(2021年整理)线性代数习题集(带答案)

线性代数习题集(带答案)
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第一部分 专项同步练习
第一章 行列式
一、单项选择题
1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).
（A ） 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ )。

(A)k （B ）k n - (C)
k n -2
! （D ）k n n --2)1(
3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有（ ）项。

（A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n
4．=0
001001001001
000（ ).
（A ） 0 （B)1- （C) 1 (D) 2
5. =0
001100000100100（ )。

（A) 0 (B ）1- （C) 1 (D) 2
6．在函数1
00
323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.
(A ） 0 (B ）1- （C) 1 （D ） 2
7. 若2
1 33
32
31
232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32
3133
31
2221232112
111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ )。

（A) 4 （B) 4- （C) 2 （D) 2-
8．若
a a a a a =22
2112
11，则
=21
11
2212ka a ka a （ ）.
（A ）ka (B ）ka - （C)a k 2 (D)a k 2-
9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-， 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-， 则=x ( )。

（A ） 0 (B ）3- （C ） 3 （D ） 2
10. 若5
7
3
4
1111
1
3263
478
----=
D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ )。

（A)1- (B ）2- （C)3- (D)0
11. 若2
23500101
1
1
1
0403--=
D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).
（A)1- (B ）2- （C ）3- （D ）0
12. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00321
321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ）
(A ）1- （B ）2- （C ）3- （D)0
二、填空题
1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是
.
2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.
3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是。

4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0， 则这个行列式的值等于。

5。

行列式
=
1001110.
6．行列式
=-0
0010000
2000010
n n 。

7．行列式
=
--0
01)
1(2211)
1(111
n n n n a a a a a a 。

8．如果M a a a a a a a a a D ==33
32
31
232221131211 ，则=
---=32
32
3331
2222232112
121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .
9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为
.
10．行列式
=--+---+---111
1
1111
1
111
11
1
1
x x x x .
11．n 阶行列式=
+++λ
λλ
11
1
1
11111。

12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1，2，3， 其对应的余子式依次为3，2,1,则该行列式的值为
.
13．设行列式5
678123487654321=
D ,j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式,则
=
+++44434241234A A A A 。

14．已知d
b c a c
c a b D =
, D 中第四列元的代数余子式的和为.
15．设行列式62
211765144334321-==
D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则
=
+4241A A ，=
+4443A A .
16．已知行列式n
n D
1
030
1002
1
1
2531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.
17．齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=+=++0
0202321
2
1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是。

18．若齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨
⎧=+--=+=++0
230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.
三、计算题 1。

c
b a d
b a d
c a d
c b
d c b a d c b a d c b a
++++++++3
3
3
3
2222; 2．y
x
y
x x y x y
y x y x +++；
3．解方程
00
11011101110=x x x x ； 4．
1
11111
32
1
3212
2
1221
221----n n n n a a a a x
a a a a x
a a a a x a a a a x ；
5. n
a a a a 1
11111
1
11111210（n j a j ,,1,0,1 =≠)；
6. b
n b b
----)1(1111
211
1
1
131111
7. n a b b b a a b b a a a b 321222
1111
1111
1； 8．x
a a a a x a a a a x a a a a x n n
n 3
2
121212
1；
9。

2
2122
2
1212
121111n
n n n
n
x x x x x x x x x x x x x x x +++
; 10。

2
10001200000210001210
1
2
11．a
a a a a a a a a D ---------=1100
11000110
0110001.
四、证明题
1．设1=abcd ，证明：
01111111111112
22
22
222=++++
d
d
d
d c c c c b b b b a a a a .
2．3
3
3
22211123
33332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x
b a
c b x a x b a c b x a x b a -=++++++。

3．
))()()()()()((1
111
4
4
4
4
2222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d
c b a +++------=。

4．
∏∑≤<≤=----=n
j i i j
n
i i
n
n
n n
n n
n n n
n
a a
a a a a a a a a a a a a a 11
2
122221222
212
1
)(111
.
5．设c b a ,,两两不等，证明01
11
3
3
3=c b a c b
a
的充要条件是0=++c b a 。

