二重积分计算及其应用（已处理）

二重积分计算及其应用
包头师范学院
本科毕业论文
题目:二重积分的计算及其应用
学生姓名:
学院:数学科学院
专业:数学与应用数学
班级:08本一班
指导教师: 讲师
二 ? 一二年五月
二重积分计算及其应用
内容摘要
在二重积分的计算中,由于计算和函数比较繁杂,因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限性。

常用方法是化简二重积分为两次定积分或累次积分,又因为二重积分的计算与被积函数和积分区域有关。

掌握二重积分计算和它的性质的基础上,讨论如何利用函数的奇偶性与区域的对称性,探讨如何利用二重积分的性质解决二重积分的计算中的证明不等式、确定积分值的符号、估计积分之值、求极限等问题。

对于这些问题我们可以利用二重积分的性质和函数的奇偶性与区域的对称性来解决问题,试图找到一些简便方法,简化二重积分的计算。

关于二重积分的应用它可以求曲面面积以外,二重积分在物理学当中的应用也极其广泛,尤其是在平面薄板当中巧妙而简练的利用二重积分来解决平面薄板的重心坐标、转动惯量以及对质点的引力等问题,二重积分的应用在物理学当中是一种不可忽视的知识。

关键词:二重积分; 直角坐标; 极坐标系; 曲面面积;平面薄片Abstract In the calculation of double integrals, due to the complex calculations and comparison functions, in accordance with the definition of double integral calculation of double integrals have a lot of limitations. A common approach to simplification double integrals are definite integral and repeated integral as twice, because the calculation
of double integrals with integrand and integral region. Mastering double integral calculation and on the basis of its nature, discusses how to use functions of symmetry of parity with regional, nature of the discussion on how to use double integral to prove inequality solving double integral calculation, identifying symbols, estimated value of the integral, the integral values for limit and so on. These questions we can use the double integral and parity of the nature and functions of symmetry to solving problems of the region, trying to find some easy way to simplify the calculation of double integrals. But also concise and clear to problem conclusion. On the application of double integral it can be found outside of the surface area of, and applications of double integrals in physics are very widely, especially in a flat sheet, ingenious and simple to use double integral to solving Planar sheet of Barycentric coordinates, moments of inertia and gravitational energy of the particle, and other issues, applications of double integrals in physics is a knowledge that cannot be neglected.
Key words: double integral;Cartesian; polar; surface area; flat blades
目录
内容摘要 (2)
关键词 (2)
引言 (7)
二重积分的定义 (8)
二. 二重积分的计算 (8)
(一)直角坐标系下二重积分的计算 (8)
(二)极坐标系下二重积分的计算 (9)
三.利用函数的奇偶性与区域的对称性计算二重积分 (9)
(一)计算二重积分,设区域D关于轴对称 (9)
若函数关于是奇函数 (9)
若函数关于是偶函数 (9)
(二)计算二重积分,设区域D关于轴对称 (10)
若函数关于是奇函数 (10)
若函数关于是偶函数 (10)
(三)计算二重积分,设区域D关于轴和轴都对称,
同时也是关于,对称的 (10)
四.二重积分的性质 (13)
五.应用二重积分的性质解题 (14)
(一)证明不等式 (14)
(二)确定积分值的符号 (14)
(三)估计积分之值 (15)
(四)求极限 (16)
六.二重积分的应用 (17)
(一)曲面的面积 (17)
1.曲面由显函数给出的情形 (17)
2.曲面由参数方程给出的情形 (18)
(二)平面薄片的重心 (19)
(三)平面薄片的转动惯量 (20)
(四)平面薄片对质点的引力 (21)
结语 (23)
参考文献 (24)
引言
在二重积分的计算中,由于计算和函数比较繁杂,因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限性。

本文就是在已掌握二重积分计算的基础上,通
过一些例子来探讨函数的奇偶性与区域的对称性在二重积分计算中的应用。

另外在二重积分的计算中关于证明不等式、确定积分值的符号、估计积分之值、求极限等问题,能否利用二重积分的定义解决这些问题是比较困难的。

因此利用二重积分的性质来解决这些问题。

本文一部分就是在已掌握二重积分的性质的基础上,通过一些例子来探讨应用二重积分的性质解题技巧。

对于二重积分的应用主要体现在求曲面面积和物理学当中的一些平面薄板的重心坐标转动惯量以及对质点的引力等问题,然而利用二重积分巧妙解决了这些问题。

因此二重积分的计算与应用在物理学当中,尤其是在数学分析里是一门不可缺少的重要知识。

二重积分的定义
设是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数,J是一个确定的数,若对任给的正数,总存在某个正数,使对于D的任何分割T ,当它的细度时,属于T的所有积分和都有
则称在D上可积,数J称为函数在D上的二重积分,记作。

