2019-2020学年辽宁省辽阳市高级中学高三数学文期末试卷含解析

2019-2020学年辽宁省辽阳市高级中学高三数学文期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且，则的取值集合是( )．
A． B． C． D．
参考答案：
C
2. 已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
参考答案：
A
3. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则
（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
考点：由图象确定函数解析式.
4. 方程的两个根为，则
A． B．C． D．
参考答案：
D
略
5. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）
A. 3
B. 6
C. 10
D. 12
参考答案：
C
【分析】
由约束条件得到可行域，可知当在轴截距最小时，最大；通过图象平移可知当过时，最大，代入求得最大值.
【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
则当在轴截距最小时，最大
由平移可知，当过时，最大
由得：
本题正确选项：C
6. 已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{b n}的连续三项，则
的值为
A． B．4 C．2 D．
参考答案：
A
7. 已知正实数a，b满足：，则
A.a<b<1
B.1<b<a
C.b<1<a
D.1<a<b
参考答案：
B
8. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A． B．1
C．2
D．4
参考答案：
B
试题分析：从三视图所提供的图形信息和数据信息可知该几何体的三棱锥,且底面三角形
的面积为,高为,故该三棱锥的体积,故应选B.考点：三视图的识读和理解.
9. 已知则（）
A．B． C． D．
参考答案：
C
10. 若（1+2x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a0+a1+a2+…+a7的值为（）
A．﹣2 B．﹣3 C．253 D．126
参考答案：
C
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项式定理可知，对已知关系式中的x赋值1即可求得a1+a2+…+a8的值．
【解答】解：∵（1+2x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，
∴a8=2?C77?（﹣2）7=﹣256．
令x=1得：（1+2）（1﹣2）7=a0+a1+a2+…+a7+a8=﹣3，
∴a1+a2+…+a7=﹣3﹣a8=﹣3+256=253．
故选：C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知圆C过点，且圆心在x轴的负半轴上，直线l：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为 .
参考答案：
12. 如图，一边长为30cm的正方形铁皮，先将阴影部分裁下，然后用余下的四个全等等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，要使这个容器的容积最大，则等腰三角形的底边长为______（cm）．
参考答案：
【分析】
设所截等腰三角形的底边边长为xcm，根据所给的数据写出四棱锥的高，即可写出四棱锥的体积，然后利用基本不等式求最值．
【详解】设所截等腰三角形的底边边长为x cm，（0＜x＜30）．
在Rt△EOF中，EF=15cm，OF= xcm，
∴．
于是
（cm3）．
当且仅当x2=1800-2x2，即x=cm时取“=”．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查棱柱体积最值的求法，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
13. （5分）（2015?嘉峪关校级三模）已知函数f（x）=xsinx+cosx，给出如命题：
①f（x）是偶函数；
②f（x）在上单调递减，在上单调递增；
③函数f（x）在上有3个零点；
④当x≥0时，f（x）≤x2+1恒成立；
其中正确的命题序号是．
参考答案：
①④
【考点】：命题的真假判断与应用．
【专题】：简易逻辑．
【分析】：①利用偶函数的定义判断；
②利用导数求解，导数大于0求增区间，导数小于0求减区间；
③研究极值、端点处的函数值的符号；
④转化为f（x）﹣（x2+1）≤0恒成立，因此只需求左边函数的最大值小于0即可．
解：对于①，显然定义域为R，f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）+cos（﹣x）=xsinx+cosx=f （x）．所以函数为偶函数，所以①为真命题；
对于②，f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，当x∈时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，故②为假命题；
对于③，令f（x）=0，所以，做出y=及y=﹣tanx在上的图象可知，它们在上只有两个交点，所以原函数在有两个零点，故③为假命题；
对于④，要使当x≥0时，f（x）≤x2+1恒成立，只需当x≥0时，f（x）﹣x2﹣1≤0恒成立，即y=xsinx+cosx﹣x2﹣1≤0恒成立，而y′=xcosx﹣2x=（cosx﹣2）x显然小于等于0恒成立，所以该函数在上的最大值．
【题文】
（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若，且，求a和c的值．
【答案】
【解析】
【考点】：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】：计算题；转化思想．
【分析】：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣
2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．
（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=．
解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，
故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，
因此．（6分）
（II）解：由，可得accosB=2，
，
由b2=a2+c2﹣2accosB，
可得a2+c2=12，
所以（a﹣c）2=0，即a=c，
所以．（13分）
【点评】：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．
14. 双曲线的渐近线方程为_________.
参考答案：
略
15. △ABC中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为___________.
参考答案：
根据余弦定理可得,即
，所以，解得，所以△ABC的
面积.
16. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上运动（不包括线段端点），且AM= BN.以下结论：①；②若点M、N分别为线段AB1、BC1的中点，则由线MN与AB1确定的平面在正方体ABCD-A1B1C1D1上的截面为等边三角形；
③四面体MBCN的体积的最大值为；④直线D1M与直线A1N的夹角为定值.其中正确的结论为______.（填序号）
参考答案：
①②③
【分析】
①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，可得四边形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA1⊥面AC，可得结论成立；
②截面为△AB1C，为等边三角形，故正确．
③设，则＝d M﹣BCN=，故③成立；
④设，当接近于0时，直线与直线的夹角接近于，当接近于1
时，夹角接近于，故④不正确；
【详解】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，∵AM＝BN，∴NE＝MF，∴四边形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA1⊥面AC，EF?面AC，∴AA1⊥EF，∴AA1⊥MN，故
①正确；
②点M、N分别为线段AB1、BC1的中点，则由线MN与AB1确定的平面在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 上的截面为△AB1C，为等边三角形，故②正确．
③设，则＝d M﹣BCN，又AM=BN=,
∴=，d M﹣BCN =，∴＝d M﹣
=，当且仅当时取得最大值，故③成立；
BCN
④设，当接近于0时，直线与直线的夹角近似于直线和直线
的夹角，接近于，当接近于1时，直线与直线的夹角近似于直线
和直线的夹角，接近于，故④不正确；
综上可知，正确的结论为①②③
故答案为：①②③
【点睛】本题考查线面平行、垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
17. 已知，，若，或
，则m的取值范围是_________。

