2021年中考数学 一轮专题训练：菱形性质与判定综合(四)

2021年中考数学一轮专题训练：
菱形性质与判定综合（四）
1．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△AEC≌△DFB；
（2）若∠EBD＝60°，BE＝BC，求证四边形BFCE是菱形．
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接AF．
（1）求证：AD＝CF．
（2）请你再添加一个条件（不再添加辅助线），使四边形AFCD是菱形，并说明理由．
3．如图，点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．
（1）试判断四边形AECF的形状；
（2）若AE＝BE，∠BAC＝90°，求证：四边形AECF是菱形．
4．给出如下定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC、BD相交于点O．在OC上截取OE ＝OA，连接BE、DE．
（1）求证：AC垂直平分BD；
（2）判断四边形ABED的形状．
5．如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．
6．如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，
求证：OE⊥DC．
7．在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形．
（2）连接CE，若CE＝EF，CE＝5，求AB的长．
8．如图，EF是平行四边形ABCD的对角线BD的垂直平分线，EF与边AD、BC分别交于
点E、F．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若ED＝5，BD＝8，求菱形BFDE的面积．
9．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为CD、BC上两点，AF平分∠BAE，∠EAD＝∠FEC．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若∠B＝90°，AF与DC的延长线交于点H，求证：四边形ABHE为菱形；
（3）在（2）的条件下，若DH＝16，AD＝8，直接写出AF的长为．
10．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上任意一点，E是BC边上的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）如图2，若D为AB中点，求证：四边形CDBF是菱形；（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面积．
参考答案1．证明：（1）∵AB＝DC，
∴AB+BC＝DC+BC，
即AC＝DB，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（SAS）；
（2）∵△ACE≌△DBF，
∴EC＝BF，∠ECA＝∠FBD，
∴EC∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵∠EBD＝60°，BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴EB＝EC，
∴四边形BFCE是菱形．
2．（1）证明：在△DEA和△FEC中，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠EFC．
又∵E为AC的中点，
∴AE＝CE．
在△DEA与△FEC中，，∴△DEA≌△FEC
∴AD＝CF；
（2）解：添加DA＝DC．
证明：∵AD∥BC，
又∵AD＝CF，
∴四边形AFCD为平行四边形．
又∵DA＝DC，
∴四边形AFCD为菱形．
3．（1）解：四边形AECF为平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
又∵BE＝DF，∴AF＝CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）证明：∵AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠BCA＝90°，∠CAE+∠BAE＝90°，∴∠BCA＝∠CAE，
∴AE＝CE，
又∵四边形AECF为平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
4．证明：（1）∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．（2分）
∵BC＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上．（4分）
∴AC垂直平分BD．（5分）
（2）∵AC垂直平分BD．
∴OB＝0D，
∵OE＝OA，（6分）
∴四边形ABED是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（7分）又AB＝AD，
∴▱ABED是菱形．（一组邻边相等的平行四边形是菱形）（8分）
5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，EF⊥AC，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，
∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC⊥AB，
∴EF∥AB，
∴∠OEC＝∠B＝30°，
∴OC＝CE＝1，OE＝OC＝，
∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．6．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵ABCD是矩形，∴OC＝OD．
∴四边形OCED是菱形，
∴OE⊥CD．
7．解：（1）∵E为AD中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴△AFE∽△DBE，
∴，
∴AF＝DB，
∵AD是直角三角形CAB斜边CB上的中线，
∴AD＝BD＝DC，
∴AF＝DC，
∵AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DC＝DB，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）∵CE＝EF＝BE，
∴∠FCB＝90°，
∵四边形ADCF是菱形，
∴四边形ADCF是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∵DC＝DB，AD⊥BC，
∴AC＝AB，
∴AD＝CD＝DB，设AE＝DE＝x，则CD＝BD＝AD＝2x，∵EC2＝CD2+DE2，
∴5x2＝25，
∴x＝（负根已经舍弃），
∴AD＝BD＝CD＝2，
∴AB＝AD＝2．
8．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，OB＝OD
∵∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB
∴△OED≌△OFB
∴DE＝BF
又∵ED∥BF
∴四边形BEDF是平行四边形
∵EF⊥BD
∴四边形BFDE是菱形；
（2）∵四边形BFDE是菱形，BD＝8
∴OD＝BD＝4
∵ED＝5
∴OE＝3
∴EF＝6
∴菱形BFDE的面积为：×8×6＝24
答：菱形BFDE的面积为24．
9．（1）证明：∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠EAD+∠D，∠EAD＝∠FEC，
∴∠AEF＝∠D，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∴∠B＝∠AEF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠EAF，
在△ABF和△AEF中，，∴△ABF≌△AEF（AAS），
∴AB＝AE；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠BAF＝∠EHA，
∵∠BAF＝∠EAF，
∴∠EHA＝∠EAF，
∴AE＝HE，
∵AB＝AE，
∴AB＝EH，
∴四边形ABHE是平行四边形，
又∵AB＝AE，
∴四边形ABHE为菱形；
（3）解：∵四边形ABHE为菱形，
∴AE＝BH＝EH，
设AE＝BH＝EH＝x，
∵平行四边形ABCD中，∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝8，∠D＝∠BCD＝90°，
在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，即：82+（16﹣x）2＝x2，解得：x＝10，
∴CH＝＝＝6，
同理，DE＝6，
∴CE＝EH﹣CH＝10﹣6＝4，
∴AB＝CD＝DE+CE＝6+4＝10，
∵∠EAD＝∠FEC．∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠FEC+∠AED＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∵AF平分∠BAE，
∴BF＝EF，
设BF＝EF＝m，
在Rt△FCE中，EF2＝FC2＝EC2，即m2＝42+（8﹣m）2，解得：m＝5，
∴AF＝＝＝5；
故答案为：5．
10．（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE＝BE．
∵∠CEF＝∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA），
∴CF＝BD，且CF∥AB，
∴四边形CDBF是平行四边形．
（2）∵D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝CD＝BD，且四边形CDBF是平行四边形，∴四边形CDBF是菱形，
（3）如图，作EM⊥DB于点M，
在Rt△EMB中，EM＝BE•sin∠ABC＝2，
∴BM＝2
在Rt△EMD中，∵∠EDM＝30°，
∴DM＝ME＝2，
∴BD＝2+2
∴△BDE面积＝×BD×ME＝×2×（2+2）＝4+4。