专题17 三角函数概念与诱导公式 (教师版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

【考点预测】
知识点一：三角函数基本概念1．角的概念
(1)任意角：①高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
专题17三角函数概念与诱导公式
定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360．
(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(4)
象限角的集合表示方法：
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．(2)角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒,rad 180
1π
=
︒,π
︒
=
180rad 1．
(3)扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22
1
21r lr S ⋅==α．3．任意角的三角函数
(1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=
x x
y
α．(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =
αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x x
y
α三角函数的性质如下表：
三角函数定义域
第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号αsin R ＋＋－－α
cos R
＋
－
－
＋
αtan }2
|{Z k k ∈+
≠，π
παα＋－＋－
记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T ．
三角函数线
有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线
知识点二：同角三角函数基本关系1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：1cos sin 22=+αα．(2)商数关系：
)2
(tan cos sin ππ
ααααk +≠=；知识点三：三角函数诱导公式
公式一
二
三四五六
角)(2Z k k ∈+απα
π+α
-α
π-α
π
-2
α
π
+2
正弦αsin αsin -αsin -αsin αcos α
cos 余弦α
cos α
cos -α
cos α
cos -αsin α
sin -正切αtan αtan αtan -α
tan -口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2
n π
α⋅±；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2
n π
α⋅
±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【方法技巧与总结】
1．利用1cos sin 22=+αα可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用
αα
α
tan cos sin =可以实现角α的弦切互化．2．“ααααααcos sin cos sin cos sin -+，，
”方程思想知一求二．222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα+=++=+222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα-=+-=-22(sin cos )(sin cos )2
αααα++-=
【题型归纳目录】
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别题型二：等分角的象限问题
题型三：弧长与扇形面积公式的计算题型四：三角函数定义题
题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值
题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的题型七：诱导求值与变形
【典例例题】
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别例1．（2022·全国·高三专题练习）与角94
π
的终边相同的角的表达式中，正确的是（）
A ．245k π+ ，k Z ∈
B ．93604
k π
⋅+
，k Z ∈C ．360315k ⋅- ，k Z ∈D ．54
k π
π+
，k Z ∈【答案】C 【解析】【分析】要写出与94
π
的终边相同的角，只要在该角上加2π的整数倍即可．【详解】
首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB 错误；又与
94
π的终边相同的角可以写成9
2()4k k Z ππ+∈，
所以C 正确．故选：C ．
例2．（2022·全国·高三专题练习）若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（
）
A ．2,4k k π
ααπ⎧⎫=-∈⎨⎬
⎩⎭Z B ．32,4k k π
ααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k π
ααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D ．,4k k π
ααπ⎧⎫=-∈⎨⎬
⎩⎭
Z 【答案】D 【解析】【分析】
根据若,αβ终边相同，则2,k k Z βπα=+∈求解.
【详解】
解：
，由图知，
角α的取值集合为:
()32,2,4421,2,44,4k k Z k k Z k k Z k k Z k k Z ππ
ααπααπππ
ααπααππ
ααπ⎧⎫⎧⎫=+∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
⎧⎫⎧⎫==+-∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬
⎩⎭⎩⎭
⎧⎫==-∈⎨⎬
⎩⎭故选：D.【点睛】
本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.例3．（2022·上海市嘉定区第二中学高一阶段练习）设集合
{}{}|45180,|135180,A k k Z k k Z αααα==︒+⋅︒∈⋃=︒+⋅︒∈，集合{}|4590,B k k Z ββ==︒+⋅︒∈，则（
）
A ．A
B =∅ B ．A B
C ．B A
D ．A B
=【答案】D 【解析】【分析】
考虑A 中角的终边的位置，再考虑B 中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.【详解】
.45180,k k Z α=︒+⋅︒∈表示终边在直线y x =上的角，
135180,k k Z α=︒+⋅︒∈表示终边在直线y x =-上的角，
而4590,k k Z β=︒+⋅︒∈表示终边在四条射线上的角，
四条射线分别是射线,0;,0;,0;,0y x x y x x y x x y x x =≥=-≤=≤=-≥，它们构成直线y x =、直线y x =-，故A B =.故选：D.【点睛】
本题考查终边相同的角，注意180k α⋅︒+的终边与α的终边的关系是重合或互为反向延长线，而90k α⋅︒+的终边与α的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题.