参考答案：
首先看没有参数，从入手，显然时，；时，。

而对，或成立即可，故只要，，(*)恒成立即可．①当时，，不符合(*)式，舍去；
②当时，由<0得，并不对成立，舍去；③当时，由<0，注意，，故，所以，即，又，故，所以，又，故，综上，的取值范围是。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数．
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，对恒成立，求a的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）函数的定义域为. 若，则
………………1分
.
考虑,.
当时,即故,即,故恒成立,
此时在单调递增. ………………2分
当时,,即方程有2个根,
由根与系数关系可得,
即,故时,
此时在单调递增. ………………3分
当时,,即方程有2个根
,
由根与系数关系可得,
即,
当或时,,单调递增,
当时,,单调递减. ………………5分
此时在单调递增.
综上时,的单调增区间为.
当时，的单调增区间为，的单调减区间为. ………………6分（Ⅱ）若，则,
则令, 由,可知在有且仅有一个零点,设为
,
当时, ,即，故在单调递减，
当时, ,即，故在单调递增，
所以
又即
依题意,即，
易知在单调递增，
且，故，又，即，
易知在上单调递减，所以.………………12分
19. （本小题1４分）
已知数列满足: ,（为正整数）.
（1）令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）令，求数列{}的前n项和
（3）比较与的大小，并证明之.
参考答案：
（1）由, 得: ,
因，即当时，, --- 2分
又,，所以数列是首项和公差均为1的等差数列.
∴ ---3分
（2）由（Ⅰ）得，, ----5分
-----6分
两式错位相减得到：
，
--------8分
(3)………（*） ---9分
于是，确定与的大小关系等价于比较与的大小,由
可猜想当时，，证明如下： -------10分
证法1：（1）当时，由上验算显示成立。

（2）假设当时不等式成立，即 ----12分
则当时，
所以，当时猜想也成立,综合（1）（2）可知，对一切的正整数，都有
综上所述，当时，；当时， ------14分
略
20. （2015?河南模拟）已知函数f（x）=k﹣|x﹣3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为[﹣1，1]．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且，求证：．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法；二维形式的柯西不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）由题意可得|x|≤k的解集为[﹣1，1]，（k＞0），由绝对值不等式的解法，即可求得k=1；
（Ⅱ）将k=1代入，再由乘1法，可得a+2b+3c=（a+2b+3c）（++），展开运用基本不等式即可得证．
【解答】（Ⅰ）解：f（x+3）≥0的解集为[﹣1，1]，即为
|x|≤k的解集为[﹣1，1]，（k＞0），
即有[﹣k，k]=[﹣1，1]，
解得k=1；
（Ⅱ）证明：将k=1代入可得，
++=1（a，b，c＞0），
则a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+）
≥3+2+2+2=3+2+2+2=9，
当且仅当a=2b=3c，上式取得等号．
则有．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，注意运用不等式和方程的转化思想，运用添1法和基本不等式是解题的关键．
21. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点 D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）证明以DE∥平面PBC，只需证明DE∥PC；
（Ⅱ）证明BC⊥平面PAB，根据线面垂直的判定定理，只需证明PA⊥BC，AB⊥BC；（Ⅲ）当点F是线段AB中点时，证明平面DE F∥平面PBC，可得平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DE∥PC．
又因为DE?面PBC，PC?面PBC，
所以DE∥平面
PBC．…．
（Ⅱ）证明：因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA?平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥面ABC，
因为BC?平面ABC，
所以PA⊥BC．
又因为AB⊥BC，且PA∩AB=A，
所以BC⊥面
PAB．
…．
（Ⅲ）解：当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行．
取AB中点F，连EF，连DF．
由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．
因为点E是AC中点，点F为AB的中点，
所以EF∥BC．
又因为EF?平面PBC，BC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC．
又因为DE∩EF=E，
所以平面DEF∥平面PBC，
所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．
故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平
行．
…．
22. 如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，E是CD延长线上一点，AB=10，CD=8，
3ED=4OM，EF切圆O于F，BF交CD于G．
（1）求证：△EFG为等腰三角形；
（2）求线段MG的长．
参考答案：
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，∠FGE=∠BAF，证明∠EFG=∠FG E，即可证明：△EFG为等腰三角形；
（2）求出EF=EG=4，连接AD，则∠BAD=∠BFD，即可求线段MG的长．
【解答】（1）证明：连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，∴∠FGE=∠BAF
∵EF⊥OF，
∴∠EFG=∠BAF，
∴∠EFG=∠FGE
∴EF=EG，
∴△EFG为等腰三角形；
（2）解：由AB=10，CD=8可得OM=3，
∴ED=OM=4EF2=ED?EC=48，∴EF=EG=4，
连接AD，则∠BAD=∠BFD，∴MG=EM﹣EG=8﹣4．。