参考答案
一．单项选择题
A D A C C D A
B
C
D B B 二．填空题
1.n ； 2。

”
“-; 3。

43312214a a a a ; 4。

0; 5。

0； 6.!)1(1
n n --； 7.1)1(212
)
1()1(n n n n n a a a ---；
8.M 3-; 9。

160-；
10.4x ; 11。

1)(-+n n λλ； 12.2-； 13.0； 14。

0； 15.9,12-； 16。

)1
1(!1∑=-n
k k
n ; 17。

3,2-≠k ; 18.7=k 三．计算题
1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2。

)(233y x +-； 3。

1,0,2-=x ; 4。

∏-=-1
1)(n k k a x
5。

)1
1
1()1(00
∑
∏==-+-n
k k n
k k a a ； 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;
7。

∏=--n
k k k
n
a b
1
)()
1(; 8. ∏∑==-+n
k k n
k k a x a x 1
1
)()(;
9。

∑=+n
k k x 1
1; 10. 1+n ；
11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略）
第二章 矩阵
一、单项选择题
1。

A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是（ )。

（a ）2
2A A =（b ）))((22B A B A B A +-=- (c)AB A A B A -=-2)( (d ）T T T B A AB =)( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足（ ）时，B=C 。

(a ） AB =BA （b ） 0≠A (c ） 方程组AX=0有非零解 （d ） B 、C 可逆
3.若A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=kA ( ）。

(a ） A k （b) A k (c) A k n (d) A k n
4。

设A 为n 阶方阵，且0=A ，则( )。

（a ） A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合
（c ） A 中至少有一行元素全为零 （d ） A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A ，B 为n 阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( ). (a ） 111)(---+=+B A B A (b) B A AB T =)(
(c) B A B A T +=+--11)( (d ） 111)(---+=+B A B A 6。

设A 为n 阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵,则（ )。

(a) (a ） 1*-=A A （b) A A =* (c ） 1
*+=n A
A （d) 1
*-=n A
A
7. 设A 为3阶方阵,行列式1=A ,*A 为A 的伴随矩阵,则行列式=--*12)2(A A ( ）。

（a ） 827-
（b ） 278- （c ） 827 （d ） 27
8
8. 设A ，B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是( ）。

(a) B A = (b ） B A -= (c) B A = （d) 2
2
B A = 9。

设A ，B 均为n 阶方矩阵,则必有( ）.
（a ） B A B A +=+ （b ） BA AB = （c ） BA AB = (d) 2
2
B A = 10.设A 为n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ）。

（a)T A A 22= (b ） 112)2(--=A A
（c) 111])[(])[(---=T T T A A （d) T T T T A A ])[(])[(11--=
11.如果⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛3332
31
232221
331332
1231
113332
31
232221
131211333a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A ,则=A ( ）。

（a ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-103010001 (b) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010301 （c ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010300 （d) ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-130010001
12.已知⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=113022131A ,则( ）。

（a ）A A T = （b) *1A A =-
（c ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛113202311010100001A （d ）⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛113202311010100001A
13.设I C B A ,,,为同阶方阵,I 为单位矩阵，若I ABC =，则（ )。

(a ）I ACB = （b)I CAB = （c ）I CBA = （d ）I BAC = 14.设A 为n 阶方阵,且0||≠A ，则（ ）。

（a)A 经列初等变换可变为单位阵I (b ）由BA AX =，可得B X =
(c ）当)|(I A 经有限次初等变换变为)|(B I 时，有B A =-1
（d ）以上（a)、(b)、（c ）都不对 15.设A 为n m ⨯阶矩阵，秩n m r A <<=)(，则（ ）.
（a ）A 中r 阶子式不全为零 （b ）A 中阶数小于r 的子式全为零 (c)A 经行初等变换可化为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛00
0r
I （d)A 为满秩矩阵 16.设A 为n m ⨯矩阵,C 为n 阶可逆矩阵，AC B =,则( ）。