（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，
那么αβ-的可能值为（）
A ．90︒
B ．360︒
C ．450︒
D ．2330︒
【答案】AC 【解析】
根据终边相同可得角与角之间的关系，从而可得αβ-的代数形式，故可得正确的选项.【详解】
因为角α与角45γ+︒的终边相同，故45360k γα ，其中k Z ∈，同理145360k βγ=-︒+⋅︒，其中1k Z ∈，故90360n αβ-=︒+⋅︒，其中n Z ∈，
当0n =或1n =时，90αβ-=︒或450αβ-=︒，故AC 正确，令36090360n ︒=︒+⋅︒，此方程无整数解n ；
令903060233n =︒+⋅︒︒即569n =，此方程无整数解n ；故BD 错误.故选：AC.
（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（）
A ．90αβ+=︒
B ．180αβ+=︒
C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈Z
D ．()()
21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】
根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z ，逐一判断正误即可.【详解】
根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z 可知，
选项B 中，180αβ+=︒符合题意；选项D 中，()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 符合题意；选项AC 中，可取0,90αβ=︒=︒时显然可见α和β的终边不关于y 轴对称.故选：BD.
例6．（2022·全国·高三专题练习）写出两个与11
3
π-终边相同的角___________．【答案】3
π
，53
π
-
(其他正确答案也可)【解析】【分析】
利用终边相同的角的定义求解.【详解】
设α是与11
3
π-
终边相同的角，则112,3
k k Z π
απ=-
∈，令1k =，得53πα=-，令2k =，得3
π
α=，
故答案为：
3
π
，53
π
-
(其他正确答案也可)【方法技巧与总结】
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．题型二：等分角的象限问题
例7．（2022·浙江·高三专题练习）若18045,k k Z α=⋅+∈ ，则α的终边在（）
A ．第一、三象限
B ．第一、二象限
C ．第二、四象限
D ．第三、四象限
【答案】A 【解析】【分析】
分21,k n n Z =+∈和2,k n n =∈Z 讨论可得角的终边所在的象限.【详解】
解：因为18045,k k Z α=⋅+∈ ，所以
当21,k n n Z =+∈时，218018045360225,n n n Z α=⋅++=⋅+∈ ，其终边在第三象限；当2,k n n =∈Z 时，21804536045,n n n Z α=⋅+=⋅+∈ ，其终边在第一象限.综上，α的终边在第一、三象限.故选：A.
例8．（2022·全国·高三专题练习（理））角α的终边属于第一象限，那么3
α
的终边不可能属于的象限是（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D 【解析】【分析】
由题意知，222
k k π
παπ<<
+，k Z ∈，即可得
3
α
的范围，讨论3k n =、31k n =+、32k n =+()n Z ∈对应
3
α
的
终边位置即可.【详解】
∵角α的终边在第一象限，∴222
k k π
παπ<<
+，k Z ∈，则
223363
k k παππ
<<+，k Z ∈，当3()k n n Z =∈时，此时
3
α
的终边落在第一象限，
当31()k n n Z =+∈时，此时
3
α
的终边落在第二象限，当32()k n n Z =+∈时，此时
3
α
的终边落在第三象限，
综上，角α的终边不可能落在第四象限，故选：D.