二重积分的计算
一.直角坐标系下二重积分的计算
定理1 设有界闭区域D是由两条交合曲线与,且,以及直线与所围成,若函数在D上连续,则有定理2设有界闭区域D是由交合曲线与,且以及直线与所围成,若函数在D上连续,则有
例1 计算二重积分,其中区域D是由直线和双曲线所围成。

解先对积分后对积分,将D积分在轴上,待区间,对任意,对积分,在D内的积分限是到,然后在积分区间上对积分,即
同理,如果先对积分后对积分,也可得到相应结果。

二.极坐标系下二重积分的计算
应用极坐标替换将直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中的二重积分,能简化二重积分的计算,二重积分的极坐标替换是
计算,其中D为区域。

解如果用直角坐标来计算,这个积分却无法求出,现采用极坐标,
此时D表示为
故有利用函数的奇偶性与区域的对称性计算二重积分
(一).计算二重积分,设区域D关于y轴对称。

1.若函数关于是奇函数
因为函数关于是奇函数,即原点对称,所以有
则2. 若函数关于是偶函数
因为函数关于是偶函数,即关于轴对称,所以有
则
其中是区域D位于轴右侧的部分
(二).计算二重积分,设区域D关于轴对称。

1.若函数关于是奇函数
因为函数关于是奇函数,即关于原点对称,所以有
则 2.若函数关于是偶函数
因为函数关于是偶函数,即关于轴对称,所以有
则 (其中是区域D位于轴上侧的部分)
( 三).计算二重积分,设区域D关于轴和轴都对称,同时也是关于,对称的.
因为区域D关于轴和轴对称,也是关于,对称,所以有则有(其中是区域D位于第一象限中的部分)
例3计算双纽线所围成的面积。

解采用极坐标变换双纽线的极坐标方程是
因为双纽线关于轴和轴对称。

于是,双纽所围成区域D的面积A是第一象限内那部分区域面积的四倍。

第一象限那部分区域是:
(
于是有
例4 计算,其中D: 。

解法1: 时D分为四个区域,即D在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的部分依次记为
利用极坐标计算这个二重积分
解法2: (利用奇偶对称性) 由于积分区域D 关于轴和轴对称,而被积函数关于和是偶函数。

因此有
例 5 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积。

解设圆柱底面半径为,两个圆柱方程分别为与,利用对称性,只要求出在第一卦限部分的体积,
然后再来乘以8既得所求的体积。

第一卦限部分的立体是以为曲顶,以四分之一圆域D:为底的曲顶柱体,所以
于是
例6 求球面被圆柱面所割下部分的体积。

解由所求立体的对称性,我们只要求出在第一卦限内的部分体积后乘以4,既得所求立体的体积。

在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体,其底为平面内由和所确定的区域,曲顶的方程为。

所以
其中,极坐标变换后,有
二重积分的性质
二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质,现列举如下:
性质1 若在上可积,则在上可积,且
.
性质2 若在上可积,则在上可积,且
.
性质 3 若在和上都可积,且与无公共内点,则在上也可积,且性质4若在上可积,且,则
.
性质5若在上可积,则函数在上也可积,且
.
性质6若在上可积,且,.
这里是积分区域的面积。

性质7中值定理若在有界闭区域上连续,则存在,使得
,
这里是积分区域的面积。

应用重积分性质解题
(一).证明不等式
例7.设是由平面上的光滑简单闭曲线所围成的区域,在轴和轴上的投影长度分别为和,是内任意一点,证明:
证明:由积分性质5,有 ,
而,故再由性质4推出
例8. 设,证明.
证明:
而当时,有,故有
.
在二重积分的计算中,对于二重积分的证明不等式问题中灵活应用了二重积分的性质2,4,5来简便得到了我们所要证明的结论。

(二).确定积分值的符号
例9.积分有什么样的符号?
解:我们有,其中
显然
故由此可见,应用二重积分的性质3来探讨二重积分的确定积分值的符号的问题,方法简单可行。