(a)秩（A ）> 秩（B ） （b) 秩(A )= 秩（B )
(c ） 秩(A )〈 秩(B ) (d ） 秩(A ）与秩（B )的关系依C 而定 17.A ,B 为n 阶非零矩阵，且0=AB ，则秩(A ）和秩（B ）( ）。

(a)有一个等于零 (b ）都为n （c)都小于n (d ）一个小于n,一个等于n 18.n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）。

（a ）n r A r <=)( （b) A 的列秩为n
（c ） A 的每一个行向量都是非零向量 （d)伴随矩阵存在 19。

n 阶矩阵A 可逆的充要条件是（ )。

（a) A 的每个行向量都是非零向量 （b ） A 中任意两个行向量都不成比例
(c ） A 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示
（d)对任何n 维非零向量X ，均有0≠AX
二、填空题
1。

设A 为n 阶方阵，I 为n 阶单位阵,且I A =2，则行列式=A _______
2。

行列式=---0
c b c a
b
a _______
3.设2⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=100020101A ，则行列式)9()3(21I A I A -+-的值为_______
4。

设⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
=212
32321A ，且已知I A =6，则行列式=11A _______ 5.设A 为5阶方阵,*A 是其伴随矩阵，且3=A ，则=*A _______ 6。

设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为_______
7.非零矩阵⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 21
2221
212111的秩为________
8。

设A 为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X ，均有0≠AX ，则A 的秩为_______
9.若)(ij a A =为15阶矩阵,则A A T 的第4行第8列的元素是_______ 10。

若
方
阵
A
与
I
4相似，则
=
A _______
11.=⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+∞→K K K
K K K 3111221lim _______
12.=⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛--∞→n
n 410013
1
212
1lim _______ 三、计算题
1。

解下列矩阵方程（X 为未知矩阵)。

1） 223221103212102X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ； 2） 0101320100211100110X ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪
=- ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ； 3) 1()T T X I B C B I --=，其中310404422B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ; 101212121C ⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪⎝⎭ ； 4) 2AX A X I =+-，其中101020101A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭；
5） 2AX A X =+，其中423110123A ⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪-⎝⎭；
2。

设A 为n 阶对称阵,且20A =，求A 。

3.已知110021101A -⎛⎫
⎪= ⎪
⎪-⎝⎭
,求21
(2)(4)A I A I -+-。

4。

设11201A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,23423A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，30000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41201A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,求1234A A A
A ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
5.设112224336A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭,求一秩为2的方阵B ，使0AB =。

6。

设211011101,121110110A B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪== ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，求非奇异矩阵C ,使T
A C BC =. 7.求非奇异矩阵P ，使1P AP -为对角阵.
1) 2112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2) 112131201A -⎛⎫
⎪
=-- ⎪
⎪
--⎝⎭
8.已知三阶方阵A 的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为
(0,0,1),(1,1,0),(2,1,1)T T T --，求矩阵A 。

9.设532644445A -⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
,求100
A 。

四、证明题
1。

设A 、B 均为n 阶非奇异阵，求证AB 可逆. 2. 设0k A =（k 为整数）, 求证I A -可逆。

3。

设12.,,k a a a 为实数,且如果0k a ≠，如果方阵A 满足1110k k k k A a A a A a I --++++=,求
证A 是非奇异阵。

4。

设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA 。

5。

证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵。

6。

证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.
7。

证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者。

8。

证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵。

9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1。

10。

证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。

第二章参考答案
一：1. a ；2. b ；3。

c;4。

d ；5.b ；6。

d ；7。

a;8。

d ；9.c ；10。

d ；11.b ；12.c;13.b ；14。

a ；15.a ；16。

b;17。

c ；18。

b;19。

d.
二．1。

1或-1；2. 0；3. —4；4. 1；5. 81；6. 0；7。

1；8。

100；9。

i815
1
i i4a a ∑=⋅;10。

I ；12. 0；11. ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛0020. 三、1.1）、⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛---0162
13010;2）、⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-0
2
13212
1；3）、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461351341；4）、⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛201030102； 5）、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------9122692683。