例9．（2022·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（）
A ．sin
2
θ
B ．cos
2
θ
C ．sin 2θ
D ．cos 2θ
【答案】C 【解析】
表示出第二象限角的范围，求出2θ和2
θ
所在象限，确定函数值的符号．
【详解】
因为θ是第二象限角，所以22,2
k k k Z π
πθππ+
<<+∈，
则4242,k k k Z ππθππ+<<+∈，
所以2θ为第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上，，所以sin 2θ<0.而,4
2
2
k k k Z π
θ
π
ππ+
<
<+
∈，
2
θ
是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数．
故选：C ．
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知角α第二象限角，且cos cos
2
2
α
α
=-，则角
2
α
是（）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
【答案】C 【解析】【分析】
由α是第二象限角，知
2
α
在第一象限或在第三象限，再由cos
cos
2
2
α
α
=-，知cos
02
α
≤，由此能判断出
2
α
所
在象限．【详解】
因为角α第二象限角,所以()90360180360Z k k k α+⋅<<+⋅∈
，
所以()4518090180Z 2
k k k α
+⋅<
<+⋅∈
，
当k 是偶数时，设()2Z k n n =∈，则()4536090360Z 2
n n n α
+⋅<
<+⋅∈
，
此时
2
α
为第一象限角；
当k 是奇数时，设()21Z k n n =+∈，则()225360270360Z 2
n n n α
+⋅<
<+⋅∈
，
此时
2
α
为第三象限角.；
综上所述：2
α
为第一象限角或第三象限角，
因为cos
cos
2
2
α
α
=-，所以cos
02
α
≤，所以
2
α
为第三象限角．
故选：C ．
【方法技巧与总结】
先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）n
α
的象限分布图示．
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
例11．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．
【答案】2
sin1;2
11
sin 1tan1
-.【解析】【分析】
（1）利用弧长公式解决，那么需要算出半径和圆心角；（2）用扇形的面积减去三角形的面积即可.【详解】
由题意可知：11
1,,sin1sin1tan1tan1
===
===AC BC BC AC AO OC ，
所以弧AB 长122sin1sin1=⨯=，弧田的面积2
2111111222sin12tan1sin 1tan1⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭扇形AOB AOB S S ，故答案为：
2sin1；211sin 1tan1
-.例12．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆
弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，
CD AB ⊥．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2
CD
s AB OA
=+
．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）
A B C D 【答案】B 【解析】【分析】
连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案.【详解】
解：如图，连接OC ，因为C 是AB 的中点，所以OC AB ⊥，
又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线，即2OD OA OB ===，又60AOB ∠=︒，所以2AB OA OB ===，
则OC =2CD =
所以()
2
2
222
CD s AB OA =+=+
=
故选：B.
例13．（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r 的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB
，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB
.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（
）
A
B
C
D
2
-【答案】D 【解析】【分析】
记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果.【详解】
记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，由题意可得，2112S r α=
，21S S =2S r π=，
所以(
)
12
2124S S
r
αππ
==，
因为剪下扇形OAB ，
所以
22r r r παπ-=
(3απ=，
所以(
)
()()
2113244S S απ
π
π
==
=
=.
故选：D.
例14．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且1AD =，则扇形OAD 的面积是__________.
【答案】6π
##16π
【解析】【分析】
计算AOD ∠，再利用扇形的面积公式求解.【详解】
由题意可知，圆O 的半径为1，即1OA OD ==，又1AD =，所以OAD △为正三角形，∴3
AOD π
∠=
，
所以扇形OAD 的面积是221112236
S r AOD ππ
=⨯⨯∠=⨯⨯=.
故答案为：
6
π
例15．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .
【答案】10π【解析】【分析】
设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，根据扇形ABC 的面积S 为22225cm π，由2
12252rl π=得到rl ，然
后由纸叠扇的周长2C r l =+，利用基本不等式求解.【详解】
解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12
S rl =
.由题意得2
12252
rl π=，所以2450rl π=.
所以纸叠扇的周长260C r l π=+≥==，
当且仅当22,
450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立，所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =，所以()1
152
BD BD cm π+
=，所以()3
152BD cm π=，
故()10BD cm π=.故答案为：10π
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm 2.【答案】121
【解析】【详解】24l r +=，则()211
42222
S lr r r r r =
=-=-+，则1,2r l ==时，面积最大为1，此时圆心角2l
r
α ，
所以答案为1；2；1.【方法技巧与总结】
（1）熟记弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝1
2|α|r 2（弧度制(0,2]απ∈）
（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法题型四：三角函数定义题
例17．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角θ的终边过点()1,1A -，则sin()6
π
θ-=（
）
A
B
C
D
【答案】D 【解析】【分析】
由任意三角形的定义求出sin ,cos θθ，由两角差的正弦公式代入即可求出sin()6π
θ-.
【详解】
因为角θ的终边过点()1,1A -
，由任意三角形的定义知：sin θθ=
=
sin()sin cos cos sin 666πππ
θθθ-=-=
故选：D.
