2021高考数学二轮专题复习测试专题强化练十一含解析

专题强化练(十一)
1．已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
解析：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝0⇔m ＝±1.所以命题p 是命题q 的充分不必要条件．
答案：A
2．(2020·四川省泸县五中三模)已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m ＝( )
A ．m ＝－3
B ．m ＝－1
C ．m ＝－1或m ＝3
D ．m ＝1或m ＝－3
解析：由题意得1m －2＝m 3≠72m
，所以m ＝－1或m ＝3，故选C. 答案：C
3．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A ．2x ＋y －5＝0
B ．2x ＋y －7＝0
C ．x －2y －5＝0
D ．x －2y －7＝0
解析：依题意知，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点．因为圆心(1，0)与切点(3，
1)连线的斜率为12
，所以切线的斜率k ＝－2.故过点(3，1)的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.
答案：B
4．(2020·天津市红桥区模拟)若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )
A ．0或4
B ．1或3
C ．－2或6
D ．－1或 3
解析：因为圆(x －a )2＋y 2＝4，所以圆心为(a ，0)，半径为2，圆心到直线的距离为：d ＝|a －2|2
，因为d 2＋⎝⎛⎭⎫2222
＝r 2，所以a ＝4，或a ＝0.
答案：A
5．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，若城市B 在A 地正东40 km 处，则B 城市处于危险区内的时间为( )
A ．0.5 h
B ．1 h
C ．1.5 h
D ．2 h
解析：以A 为坐标原点，正东方向为x 轴建立直角坐标系，则直线y ＝x 被圆(x －40)2＋y 2＝302截得弦长为2302－（202）2＝20，所以B 城市处于危险区内的时间为2020
＝1，故选B.
答案：B
6．已知直线l 过点(1，2)，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )
A ．2x －y ＝0
B ．2x ＋y －4＝0
C ．2x －y ＝0或x ＋2y －2＝0
D ．2x －y ＝0或2x ＋y －4＝0
解析：根据题意，直线l 分2种情况讨论：
①当直线过原点时，又由直线经过点(1，2)，所求直线方程为y ＝2x ，整理为2x －y ＝0，
②当直线不过原点时，设直线l 的方程为x a ＋y 2a ＝1，代入点(1，2)的坐标得1a ＋22a
＝1，解得a ＝2，此时直线l 的方程为x 2＋y 4
＝1，整理为2x ＋y －4＝0. 故直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －4＝0.
答案：D
7.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯去锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，则阴影
部分面积约为(注：π≈3.14，sin 22.5°≈513，1尺＝10寸)( )
A ．6.33平方寸
B ．6.35平方寸
C ．6.37平方寸
D ．6.39平方寸
解析：连接OC ，设半径为r ，AD ＝5寸，则OD ＝r －1，在直角三角形OAD 中，OA 2
＝AD 2＋OD 2 ，即r 2＝52＋(r －1)2，解得r ＝13，则sin ∠AOC ＝513，所以∠AOC ＝22.5°，则∠AOB ＝2×22.5°＝45°，所以扇形OAB 的面积S 1＝45°×π×132360°＝169π8
＝66.33，三角形OAB 的面积S 2＝12
×10×12＝60，所以阴影部分面积为S 1－S 2＝66.33－60＝6.33，故选A. 答案：A
8．(2020·宜宾市叙州区第二中学校月考)斜率为33
的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，若l 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝4相切，则p ＝( )
A ．12
B ．8
C ．10
D ．6
解析：结合题意作图，因为直线的斜率为
33，所以倾斜角为30°，即∠MF A ＝30°， 由图可得|MF |＝2|AM |＝4，所以p 2
－2＝2r ＝4，解得p ＝12.
答案：A
9．(2020·天津市南开区模拟)若圆C 的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为5，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A ．(x －1)2＋(y －2)2＝1
B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1
C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5
D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5
解析：根据题意，设圆C 的圆心坐标为(m ，n )(m >0，n >0)，由于圆C 与x 轴相切，则圆C 的半径n ＝r ，又由圆心到原点的距离为5，则有m 2＋n 2＝5，
圆C 与4x －3y ＝0相切，则有r ＝|4m －3n |
42＋32
，即n 2＝（4m －3n ）225，解得m ＝2，n ＝1， 则圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.
