吉林省长春市实验中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试题.doc

长春市实验中学
2018-2019学年上学期期中考试
高三数学试卷（文）
注意：本试题分I 卷、II 卷，全卷满分150分。

考试用时120分钟。

第I 卷
一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1. 已知集合 P = {xeR\0<x<4},Q = {xeR\\x\< 2},则 P Q=() A. [2,4]B. (-2,4JC.
(-oo,4J D. (0,4]
2. 命题n VxG/?,x 3-3x<0M 的否定为()
| \jT
3,订的值为（） A. n Vx€/?,x 3-3x>0n B.
n
Vx€/?,x 3-3x>0u
D. "Hr 。

G 7?,x 03 一3斗)vO”
e R,xj -3x 0 >0"
C .
A. V3
B.
73
D.
5.如图，从高为力的气球（A）上测量待建规划铁桥（BC）的长，如果测得桥头（B）的俯角是桥头（C）的俯角是0,则桥BC的长为（）
A/沁也sin & sin 0B/2 竺口2
sin(2 sin 0
D
.
6. 已知｛色｝是公差为2的等差数列，S”为｛色｝的前门项和，若S 5=S 3,则玛二() A. —4 B. -3 C. -2 D. — 1
7. 已知平面向量d"满足\a\=\b\=l 若|2d —3b|=J7,则向量d#的夹角为()
9 A. 30° B. 45° C. 60° D. 120 °
TT
8. 已知函数/(%) = sin(d )x +(p)(co>Q,\(p\< —)的部分图象如图所示，则()
C. 69 = 2,0 = —
D. 3 = _、（P =—
3 2 3 9.设函数/（劝=如+厂）,则/（X ）（）
A.是奇函数，且在R 上是增函数
B.是偶函数，且在R 上有极小值
C.是奇函数，且在R 上是减函数
D.是偶函数，.且在R 上有极大值
TT
10. 设函数/(x) = sin(2x + —)的图象为C,下面结论中正确的是() A. 函数/(兀)的最小正周期是2兀
7T
B. 图象C 关于点(―,0)对称 6
TT
C. 图象C 可由函数g(x) = sin 2兀的图象向左平移一个单位得到
TT 7T
D. 函数/(x)在区间上是增函数
11. 点 M 为Z\ABC 的重心，AB 二2, BC 二 1, ZABC 二60° ,则 AW AC = () 2
A. 1
B. -V3
C. 2
D. 3
3
12. 函数/(x)=— -做在/?上有三个零点，则d 的取值范围是
C.h
sin （a-/3） cos a cos [}
cos a cos 0
2
A・（冷B （亍+00）D.匸+oo）
第II卷
二填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
TT
13.函数f(x) = sin(2x-—)的单调递减区间为
14. 函数/(x) = (X-1)的定义域为.
6
15.己知数列｛aj是递增的等比数列，且。