例18．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知角α
的终边经过点(-，则()tan sin 232πααπ⎛
⎫++-= ⎪⎝
⎭（
）
A ．
3
2
B ．34
-
C
．D
【答案】D 【解析】【分析】
利用三角函数的定义、诱导公式、二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值.【详解】
依题意，由三角函数的定义可知tan α=()2
2sin cos 2sin cos 2tan sin 23sin 22sin sin cos cos 2παπαααααπαπαααα⎛
⎫+ ⎪
⎛⎫⎝⎭++-=-=-- ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝
⎭222
12sin cos 2tan tan sin cos tan 1ααααααα=-
-===++故选：D.
例19．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边上一点()sin 3,cos3P ，若02απ≤≤，则α=（
）A ．3B ．
32
π
-C ．
532
π
-D ．32
π
-
【答案】C
【分析】
根据三角函数的定义求出tan α，结合诱导公式即可得解，注意角所在的象限.【详解】
解：因为角α的终边上一点()sin 3,cos3P ，所以cos31
tan 0sin 3tan 3
α=
=<，又cos 30,sin 30<>，所以α为第四象限角，所以23,Z 2
k k π
απ=+
-∈，
又因02απ≤≤，所以532
πα=
-.故选：C.
例20．（2022·北京·二模）已知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（
）
A ．2425
-
B ．725
-
C ．
725
D ．
2425
【答案】A 【解析】【分析】
根据终边上的点确定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求sin 2α.【详解】
由题设43sin ,cos 55
αα==-，而4324
sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-.
故选：A
【方法技巧与总结】
（1）任意角的正弦、余弦、正切的定义；题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值
例21．（2022·全国·高三专题练习）如果cos 0θ<，且tan 0θ<，则sin cos cos θθθ-+的化简为_____.【答案】sin θ【解析】【分析】
由cos 0θ<，且tan 0θ<，得到θ是第二象限角，由此能化简sin cos cos θθθ-+．
解：∵cos 0θ<，且tan 0θ<，∴θ是第二象限角，∴sin cos cos sin cos cos sin θθθθθθθ-+=-+=．故答案为：sin θ．
例22．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【解析】【分析】
根据sin cos 0αα⋅<可知α是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果.【详解】
sin cos 0αα⋅< ，α 是第二或第四象限角；
当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<；
当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意；综上所述：α是第二象限角.故选：B.
例23．（2022·浙江·模拟预测）已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要
【答案】B 【解析】【分析】
利用定义法进行判断.【详解】
充分性：当cos 0θ>时，不妨取cos 1,0θθ==时轴线角不成立.故充分性不满足；必要性：角θ为第一或第四象限角，则cos 0θ>，显然成立.故选：B.
例24．（2022·重庆·高三开学考试）若tan 0θ>，则下列三角函数值为正值的是（）
A ．sin θ
B ．cos θ
C ．sin 2θ
D ．cos 2θ
【答案】C 【解析】【分析】
结合诱导公式、二倍角公式判断出正确选项.【详解】
sin tan 0sin cos 0sin 22sin cos 0cos θ
θθθθθθθ
=>⇒⋅>⇒=>，所以C 选项正确.当5π4θ=
时，5ππ
tan 0,sin 0,cos 0,cos 2cos
cos 022
θθθθ><<===，所以ABD 选项错误.故选：C
例25．（2022·全国·高三专题练习（理））我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点()cos ,tan P αα在第三象限，则角α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【解析】【分析】
本题首先可以根据题意得出cos 0α<、tan 0α<，然后得出sin 0α>，即可得出结果.【详解】
因为点()cos ,tan P αα在第三象限，所以cos 0α<，tan 0α<，
则sin 0α>，角α的终边在第二象限，故选：B.
例26．（2022·全国·高三专题练习（理））已知sin 0,cos 0αα><，则（）
A ．sin 20α>
B ．cos20
α<C ．tan
02
α
>D ．sin
2
α
<【答案】C 【解析】【分析】
由条件得到角α所在的象限，从而得到2
α
所在的象限，这样就可以得到答案.
【详解】
由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2
α
为第一或第三象限角，所以tan
02
α
>．
故选：C.