答案：B
10．(2020·武汉质检)圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦的长为( )
A ． 2
B ． 3
C ．2 2
D ．3 2
解析：因为圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，两式相减得x －y －2＝0，即公共弦所在的直线方程，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆心到公共弦的距离为d ＝
22，所以公共弦长为l ＝2r 2－d 2＝2 2.故选C.
答案：C
11．(2020·大庆实验中学模拟)若m >0，n >0，且直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则m ＋n 的取值范围是( )
A.[)2＋2，＋∞
B ．[2＋22，＋∞)
C ．(0，2＋2]
D ．(0，2＋22] 解析：由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，得(x －1)2＋(y －1)2＝1，
得到圆心坐标为(1，1)，半径r ＝1，因为直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆相切， 所以圆心到直线的距离d ＝|m ＋n |
（m ＋1）2＋（n ＋1）2＝1，整理得：m ＋n ＋1＝mn ≤
⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ＋n 22， 设m ＋n ＝x (x >0)，则有x ＋1≤x 24
，即x 2－4x －4≥0， 解得：x ≥2＋22，则m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)．
答案：B
12．(2020·烟台模拟)设P 为直线3x －4y ＋4＝0上的动点，P A ，PB 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，A ，B 为切点，则四边形APBC 面积的最小值为( ) A. 3
B ．2 3 C. 5 D ．2 5
解析：圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的圆心C (2，0)，半径为1，
因为P A ，PB 为两条切线，A ，B 为切点，所以P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，
所以四边形APBC 面积为2S △P AC ＝|P A ||CA |＝
|PC |2－1，
故当|PC |最小时，四边形APBC 面积最小，
又|PC |最小值为圆心C 到直线3x －4y ＋4＝0的距离d ，
d ＝|6＋4|
32＋42＝2，故四边形APBC 面积最小值为 3.
答案：A
13．(2020·漳州测试)若曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋10y ＋a ＝0上存在不同的两点关于直线y ＝kx ＋7对称，则k ＝________．
解析：x 2＋y 2－6x ＋10y ＋a ＝0为圆的一般方程，且圆心为(3，－5)，曲线上存在不同的两点关于直线y ＝kx ＋7对称，因此直线过圆心，即－5＝3k ＋7，所以k ＝－4.
答案：－4
14．以抛物线E ：x 2＝4y 的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为__________． 解析：抛物线E ：x 2＝4y 的焦点为(0，1)，准线方程为y ＝－1，
圆与E 的准线相切，则r ＝2，
故圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝4.
答案：x 2＋(y －1)2＝4
15．(2020·潍坊模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝2，过圆C 外一点P (3，4)作圆的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为__________．
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线P A 的方程为：(x 1－1)(x －1)＋(y 1＋2)(y ＋2)＝5， 因为点P (3，4)在切线PA 上，所以切线PA 的方程为：2x 1＋6y 1＝－5，
同理，切线PB 的方程为：2x 2＋6y 2＝－5，所以直线AB 的方程为：2x ＋6y ＝－5. 答案：2x ＋6y ＋5＝0
16．(2020·江苏省如皋中学模拟)过直线x ＋y ＋2＝0上一点P ，作圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝16
的两条切线，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若y 22－y 21＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2)，
则P A ＝______． 解析：由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设AB 的中点M (x 0，y 0)，则有(x 1－3)2＋(y 1＋1)2＝16，(x 2
－3)2＋(y 2＋1)2＝16，将两式作差得，y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2－6y 1＋y 2＋2，又y 22－y 21＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2)，即y 1－y 2
x 1－x 2
＝－x 1＋x 2－2y 1＋y 2，所以－x 1＋x 2－6y 1＋y 2＋2＝－x 1＋x 2－2y 1＋y 2，所以x 0－3y 0＋1
＝x 0－1y 0，x 0＋2y 0－1＝0，所以AB 的中点M 的轨迹方程是x ＋2y －1＝0，而点P 也在直线上x ＋2y －1＝0上，
所以由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，
x ＋y ＋2＝0，
得点P (－5，3)，而圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝16的圆心C (3，－1)，半径R ＝4，所以PC ＝（－5－3）2＋（－1－3）2＝45，所以P A ＝PC 2－R 2＝8.
答案：8。