( 三).估计积分之值
例10利用重积分的性质估计重积分(其中为区域)之值。

解:令,当时,取最大值,相应取最小值为,当时,取0,相应取最大值为,
故
而
例11 利用中值定理,估计积分之值
解: 由于积分域的面积为故由积分中值定理知, ……①
其中为域中的某点,
显然 ,我们证明必有
……②
由于函数在有界闭区域上的最大值为2,最小值为0,从而连续函数在有界闭域上的最小值为,最大值为.如果,则由①式知,。

但是非连续函数,从而必有(在域上),即(在域上),这显然是错误的,由此可知。

同理可证。

于是②式成立,从而得
,即
对于二重积分的估计积分之值问题,利用二重积分的不同的两个性质,思
路各异的两种方法,巧妙的解决了同一个问题。

(四) 求极限
例12 求,其中为连续函数。

解:利用积分中值定理得(其中点为圆域内的一点)
显然,当时,点。

于是,根据函数的连续性知
二重积分的应用
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中:
若要计算某个量对于闭区域具有可加性(即当闭区域分成许多小闭区域时,所求量等于部分量之和),并且在闭区域内任取一个直径很小的闭区域时,相应得部分量可近似地表示为的形式,其中在内,把称为所求量的元素,记作,所求量的积分表达式为
(一).曲面的面积
1.曲面由显函数给出的情形
1.1设曲面方程为,在面上的投影区域为,如图所示,设小区域,点,为上过的切平面以边界为准线,母线平行于轴的小柱面,截曲面为;截切平面为,则有。

为在面上的投影,
,, 曲面的面积元素,
,
曲面面积公式为:
同理可得
1.2.设曲面的方程为:
曲面面积公式为:
1.3设曲面的方程为:
曲面面积公式为:
曲面由参数方程给出的情形
若曲面的方程是用参数给出
其中,为封闭可求积的有界区域,假定函数和为在域内连续可微分的函数,则对于曲面的面积有公式
其中
,
,
例13求锥面被柱面所截部分的曲面面积。

解:曲面在平面上的投影区域:,而。

则
例14求球壳被包含在两条纬线和两条经线间那部分的面积。

解:球壳的参数方程为
其中为球的半径。

因为
故。

于是,所求的面积为
,
其中及为经线的经度,及为纬线的纬度。

(二).平面薄片的重心
设平面上有个质点,它们分别位于处,质量分别为,则该质点系的重心的坐标为
,。

设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,平面薄片的重心坐标为
,。

当薄片是均匀的,重心成为型心。

,,其中
例15.求均匀密度的平面薄板重心:半椭圆
解:设密度为(常数),由于图形关于轴对称,故
又质量,
又轴的静力矩
,。

故重心。

( 三).平面薄片的转动惯量
设平面上有个质点,它们分别位于处,质量分别为,则该质点系对于轴和轴的转动惯量依次为
,
设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,平面薄片对于轴和轴的转动惯量为
平面薄片对于轴的转动惯量为,
平面薄片对于轴的转动惯量为
例16求由曲线所界的面积()对于坐标轴和的转动惯量和。

解:曲线所界的平面域可表示为
,
于是。

(四)平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,
计算该平面薄片对位于轴上的点处的单位质点的引力0。

薄片对轴上单位质点的引力为,,
,
(其中为引力常数)。

例17均匀薄片,计算对于轴上一点0处的单位质量的引力。

解:由对称性,引力必在轴方向上
因此, (其中为引力常数)
故。

结论
在二重积分的计算中,采用极坐标变换及区域的对称性能达到简化积分区域或被积函数以及简化二重积分计算的效果。

把函数的奇偶性与区域的对称性相结合在二重积分的计算中可以大大简化计算过程。

这是非常重要的计算技巧,不可忽略。

在二重积分的计算中关于证明不等式、确定积分值的符号、估计积分之值和求极限等问题,我们应用二重积分的性质来探讨达到了简化二重积分的计算效果。

在解决这些问题中可以利用一个性质或两个性质结合在一起为解决问题提供了一种很好的方法。

这种方法在二重积分的计算问题中是不可缺少的。

二重积分的应用在物理学当中是一种不可忽视的知识,它给物理学中的平面薄板的重心、转动惯量以及对质点的引力等这些问题的计算带来了不可忽略的重要性。

然而它也是数学分析里的重要内容。

参考文献
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