例27．（2022·江西南昌·三模（文））若角α的终边不在坐标轴上，且sin 2cos 2αα+=，则tan α=()
A ．
43
B ．
34
C ．
23
D ．
32
【答案】A 【解析】【分析】
结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出cos α，从而求出sin α，根据sin tan cos α
αα
=即可求得结果．【详解】
22sin cos 13
cos 5sin 2cos 2
ααααα⎧+=⇒=⎨
+=⎩或cos 1α=，∵α的终边不在坐标轴上，∴3
cos 5
α=
，∴34sin 2255α=-⨯=，∴sin 4
tan cos 3ααα=
=．故选：A ．
例28．（2022·全国·高三专题练习（理））若α是第二象限角，则下列不等式正确的是（）
A ．()cos 0α->
B ．tan
02
α
>C ．sin 20
α>D ．()sin 0
α->【答案】B 【解析】【分析】
根据α是第二象限角，分别求出四个选项中角所在的象限，再判断三角函数的符号，即可求解.【详解】对于A ：因为
()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()π
π2π2πZ 2
k k k α--<-<--∈，所以α-是第三象限角，所以()cos 0α-<，故选项A 不正确；对于B ：因为
()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππ
ππZ 422
k k k α+<<+∈，当()2Z k n n =∈时，()ππ2π2πZ 422n n n α+<<+∈，此时2α
是第一象限角，当()21Z k n n =+∈时，()5π3π2π2πZ 422n n n α+<<+∈，此时2
α
是第三象限角，所以
2
α
是第一或第三象限角，所以tan
02
α
>，故选项B 正确；
对于C ：因为
()π
2ππ2πZ 2
k k k α+<<+∈，所以()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，所以2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴，所以sin 20α<，故选项C 不正确；对于D ：因为
()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()π
π2π2πZ 2
k k k α--<-<--∈，所以α-是第三象限角，所以()sin 0α-<，故选项D 不正确；故选：B.
【方法技巧与总结】
正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．
题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的例29．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若tan 2θ=-，则2sin 2cos 1
θ
θ+的值为___________.
【答案】23
-【解析】【分析】
利用二倍角公式和同角三角函数平方关系可构造正余弦齐次式，分子分母同除2cos θ，代入tan θ即可得到结果.【详解】
2222sin 22sin cos 2tan 42
cos 12cos sin 2tan 243
θθθθθθθθ===-=-++++.
故答案为：23
-.
例30．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知tan 3α=，则22
sin 22sin cos2cos -=-αα
αα___________．【答案】43
【解析】【分析】
根据二倍角公式，结合同角三角函数齐次式关系求解即可.【详解】
解：22222222
sin 22sin 2sin cos 2sin 2tan 2tan 23234cos2cos sin tan 33---⨯-⨯====----ααααααααααα．故答案为：
4
3
例31．（2022·广东惠州·一模）已知tan 2α=，3
2παπ<<，则cos sin αα-=（
）
A B ．C D ．【答案】A 【解析】【分析】
由sin tan 2cos α
αα
==及22sin cos 1αα+=解出sin α与cos α即可求解.【详解】
因为sin tan 2cos ααα
=
=，且22sin cos 1αα+=，3
2παπ<<，
所以sin α=
cos α=，
所以cos sin αα⎛-== ⎝⎭
.故选：A.
例32．（2022·全国·模拟预测）已知0πA <<，1sin cos 5A A +=，则
1sin 21cos 2A
A
-=+（）
A ．
1
32
B ．
118
C ．
4918
D ．49
32
【答案】C 【解析】【分析】
结合同角的平方关系以及二倍角公式即可求出结果.【详解】由1sin cos 5A A +=及22sin cos 1A A +=，解得4sin 5A =，3cos 5A =-或4cos 5A =，3
sin 5
A =-.因为sin 0A >，所以4sin 5A =
，3cos 5A =-，所以24sin 22sin cos 25A A A ==-，22
7cos 2cos sin 25
A A A =-=-，所以
24
11sin 2492571cos 218
125A A +
-==+-，故选：C.
