2020-2021初三数学下期中一模试题含答案(3)

2020-2021初三数学下期中一模试题含答案(3)
一、选择题
1．如图，123∠∠∠==，则图中相似三角形共有（ ）
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对 2．在Rt ABC ∆中，90,2,1C AC BC ∠=︒==，则cos A 的值是( )
A ．255
B ．55
C ．52
D ．12
3．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，tan ∠B ＝2，则AC 的长为 （ ） A ．1
B ．2
C ．5
D ．25 4．已知点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则下列结论正确的是（ ）
A ．A
B 2＝A
C •BC
B ．B
C 2＝AC •BC C ．AC ＝512-BC
D ．BC ＝512-AC 5．对于反比例函数y=1x
，下列说法正确的是（ ） A ．图象经过点（1，﹣1） B ．图象关于y 轴对称
C ．图象位于第二、四象限
D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 6．河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1：3，则AC 的长是( )
A ．10米
B ．53米
C ．15米
D ．103米
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A ．五丈
B ．四丈五尺
C ．一丈
D ．五尺
8．在平面直角坐标系中，将点（2，l ）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（ ）
A ．（0，5）
B ．（5，1）
C ．（2，4）
D ．（4，2）
9．若△ABC ∽△A′B′C′且34AB A B ='',△ABC 的周长为15cm ，则△A′B′C′的周长为（ ）cm.
A ．18
B ．20
C ．154
D ．803
10．如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF ，若AD ＝OA ，则△ABC 与△DEF 的面积之比为 ( )
A ．1:2
B ．1:4
C ．1:5
D ．1:6 11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边D
E 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条边D
F ＝50cm ，EF ＝30cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝20m ，则树高AB 为（ ）
A ．12m
B ．13.5m
C ．15m
D ．16.5m
12．若270x y -=. 则下列式子正确的是（ ）
A ．72x y =
B ．27x y =
C ．27x y =
D ．27
x y = 二、填空题
13．51-的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20cm 的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是_____cm . 14．△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC 的面积是3，则△A′B′C′的面积是_____．
15．若△ABC ∽△A’B’C’，且△ABC 与△A’B’C’的面积之比为1:4，则相似比为____． 16．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数k y x
=（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部
分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为▲．
17．如图，点A在双曲线
1
y=
x
上，点B在双曲线
3
y=
x
上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，
若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．
18．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：
DB=3：2，那么BF：FC=_____．
19．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．
20．如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C′与CD交于点M，若
∠B′MD=50°，则∠BEF的度数为_____．
三、解答题
21．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，AB•CD＝BC•BD，BM∥CD交AD于点M．连接CM交DB于点N．
（1）求证：△ABD ∽△BCD ；
（2）若CD ＝6，AD ＝8，求MC 的长．
22．如图，直线123l //l //l ，直线AC 依次交1l 、2l 、3l 于A 、B 、C 三点，直线DF 依次交1l 、2l 、3l 于D 、E 、F 三点，若AB 4AC 7
=，DE 2=，求EF 的长．
23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD=∠B． (1)求证：△ABP∽△PCD；
(2)若AB=10，BC=12，当PD∥AB 时，求BP 的长．
24．已知：在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E ，且AC ⊥BD ，作BF ⊥CD ，垂足为点F ，BF 与AC 交于点C ，∠BGE=∠ADE ．
（1）如图1，求证：AD=CD ；
（2）如图2，BH 是△ABE 的中线，若AE=2DE ，DE=EG ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的2倍．
25．如图：已知▱ABCD ，过点A 的直线交BC 的延长线于E ，交BD 、CD 于F 、G ． （1）若AB ＝3，BC ＝4，CE ＝2，求CG 的长；
（2）证明：AF 2＝FG ×
FE ．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据已知及相似三角形的判定定理，找出题中存在的相似三角形即可.
【详解】
∵∠1＝∠2，∠C＝∠C，∴△ACE∽△ECD，∵∠2＝∠3,∴DE∥AB，
∴△BCA∽△ECD，∵△ACE∽△ECD，△BCA∽△ECD，∴△ACE∽△BCA，
∵DE∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∵∠1＝∠2，∴△AED∽△BAE，∴共有4对，故此选D 选项.
【点睛】
本题考查学生对相似三角形判断依据的理解掌握，也考察学生的看图分辨能力.
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦函数等于邻边比斜边，可得答案．
【详解】
如图，
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得
22=5
AC BC
+
∴cosA=
25
5
AC
AB
==，
故选A．【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据正切的定义得到BC=
12AC ，根据勾股定理列式计算即可． 【详解】
在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，tan ∠B=2， ∴AC BC
=2， ∴BC=12
AC ，
由勾股定理得，AB 2=AC 2+BC 2）2=AC 2+（
12AC ）2， 解得，AC=2，
故选B ．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切是解题的关键．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义得出
BC AC AC AB ==，从而判断各选项． 【详解】
∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，
∴12
BC AC AC AB ==，即AC 2=BC•AB，故A 、B 错误；
∴AC=12
AB ，故C 错误；
AC ，故D 正确； 故选D ．
【点睛】
本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．
5．D
解析：D 【解析】
A选项：∵1×（-1）=-1≠1，∴点（1，-1）不在反比例函数y=1
x
的图象上，故本选项错
误；
B选项：反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项错误；
C选项：∵k=1＞0，∴图象位于一、三象限，故本选项错误；
D选项：∵k=1＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故是正确的．
故选B．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．
【详解】
Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1；
∴AC=BC÷
故选：B．
【点睛】
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴
1.5 150.5
x
，
解得x=45（尺），
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系中，将点（2，l）向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变.【详解】
将点（2，l）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（5，1）.