2。

0；3。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---010131130；4。

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---10002100121001
21； 5.⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛---001111113不唯一；6。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001010;7. 1）、⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-1111. 2)、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221112311；8.⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111001023
；9。

⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-------+----+13231213213232244322133221223100
100100100100100100100100100100100100）（）（）（）（）（）（）（。

第三章 向量
一、单项选择题
1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式
m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(
21321=+ββααα
n m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(
2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ，则（ ）。

成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (
3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，
则在A 的n 个行向量中（ ）。

个行向量线性无关必有r a )( 个行向量线性无关任意r )b (
性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(
个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (
4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ )
n r A r a <=)()( n A b 的列秩为)(
零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d
5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是（ )
)(a s ααα,,,21 都不是零向量
)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关
6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是（ ）
)(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量 s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例
s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示
7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( ）
s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关
s c ααα,,,)(21 中存在一个向量，它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关
8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则( )
s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关
9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( ）
)(a 若02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性相关
)(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠++s s k k k ααα ,则
s ααα,,,21 线性无关
)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211=++s s k k k ααα
)(d 若000021=++s ααα ，则s ααα,,,21 线性无关
10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组( ）
14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关
11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示,则( )
)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一
12. 下列说法正确的是（ )
)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关
)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211≠++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关
)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关
13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α,T )0,1,0(2=α的线性组合，则β=（ ）
T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)((
14. 设有向量组()T
4,2,1,11-=α，()T
2,1,3,02=α,()T
14,7,0,33=α，
()T 0,2,2,14-=α，()T 10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组为（ ）
321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd
15. 设T a a a ),,(321=α，T b b b ),,(321=β，T a a ),(211=α，T b b ),(211=β，下列正确的
是
（ );
,,)(1
1也线性相关线性相关，则若βαβαa 也线性无关；线性无关，则若11,,)(βαβαb 也线性相关；线性相关，则若βαβα,,)(11c 以上都不对)(d
二、填空题
1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=▁▁▁▁。

2. n 维零向量一定线性▁▁▁▁关.
3. 向量α线性无关的充要条件是▁▁▁▁。

4. 若321,,ααα线性相关，则s ααα,,,21 )3(>s 线性▁▁▁▁关。

5. n 维单位向量组一定线性▁▁▁▁.
6. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则 s ααα,,,21 中任意r 个▁▁▁▁的向量都是
它的极大线性无关组.
7. 设向量T )1,0,1(1=α与T a ),1,1(2=α正交，则=a ▁▁▁▁. 8. 正交向量组一定线性▁▁▁▁。

9. 若向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价,则s ααα,,,21 的秩与t βββ,,,21 的秩
▁▁▁▁。

10. 若向量组s ααα,,,21 可由向量组t βββ,,,21 线性表示，则),,,(21s r ααα ▁▁▁
▁),,,(21t r βββ 。

11. 向量组()T
a 0,0,1,11=α，()T
a 0,1,1,22=α,()T
a 1,1,1,33=α的线性关系是▁
▁▁▁。

12. 设n 阶方阵(),,,,21n A ααα =321ααα+=,则=A ▁▁▁▁。

13. 设T y )2
1,,
0(1-
=α，T x )0,0,(2=α，若βα和是标准正交向量，则x 和y 的值▁
▁▁▁.
14. 两向量线性相关的充要条件是▁▁▁▁。