例33．（2022·海南·模拟预测）已知角α为第二象限角，tan 3α=-，则cos α=（）
A
．B
C
．D
【答案】A 【解析】【分析】
由角所在的象限及同角三角函数的平方关系、商数关系求cos α即可.【详解】
因为α是第二象限角，
所以sin 0α>，cos 0α<，
由sin tan 3cos α
αα==-，22sin cos 1αα+=，可得：cos α=故选：A.
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知(,22
ππ
α∈-，且212sin 5cos 9αα-=，则cos 2=α（
）
A ．
1
3
B ．79
-
C ．34
-
D ．
18
【答案】B 【解析】【分析】
利用同角公式化正弦为余弦，求出cos α的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得.【详解】
依题意，原等式化为：212(1cos )5cos 9αα--=，整理得：(4cos 3)(3cos 1)0αα+-=，因(,)22ππ
α∈-
，则cos 0α>，解得：1
cos 3
α=，所以2
2
17cos 22cos 12139αα⎛⎫
=-=⨯-=- ⎪⎝⎭.
故选：B
例35．（2022·全国·高三阶段练习（理））若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则sin (1sin 2)
sin cos θθθθ+=+（
）
A ．6
5-B ．25
-C ．
65D ．
25
【答案】C 【解析】【分析】
由已知得sin 3cos θθ=，从而sin ,cos θθ同号，即sin cos 0>θθ，然后由平方关系求得22cos ,sin θθ，进而求得sin cos θθ，求值式应用二倍角公式和平方关系变形后可得结论．【详解】因为
sin cos 2sin cos θθ
θθ
+=-，所以sin 3cos θθ=，所以sin ,cos θθ同号，即sin cos 0>θθ，
22222sin cos 9cos cos 10cos 1θθθθθ+=+==，2
1cos 10θ=
，从而2
9sin 10
θ=，
229sin cos 100θθ=
，所以3sin cos 10
θθ=，22sin (1sin 2)sin (sin cos 2sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++2936sin sin cos 10105θθθ=+=+=．
故选：C ．
例36．（2022·广东广州·三模）已知sin cos x x +=()0,πx ∈，则cos2x 的值为（）
A ．1
2B C ．12
-
D ．【答案】D 【解析】【分析】
将sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,结合sin cos x x +=求出x 的范围，再利用
22cos 2sin 21x x +=求解即可.
【详解】
解：将sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,所以π(,π)2
x ∈，
又因为sin cos x x +=
０，所以π3π(,24x ∈，2x 3π
(π,)2∈,
又因为sin2x =-1
2,
所以cos2x 故选：D.
例37．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1
sin cos 5θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cos θθ-=（
）
A ．
15
B ．15
-
C ．
75
D ．75
-
【答案】C 【解析】【分析】
利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.【详解】
()
2
1sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=
，242sin cos 025θθ=-
<，()0,θπ∈ ，,2πθπ⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
，sin cos θθ>，()
2
49sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=
，所以7sin cos 5
θθ-=.故选：C
例38．（2022·山西晋中·模拟预测（理））若tan 1θ=-，则()
cos 1sin 2sin cos θθθθ
--等于（
）
A ．1
2B ．2C ．1
-D ．13
-
【答案】C 【解析】【分析】化简原式为2tan 1
tan 1
θθ-+即得解.
【详解】
解：原式()222
cos sin 2sin cos cos cos (sin cos )=
sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ-⋅+-=--22cos (sin cos )sin cos θθθθθ-=
+2tan 12=1tan 12
θθ--==-+.
故选：C
例39．（2022·湖北·模拟预测）已知()cos 3cos 02πααπ⎛⎫
++-= ⎪⎝⎭
，则3sin sin sin 2αα
πα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（
）
A ．
3
5
B ．35
C ．
310
D ．310
-
【答案】D 【解析】【分析】
根据题意求出tan α，再将原式化简为：32sin sin tan tan 1sin 2ααα
παα-=
+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求解即可.
【详解】
因为()cos 3cos 02πααπ⎛⎫
++-= ⎪⎝⎭
，所以sin 3cos 0αα--=，所以tan 3
α=-()2
32sin 1sin sin sin tan 3
sin cos cos tan 110sin 2αααααααπααα--====-
+⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
.故选：D.