故选：B.
【点睛】
本题运用了点平移的坐标变化规律，关键是把握好规律.
9．B
解析：B
【解析】
∵△ABC∽△A′B′C′，∴
3
4 ABC AB
A B C A B
''
=
''
=
'
的周长
的周长
，
∵△ABC的周长为15cm，∴△A′B′C′的周长为20cm．故选B．
10．B
解析：B
【解析】
试题分析：利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比．∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．
故选B．
考点：位似变换．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【详解】
∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴BC DC EF DE
=，
∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，∴由勾股定理求得DE=40cm，
∴
20 0.30.4 BC
=，
∴BC=15米，
∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．故答案为16.5m．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接利用比例的性质分别判断即可得出答案．
【详解】
∵2x -7y =0，∴2x =7y ．
A ．
72x y =，则2x =7y ，故此选项正确； B ．
27x y =，则xy =14，故此选项错误； C ．
27x y =，则2y =7x ，故此选项错误； D ．27
x y =，则7x =2y ，故此选项错误． 故选A ．
【点睛】
本题考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题的关键．
二、填空题
13．【解析】【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm 根据题意得：解方程可得【详解】设这个黄金矩形较长的边长是xcm 根据题意得：解得：x=则这个黄金矩形较短的边长是cm 故答案为：【点睛】考核知识点：黄金分
解析：(15-
【解析】
【分析】
设这个黄金矩形较长的边长是xcm ，根据题意得：220x x ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
，解方程可得. 【详解】
设这个黄金矩形较长的边长是xcm ，根据题意得：
220x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，
解得：x= 5，
5)(15=-cm ．
故答案为：(15
【点睛】
考核知识点：黄金分割点的应用.理解黄金分割的意义是关键.
14．12【解析】【分析】根据位似是相似的特殊形式位似比等于相似比其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形位似比是1：2∴△ABC∽△A′B′C′相似比是
解析：12
【解析】
【分析】
根据位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可．
【详解】
解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1：2，
∴△ABC∽△A′B′C′，相似比是1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比是1：4，又△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是12，
故答案为12．
【点睛】
本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15．1：2【解析】【分析】由△ABC相似△A′B′C′面积比为1：4根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：∵△ABC相似
△A′B′C′面积比为1：4∴△ABC与△A′B′C′的相似比
解析：1：2
【解析】
【分析】
由△ABC相似△A′B′C′，面积比为1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解.
【详解】
解：∵△ABC相似△A′B′C′，面积比为1：4，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为：1：2，故答案为: 1：2.
【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方.
16．【解析】待定系数法曲线上点的坐标与方程的关系反比例函数图象的对称性正方形的性质【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的设小正方形的边长为b图中阴影部分的面积等于9可求出b
解析：
3
y
x =．
【解析】
待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质．【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，从而可得出直线AB的表达式，再根据点P（3a，a）在直线AB上可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式：
∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积．
设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=6．
∵正方形的中心在原点O，∴直线AB的解析式为：x=3．
∵点P（3a，a）在直线AB上，∴3a=3，解得a=1．∴P（3，1）．
∵点P在反比例函数
3
y
x
=（k＞0）的图象上，∴k=3×1=3．
∴此反比例函数的解析式为：．
17．2【解析】【分析】【详解】如图过A点作AE⊥y轴垂足为E∵点A在双曲线上∴四边形AEOD的面积为1∵点B在双曲线上且AB∥x轴∴四边形BEOC的面积为3∴四边形ABCD为矩形则它的面积为3－1＝2
解析：2
【解析】
【分析】
【详解】
如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线
1
y=
x
上，∴四边形AEOD的面积为1
∵点B在双曲线
3
y=
x
上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2
18．3:2【解析】因为DE∥BC所以因为EF∥AB所以所以故答案为:3:2 解析：3:2
【解析】
因为DE∥BC,所以
3
2
AD AE
DB EC
==,因为EF∥AB,所以
2
3
CE CF
EA BF
==,所以
3
2
BF
FC
=,故答
案为: 3:2.
19．【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC可设BC=x只需求出BC 即可求出图中阴影部分的面积【详解】如图所示：设BC＝x则CE＝1﹣x∵AB∥EF ∴△ABC∽△FEC∴＝∴＝解得x＝∴阴影
解析：1 6
【解析】
【分析】
由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】
如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，
∵AB∥EF，
∴△ABC∽△FEC
∴AB
EF
＝
BC
CE
，
∴1
2
＝
x
1x
-
解得x＝1
3
，
∴阴影部分面积为：S△ABC＝1
2
×
1
3
×1＝
1
6
，
故答案为：1
6
．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比
例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.