禺4= &色+©=6,则心的值等于
16.①在同一坐标系中，= 10g2 X与y = k)g|X的图象关于兀轴对称
2
②函数y = log.上兰是奇函数
T + x
•X +1
③函数y = ——的图彖关于(-2,1)成中心对称
x + 2
④函数』=(丄)"的最大值为丄
2 2
以上四个判断正确有____________________ (写上序号)
三.解答题(解答应有必要的文字说明和解题步骤，共计70分)
17.(本小题满分10分)
已知非零向量满足|^|=2 ,且(a+b)・(a_b) = 3 . ⑴求|b|；
(2)若Q =(2,0),求\a-b\的取值范围.
18.(本小题满分12分)
已知函数/(x) = log rt(l-a¥)( a > 0 且a H 1),
⑴若a = 2,解不等式/(x)<2；
⑵若函数/(x)在区间(0,3]±是单调增函数，求实数°的取值范围.
19. (本小题满分12分)
已知函数 /(x) = A /3 sin 2x+2cos 2 X +1(XG /?).
(1) 求/(兀)的最小值及取得最小值时所对应的兀值； (2) 求/(Q 的单调递减区间.
20. (本小题满分12分)
己知数列｛陽｝是公差为-2的等差数列，若q+2,色，為成等比数列.
(1) 求数列｛色｝的通项公式；
(2) 令b n =T-x -a n ,数列｛$｝的前斤项和为求满足S…>0成立的〃的最小值.
21.(本小题满分12分)
如图：在 AABC 中，b 2=a 2-｝-c 2-ac ，点 D 在线段 AC 上，且 AD = 2DC.
(1)若 AC = 2, AB = >/3，求 \DBC 的面积;
22.(本小题满分12分)
己知函数f(X) = ax 2 + (a — 2)% — lnx, (a G R).
(1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 若对任意%>0,都有/(%) > 0成立，求实数a 的取值范围.
(2) 若 AB = 2,BD = BI~
3
参考答案及评分参考
一、选择题： 二、填空题：
7T
5/T
13.伙兀 ——卡兀 + —\(k e Z) 14. (1,2]
3 6
15. 32 16•①②③
三•、解答题：
17.解：⑴ (a+b)・(d —b) = 3, 创2=3, .:|b|=l ； 5 分
(2)设b = (cos 0.sin ff),贝ija-b = (2—cos&,-sin0),
.•」0-肝=(2 -cos OF +(-sin OF
= 5-4cos 〃 w[l,9]
9 分
:\a-b\e[],3\.
10 分
18.解:⑴当a = 2时，原不等式可化为log 2(l-2x)<log 24.\{
1 — 2x 〉0 l-2x<4
・・・原不等式的解集为
I 2 2)
(2)设g(x) = l-O¥,则函数g(x)为减函数,
Ova <1
1-3d>()' 解得0 v a <丄，・・・实数a 的取值范围(0,-)・
3 3
TT
19•解:(1)原函数可化为/(x) = 2sin(2x + -) + 2, 6
TT
JT
当且仅当2x + - = 2^--，即x = k7r--伙wZ)时,
6 2 3
・・•函数/ (兀)在区间(0,3]±是单调增函数，・
・・
6分
10分
12分 2分 4分
/(兀)取得最小值为0；
71 TT S7T
(2) 2k7u^-<2x + -<2k7i + —,
2 6 2
Jr
解得：k/r + — <x< k7C + ——,
6 3
7T ATT
所以，函数f(x)的单调递减区间为伙兀+ —山兀+——］伙e Z). 6 3
20•解：(1) 吗+2心卫4成等比数列…・・(q —4)2=(q+2)(d|—6),
3分
解得：a 】=7 , /.a n =9-2/1.
(2)由题可知 S /f =(2°+2' +22 + +2〃T )—(7+5+3+ +9—2勿 ?分
1 _ 2〃
口-(—22+f
显然当/2<4时，S z/<0, S 5=8>0,又因为H >5时，S 〃单调递增，11分
(2)
过点C 作CE//AB 交BD 的延长线于点E ,
故满足S” > 0成立的n 的最小值为5.
21.解:(1)由 /?2 = ci~ + c~ — etc 可得，+c*2 — b~ — cic,
cos 3 =
a 2 + c 2 -
b 2
2ac
由正弦定理可得:
AB _ AC sin C sin B
解得sin C =扌,故c os C = £
•••sin“sin(B + C) = Qx9丄Q
2 4 2 4
3 + V21 ~8-
12分
3分
4分
5分
,A /3+V7
NABC _ o 6 分
8分 10分
12分
则\ABD s \DCE
又因为M = 半所以CE = \,BE = *，又因为ZABC = 60° ,
10分
所以ZBCE = 120°,
利用余弦定理可得：BE2 = BC2 4- CE2 -2BC- CEcos ZBCE,
解得BC = 2.12分
22.解：(1)解：函数/(兀)的定义域为(0,+oo),
厂宀、r . 1 2ax2 +(a-2)x-\(2x + l)(ox-l) .. 又j (兀)二2似+ (°-2)-一 = -------- ---- ——=- ------ ------ 2 分
X X X
当a<0时，在(0, +00)上，/ (x)<0,/(x)是减函数；4分
1 1
当Q >0吋，由/ (兀)=0得：x =—或兀=——•(舍)•
a 2
所以：在(0,丄)上，/(x)<0, /(尢)是减函数；
a
1
在(一,+8)上，/ (x)>0,于(兀)是增函数. 6分a
(2)对任意x>0,都有/(%)>0成立,即在(0,+oo)±/(x)n,n>0.
由(1)知：当a<0时，在(0,+oo)±/(x)是减函数，
又/(1) = 2«-2<0,不合题意8分
当。

>0时，当兀=丄时，/(尢)取得极小值也是最小值，
a
所以，/«in =/(-)= 1-- +In9 分
a a
令班G) = /(—) = 1 - — + \x\a{a > 0)
a a
~ 1 1
所以，u (d) = —,
a" a
在(0,+oo)上，比(Q)>0,U(Q)是增函数，又况(1) = 0 11分
所以：要使得/(x)min > 0,即u(a) > 0,即a>l,
12分
故a的取值范围为［1,+8)•。