【方法技巧与总结】
（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．（2）若无象限条件，一般“弦化切”．题型七：诱导求值与变形
例40．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））若π1sin 63α⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（
）
A ．
1
3
B ．13
-
C ．
79
D ．79
-
【答案】D 【解析】【分析】
由三角函数的二倍角的余弦公式，结合诱导公式，即可求得答案.【详解】由题意得：
2222πππππ27cos 22cos 12cos 12sin 113326699αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+-=---=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
故选：D ．
例41．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛
⎫+
= ⎪⎝
⎭
（）
A ．
1
3
B ．13
-
C ．
79
D ．79
-
【答案】B 【解析】【分析】
利用诱导公式计算可得；【详解】
解：因为1sin 63a π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
所以21cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫
+
=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故选：B.
例42．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））()tan 165-︒=（）
A ．2-
B ．2-+
C ．2
D ．2【答案】C 【解析】
【分析】
先利用诱导公式可得()tan 165tan15-︒=︒，在运用正切两角差公式()tan15tan 4530︒=︒-︒计算．【详解】
()()()tan 165tan 18015tan15tan 4530-︒=-︒+︒=︒=︒-
︒1tan 45tan 3021tan 45tan 30︒-︒===+︒︒故选：C ．
例43．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知2cos sin 022a ππα⎛⎫⎛⎫
-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()tan -=πα（
）
A ．2
B ．—2
C ．1
2
D ．1
2
-
【答案】C 【解析】【分析】
根据诱导公式五、六可得2sin cos 0αα+=，由同角三角函数的关系可得1tan 2
α=-，结合诱导公式二计算即可.【详解】
由已知得2sin cos 0αα+=，
1
2sin cos tan 2ααα∴=-∴=-，，
∴1tan()tan 2
παα-=-=.故选：C
【方法技巧与总结】
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2
π
整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的
三角函数化成锐角三角函数．（2）通过2,,2
π
ππ±±±
等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
（3）2,,2
π
αβππ±=±±±
等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化
【过关测试】
一、单选题1．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（理））中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲
池，1AA 垂直于底面，13AA =，底面扇环所对的圆心角为2
π
，弧AD 长度是弧BC 长度的3倍，2CD =，则
该曲池的体积为（
）
A ．
92
πB ．5πC ．
112
πD ．6π
【答案】D 【解析】【分析】
利用柱体体积公式求体积.【详解】
不妨设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，由弧AD 长度为弧BC 长度的3倍可知3R r =，22CD R r r =-==，所以1r =，3R =.故该曲池的体积22()364
V R r π
π=⨯-⨯=.
故选：D.
2．（2022·海南中学高三阶段练习）二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示李节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动15︒所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（
）
A ．π
3
-
B ．
π2
C ．
5π12
D ．
π3
【答案】B
【解析】【分析】
根据条件得到运行度数为6×15°，化为弧度即可得解.【详解】
根据题意，立春是立冬后的第六个节气，
故从立冬到立春相应于地球在黄道上逆时针运行了61590︒⨯=︒，所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为π2
.故选：B
3．（2022·河北·模拟预测）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于23
π
的扇形，则该圆锥的体积为（）
A B ．
1627
πC D ．
1681
π【答案】C 【解析】【分析】
设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则由题意可得2223
r π
π=⨯，从而可求出半径r ，再求出h ，进而可求出其体积【详解】
设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则由题意可得2223
r ππ=⨯，解得23
r =
，
所以h ===所以圆锥的体积为
2
2112333V r h ππ⎛⎫==⨯=
⎪⎝⎭故选：C
4．
（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知角θ的大小如图所示，则1sin 2cos 2θ
θ
+=（
）
A ．5-
B ．5
C ．15
-
D ．
15
【答案】A 【解析】【分析】
由图中的信息可知tan 54πθ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，化简1sin 2cos 2θθ+即可.
【详解】
由图可知，tan 54πθ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，
()()()2
2222
cos sin 1sin 2sin cos 2sin cos cos sin cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθ
θθθθθθθθθ
+++++===--+-tan
tan 1tan 4tan 51tan 41tan tan 4
π
θθπθπθθ++⎛⎫===+=- ⎪-⎝
⎭-；故选：A.