20．70°【解析】【分析】设∠BEF=α则∠EFC=180°﹣α∠DFE=∠BEF=α∠CFE=40°+α依据∠EFC=∠EFC即可得到180°﹣α=40°+α进而得出∠BEF的度数【详解】∵∠C=∠C
解析：70°
【解析】
【分析】设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，依据
∠EFC=∠EFC'，即可得到180°﹣α=40°+α，进而得出∠BEF的度数．
【详解】∵∠C'=∠C=90°，∠DMB'=∠C'MF=50°，
∴∠C'FM=40°，
设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，
由折叠可得，∠EFC=∠EFC'，
∴180°﹣α=40°+α，
∴α=70°，
∴∠BEF=70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.三、解答题
21．（1）见解析；（2）MC＝.
【解析】
【分析】
（1）由两组边成比例，夹角相等来证明即可；
（2）由相似三角形的性质得边成比例，进而利用勾股定理求得BC，再判定∠MBC＝90°，最后由勾股定理求得MC的值即可．
【详解】
（1）证明：∵AB•CD＝BC•BD
∴AB
BC
＝
BD
CD
在△ABD和△BCD中，∠ABD＝∠BCD＝90°∴△ABD∽△BCD；
（2）∵△ABD∽△BCD
∴AD
BD
＝
BD
CD
，∠ADB＝∠BDC
又∵CD＝6，AD＝8∴BD2＝AD•CD＝48
∴BC
∵BM∥CD
∴∠MBD ＝∠BDC ，∠MBC ＝∠BCD ＝90°
∴∠ADB ＝∠MBD ，且∠ABD ＝90°
∴BM ＝MD ，∠MAB ＝∠MBA
∴BM ＝MD ＝AM ＝4
∴MC ．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与勾股定理的运用.
22．5
【解析】
【分析】 利用平行线分线段成比例定理得到
AB DE AC DF
=，然后把有关数据代入计算即可． 【详解】 123l //l //l ，直线AC 依次交1l 、2l 、3l 于A 、B 、C 三点，直线DF 依次交1l 、2l 、3l 于D 、E 、F 三点，
AB DE AC DF
∴=， AB 4AC 7
=，DE 2=， 427DF
∴=， 解得：DF 3.5=，
EF DF DE 3.52 1.5∴=-=-=．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 23．(1)证明见解析；(2)BP=
253. 【解析】
【分析】
（1）由题意可得∠ABC ＝∠ACB ，∠DPC ＝∠BAP ，可证△ABP ∽△PCD ；
（2））由△ABP ∽△PCD ，可得PC AB CD BP =，由PD ∥AB ，可得PC BC CD AC
=，即AB BC BP AC
=，可求BP 的长． 【详解】
（1）∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ．
∵∠APC ＝∠ABC +∠BAP ，∴∠APD +∠DPC ＝∠ABC +∠BAP ，且∠APD ＝∠B ，∴∠DPC ＝∠BAP 且∠ABC ＝∠ACB ，∴△BAP ∽△CPD ．
（2）∵△ABP∽△PCD，∴PC CD
AB BP
=即
PC AB
CD BP
=．
∵PD∥AB，∴PC CD
BC AC
=即
PC BC
CD AC
=，∴
AB BC
BP AC
=，∴
1012
10
BP
=，∴BP
25
3
=．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是本题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
【解析】
分析：（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；
（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知
S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．
详解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，
∴∠ADE=∠CGF，
∵AC⊥BD、BF⊥CD，
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，
∴∠DAE=∠GCF，
∴AD=CD；
（2）设DE=a，
则AE=2DE=2a，EG=DE=a，
∴S△ADE=1
2
AE×DE=
1
2
×2a×a=a2，
∵BH是△ABE的中线，∴AH=HE=a，
∵AD=CD、AC⊥BD，
∴CE=AE=2a，
则S△ADC=1
2
AC•DE=
1
2
•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；
在△ADE和△BGE中，
∵
AED BEG DE GE
ADE BGE ∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪∠∠
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ADE≌△BGE（ASA），∴BE=AE=2a，
∴S△ABE=1
2
AE•BE=
1
2
•（2a）•2a=2a2，
S△ACE=1
2
CE•BE=
1
2
•（2a）•2a=2a2，
S△BHG=1
2
HG•BE=
1
2
•（a+a）•2a=2a2，
综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．
25．（1）1；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，证明△EGC∽△EAB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；
（2）分别证明△DFG∽△BFA，△AFD∽△EFB，根据相似三角形的性质证明．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EGC∽△EAB，
∴CG EC
AB EB
=，即
2
324
CG
=
+
，
解得，CG＝1；（2）∵AB∥CD，∴△DFG∽△BFA，
∴FG DF FA FB
=，
∴AD∥CB，
∴△AFD∽△EFB，
∴AF DF FE FB
=，
∴FG AF
FA FE
=，即AF2＝FG×FE．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。