
7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-, 466a a +=-,则当n S 取最小值时,n = （ ）
.A 6 .B 7 .C 8 .D 9 8．若cos c a B =,sin b a C =,则ABC ∆是（ ）
.A 等腰三角形 .B 等腰直角三角形 .C 直角三角形 .D 等边三角形
9．已知0,0a b >>
则4a b ++
的最小值为（ ） .A 2 .
B .
C 4 .
D 5
10.设三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，P Q 、分别是侧棱11,AA CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为（ ）
.A 1
6V .B 14V .C 13V .D 1
2V
12.在ABC △中,E 、F 分别为,AB AC 中点.P 为
EF 上任一点,实数,x y 满足0PA xPB yPC ++=.设ABC △,PBC △,
PCA △,PAB △的面积分别为123,,,,S S S S 记
11S S λ=,22S
S λ=,33S S
λ=,则23λλ取最大值时,2x y +的值为（ ）
.A -1 .B 1 .C -32 .D 3
2
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知(1,2),(,4)10,_____.a b x a b a b ==⋅=-=且则
14．设常数0a >,若2
41a x a x
+≥+对一切正实数x 成立,则a 的取值范围为________.
15.已知函数2
,0
()21,0
x x f x x x x ⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩若函数
()()2g x f x m =+有三个零点，则实数m 的取值范围是 . 16.数列{}n a 的通项22
2(cos sin )33
n n n a n ππ
=-，其前n 项和为n S ，则30S 为_______. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<<，
（Ⅰ）若2
1
=
a ，求B A ⋂； （Ⅱ）若A B =∅，求实数a 的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，,M N 分别是棱11,AA CC 的中点， （Ⅰ）求正方体1111ABCD A B C D -的内切球的半径与外接球的半径之比；
（Ⅱ）求四棱锥1A MB ND -的体积.
19.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，该数列的前n 项和为n S ，且满足2352S a a ==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设11b a =，*12()n a
n n b b n +-=∈N ，求数列{}n b 的通项公式． 20．（本小题满分12分）
已知函数21
()2cos ,2
f x x x x R =
--∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值，及取最小值时x 的值；
（Ⅱ）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且c =
，()0f C =，若
sin 2sin B A =，求,a b 的值．
21．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项的和为n S ，且2111
822
n n n S a a =
++，
数列{}n b 满
足1111,()n n n n b a b a a b ++=-=．其中n N *∈． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n
a c
b =
，求证：数列{}n c 的前n 项的和5
9n T >（n N *∈）．
22．（本小题满分12分） 已知2
(),f x ax x a a R =+-∈.
（Ⅰ）若不等式13)12()1()(2
--++->a x a x a x f 对任意实数]1,1[-∈x 恒成立，求实
数a 的取值范围；
（Ⅱ）若0a <，解不等式()1f x >.
高一第二学期期中考试数学试题答案
一．1-5 DDBCD 6-10 CABCC 11-12 DD 二
14.13a ≥ 15. ⎥⎦⎤ ⎝
⎛
--21,1
16.470 17.（1）
…
……4分
（2）当A =∅时，需满足121,a a -≥+解得：2a ≤-；………6分
当A ≠∅时，需满足121121,21011
a a a a a a -<+-<+⎧⎧⎨
⎨+≤-≥⎩⎩或解得：1
222a a -<≤-≥或；
综上，的取值范围为1
(,][2,)2
-∞-⋃+∞. ………10分
18.(1)内切球半径1
2
r a =
，外接球半
径R a = ，内切球与外接球半径之比
为
；………6分
(2)法一：连MN,则11A MB ND
A M
B N A MND
V V V ---=+
1111
,3
A M
B N N AMB AMB V V a S --∆==⋅⋅
12111111
,2224AMB S AM B A a a a ∆=⋅⋅=⋅⋅=
123111
,3412
A M
B N V a a a -∴=⋅⋅=
1.1
,3
A MND N AMD AMD V V a S --∆==⋅⋅
121111
,2224AMB S AM AD a a a ∆=⋅⋅=⋅⋅=
23111
,3412
A MND V a a a -∴=⋅⋅=
综上，113
1.6
A M
B ND A MB N A MND V V V a ---=+=
………12分
法二：连MN,则11A MB ND A MB N A MND
V V V ---=+
又1S S ,MB N MND ∆∆=故1,A MB N A MND V V --=112A MB ND A MB N V V --∴=
111311
,312
A M
B N N AMB AMB V V a S a --∆==⋅⋅=
1131
2.6
A M
B ND A MB N V V a --∴==
19．解：（Ⅰ）因为35232
S a S a =⎧⎨
=⎩ 所以112123()43()a d a d a d a +=+⎧⎨+=⎩，即12
2223a d
a a =⎧⎨=⎩． 因为252a a =，0d ≠， 所以20a ≠． 所以11
2a d =⎧⎨=⎩
． 所以21n a n =-． ………6分 （Ⅱ）因为*12()n a
n n b b n N +-=∈，
所以1212a
b b -=，
2322a b b -=，
……
1
12n a n n b b ---=． 相加得
1
12
1222
n a a a n b b --=++
+=13
23
222
n -++
+=12(41)3n -- 即21213
n n b -+=．…12分
20解：
，
则()f x 的最小值是2-，当且仅当,6
x k k Z π
π=-
∈
，则
，
，
，
，
，由正弦定理，得
由余弦定理，得，即
，由解得
．
.
21解：（I ）2111
822
n n n S a a =
++， ① 当2n ≥时，2111111
822n n n S a a ---=++， ②
① －②得：221111
()()82n n n n n a a a a a --=-+-，
即1111
()()4
n n n n n n a a a a a a ---+=+-，
∵数列{}n a 的各项均为正数，∴14n n a a --=（2n ≥），
又12a =，∴42n a n =-；∵1111,()n n n n b a b a a b ++=-=，∴111
2,
4
n n b b b +==，∴11
2()4
n n b -=⋅；
（II ）∵1(21)4n n
n n
a c n
b -=
=-， ∴22113454(23)4(21)4n n n T n n --=+⋅+⋅+
+-⋅+-⋅，
2214434(25)4(23)4(21)4n n n n T n n n --=+⋅++-⋅+-⋅+-⋅L ∴，
两式相减得21555
312(444)(21)4(2)4333
n n n n T n n --=++++--=---⋅<-，
∴5
9
n T >
．
22、解：（1）原不等式等价于01222>++-a ax x 对任意的实数]1,1[-∈x 恒成立， 设12)(122)(2
2
2
++--=++-=a a a x a ax x x g
○
1当1-<a 时，01221)1()(min >+++=-=a a g x g ，得Φ∈a ； ○
2当11≤≤-a 时，012)()(2min >++-==a a a g x g ，得121≤<--a ；
○3当1>a 时，01221)1()(min >++-==a a g x g ，得1>a ； 综上21-
>a
（3）210ax x a +-->，即(1)(1)0x ax a -++>
因为0a <，所以1(1)()0a x x a +-+<，因为 121
1()a a a a
++--=
所以当102a -<<时，11a a +<-， 解集为｛x|1
1a x a +<<-｝；
当12a =-时，2
(1)0x -<，解集为φ；
当12a <-时，11a a +>-， 解集为｛x|1
1a x a
+-<<｝。