5．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））tan195︒=（）
A
．2-B
．2-+
C ．2
D ．2【答案】C 【解析】【分析】
利用诱导公式及两角差的正切公式计算可得；【详解】
解：()()
tan195tan 18015tan15tan 4530︒=︒+︒=︒=︒-︒
tan 45tan 301tan 45tan 30︒-︒=
+︒
︒
12=
=故选：C
6．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若21sin2512sin α
α+=-，则tan α=（
）
A ．23
-B ．32
-C ．
2
3
D ．
32
【答案】C 【解析】【分析】
通过“1”的替换，齐次化，然后得到关于tan α的方程，解方程即可【详解】
22221sin 2(cos sin )cos sin 1tan 5
12sin cos sin cos sin 1tan αααααα
αααααα++++====----,解得2tan 3α=故选：C
7．（2022·四川成都·模拟预测（文））已知向量(3cos 2,sin )a αα= ，(2,cos 5sin )b αα=+ ，π0,2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，若a b ⊥ ，
则tan α=（）
A ．2
B ．-2
C ．3
D ．
34
【答案】C 【解析】【分析】
由a b ⊥
可得向量的数量积等于0，化简可得6cos 2sin (cos 5sin )0αααα++=，结合二倍角公式以及同角的
三角函数关系式化为226tan tan n 10ta αα
α-++=，可求得答案.
【详解】
由题意a b ⊥
可得0a b ⋅= ，
即6cos 2sin (cos 5sin )0αααα++=，即2226(cos sin )sin cos 5sin 0ααααα-++=，
故22226cos sin sin c sin os 0cos αααααα-++=，即22
6tan tan n 10ta ααα-++=，由于π0,2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，故tan 3,tan 2αα==-（舍去），
故选：C
8．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618
就是黄金分割比m =2sin18︒）．
A ．4
B 1
+C ．2
D 1
【答案】A 【解析】【分析】
根据2sin18m ︒=，结合三角函数的基本关系式，诱导公式和倍角公式，即可求解.【详解】
根据题意，可得2sin182cos72m =︒=︒，
4sin144cos54︒==
︒()4sin 90544cos544cos54cos54︒+︒︒
===︒︒.故选：A ．二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（）
A ．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度
B ．180
1rad
π
︒=
C ．若sin 0θ>，cos 0θ<，则θ为第二象限角
D ．若θ为第二象限角，则2
θ
为第一或第三象限角
【答案】CD 【解析】【分析】
对于A ，利用正负角的定义判断；对于B ，利用角度与弧度的互化公式判断；对于C ，由sin 0θ>求出θ的范围，由cos 0θ<求出θ的范围，然后求交集即可；对于D ，由θ是第二象限角，可得222
k k π
πθππ+<<+，
k Z ∈，然后求
2
θ
的范围可得答案
【详解】
对于A ，经过30分钟，钟表的分针转过π-弧度，不是π弧度，所以A 错；
对于B ，1︒化成弧度是
rad 180
π
，所以B 错误；
对于C ，由sin 0θ>，可得θ为第一、第二及y 轴正半轴上的角；由cos 0θ<，可得θ为第二、第三及x 轴负半轴上的角.取交集可得θ是第二象限角，故C 正确；对于D ：若θ是第二象限角，所以222
k k π
πθππ+<<+，则()4
2
2
k k k Z π
θ
π
ππ+
<
<+
∈，
当2()k n n Z 时，则22()4
2
2
n n n Z π
θ
π
ππ+<
<+
∈，所以
2
θ
为第一象限的角，
当21()k n n Z =+∈时，5322()422n n n Z πθπππ+<<+∈，所以2
θ为第三象限的角，综上，
2
θ
为第一或第三象限角，故选项D 正确.
故选：CD.
10．（2022·全国·高三专题练习）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为1S ，圆心角为1α，圆面中剩余部分的面积为2S ，圆心角为2α，当1S 与2S
0.618≈（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（
）
A ．1127.5α=︒
B ．1137.5α=︒C
．21)απ
=D
．
12αα=【答案】BCD 【解析】【分析】
利用扇形的面积公式以及角度制与弧度制的互化即可求解.【详解】
设扇形的半径为R
，由211122221
212R S S R αααα===，故D 正确；
由122ααπ+=，。