三、计算题
1. 设T )1,1,1(1λα+=，T )1,1,1(2λα+=,T )1,1,1(3λα+=，T
),,0(2λλβ=，问
（1）λ为何值时，β能由321,,ααα唯一地线性表示？
（2)λ为何值时,β能由321,,ααα线性表示，但表达式不唯一? （3)λ为何值时，β不能由321,,ααα线性表示?
2. 设T )3,2,0,1(1=α，T )5,3,1,1(2=α，T a )1,2,1,1(3+=α，
T a )8,4,2,1(4+=α，T b )5,3,1,1(+=β问：
（1）b a ,为何值时,β不能表示为4321,,,αααα的线性组合? (2）b a ,为何值时，β能唯一地表示为4321,,,αααα的线性组合？
3. 求向量组T )4,0,1,1(1-=α，T )6,5,1,2(2=α，T )2,5,2,1(3=α，
T )0,2,1,1(4--=α,T )14,7,0,3(5=α的一个极大线性无关组，并将其余向
量用该极大无关组线性表示。

4. 设T )1,1,1(1
=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α，t 为何值时321,,ααα线性相关，t 为何
值时321,,ααα线性无关?
5. 将向量组T )0,2,1(1=α，T )2,0,1(2-=α，T )2,1,0(3=α标准正交化。

四、证明题
1. 设2131222112,3,ααβααβααβ-=-=+=，试证321,,βββ线性相关.
2. 设n ααα,,,21 线性无关，证明13221,,,αααααα+++n 在n 为奇数时线性无关；
在n 为偶数时线性相关。

3. 设βααα,,,,21s 线性相关，而s ααα,,,21 线性无关，证明β能由s ααα,,,21 线
性表示且表示式唯一。

4. 设321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关,求证4α不能由321,,ααα线性表示。

5. 证明:向量组)2(,,,21≥s s ααα
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。

6. 设向量组s ααα,,,21 中01≠α，并且每一个i α都不能由前1-i 个向量线性表示
),,3,2(s i =，求证s ααα,,,21 线性无关。

7. 证明：如果向量组中有一个部分组线性相关,则整个向量组线性相关.
8.设s αααα,,,,210 是线性无关向量组,证明向量组s ααααααα+++020100,,,, 也线性无关.
第三章向量参考答案
一、 单项选择
1。

b 2。

d 3。

a 4.b 5。

b 6。

d 7。

d 8.a 9。

b 10。

c 11.c 12.d 13.a 14。

b 15。

a 二、填空题
1。

5 2.相关 3。

0≠α 4.相关 5.无关 6.线性无关 7。

-1
8.无关 9.相等 10. ≤ 11.线性无关 12. 0 13. 2
1,1±=±=y x
14。

对应分量成比例 三、解答题
1. 解：设332211αααβx x x ++=
则对应方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2
321
321321)1()1(0
)1(λλλλλx x x x x x x x x
其系数行列式)3(11
1
111
1112+=+++=λλλ
λλ
A
（1）当3,0-≠≠λλ时,0≠A ，方程组有唯一解，所以β可由3,21,ααα唯一地线性表示；
(2)当0=λ时，方程组的增广阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110111A ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛→000000000111， 31)()(<==A r A r ，
方程组有无穷多解，所以β可由3,21,ααα线性表示，但表示式不唯一；
（3)当3-=λ时，方程组的增广阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=921131210112A ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----→18000123303121，
)()(A r A r ≠，方程组无解，所以β
不能由3,21,ααα线性表示。

2。

解:以βαααα,,,,4321为列构造矩阵
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++58153342321211011111
a b a →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--
+-
b a a 4
100
0041100121
1
011
1112
（1）时，
且当01≠±=b a β不能表示为4321,,,αααα的线性组合； （2）任意时，
当b a ,1±≠β能唯一地表示为4321,,,αααα的线性组合。

3。

解：=),,,,(54321ααααα⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---14026472550
01
2
11
31
121
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛--→000
00110001011020101
421,,ααα为一个极大无关组，且31240αααα=-++, 42152αααα-+=
4.解：123111
,,123513t t
ααα==-,
当5=t 时321,,ααα线性相关，当5≠t 时321,,ααα线性无关。

5.解：先正交化：
令()T 0,2,111==αβ [][]11,
112
2
2,βββ
βααβ-==T
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2,52,54 [][][][]2222311113
33,,,,
ββββαββββααβ--==T
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-61,61,31
再单位化：
T
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛==0,52
,5
1
111ββγ，T
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==305,
30
1,302222ββγ， T
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-==61,
61,6
2333ββγ 321,,γγγ为标准正交向量组。

四、证明题
1.证:∵0)2(4)(33121=--+ββββ
∴0435321=++-βββ ∴321,,βββ线性相关
2。

证：设0)()()(1322211=++++++ααααααn n k k k
则0)()()(122111=+++++-n n n n k k k k k k ααα ∵n ααα,,,21 线性无关
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=+=+-0
0012
11n n n k k k k k k
其系数行列式1
1
100000110000111
0001
=⎩⎨⎧=-++为偶数为奇数
n n n ,0,2)1(11
∴当n 为奇数时，n k k k ,,,21 只能为零，n ααα,,,21 线性无关； 当n 为偶数时，n k k k ,,,21 可以不全为零,n ααα,,,21 线性相关.
3.证：∵βααα,,,,21s 线性相关
∴存在不全为零的数k k k k s ,,,,21 使得02211=++++βαααk k k k s s
若0=k ，则02211=+++s s k k k ααα ，（不全为零s k k k ,,,21 ） 与s ααα,,,21 线性无关矛盾 所以0≠k 于是s s k
k k k
k k αααβ----
= 2211 ∴β能由s ααα,,,21 线性表示。

设s s k k k αααβ+++= 2211 ①
s s l l l αααβ+++= 2211 ②
则①—②得0)()()(222111=-++-+-s s s l k l k l k ααα ∵s ααα,,,21 线性无关 ∴),,2,1(,0s i l k i i ==-
∴),,2,1(,s i l k i i == 即表示法唯一 4。

证：假设4α能由321,,ααα线性表示
∵432,,ααα线性无关，∴32,αα线性无关 ∵321,,ααα线性相关,∴321,ααα可由线性表示，
∴ α能由,αα线性表示，从而,,ααα线性相关,矛盾
∴4α不能由321,,ααα线性表示。

5.证:必要性
设向量组s ααα,,,21 线性相关
则存在不全为零的数,,,,21s k k k 使得02211=+++s s k k k ααα
不妨设0≠s k ,则112211------
=s s
s s s s k k k k
k k αααα ， 即至少有一个向量是其余向量的线性组合。

充分性
设向量组s ααα,,,21 中至少有一个向量是其余向量的线性组合 不妨设112211--+++=s s s k k k αααα 则0112211=-+++--s s s k k k αααα , 所以s ααα,,,21 线性相关。

6.证:用数学归纳法
当s=1时，01≠α，线性无关,
当s=2时，∵2α不能由1α线性表示，∴21,αα线性无关， 设s=i —1时，121,,,-i ααα 线性无关
则s=i 时,假设i ααα,,,21 线性相关，121,,,i ααα-线性无关， i α可由
121,,,-i ααα 线性表示，矛盾，所以i ααα,,,21 线性无关.得证
7.证：若向量组s ααα,,,21 中有一部分组线性相关，不妨设r ααα,,,21
（r 〈s ） 线性相关，则存在不全为零的数,,,,21r k k k 使得02211=+++r r k k k ααα 于是00012211=+++++++s r r r k k k ααααα 因为,,,,21r k k k 0，┈，0不全为零 所以s ααα,,,21 线性相关。

8。

证：设0)()()(020210100=+++++++s s k k k k ααααααα
则0)(22110210=++++++++s s s k k k k k k k αααα 因s αααα,,,,210 线性无关，
所以⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧====++++000021210s s k k k k k k k 解得0210=====s k k k k 所以向量组s ααααααα+++020100,,,, 线性无关。

第四章 线性方程组
一、单项选择题
1．设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要
条件是（ )
（A ） r n = (B ） r n < （C) r n ≥ (D ） r n >
2．设A 是m n ⨯矩阵，则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是（ ）
（A) ()r A m < (B ） ()r A n < (C ） ()()r Ab r A m =< （D) ()()r Ab r A n =<
3．设A 是m n ⨯矩阵,非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =，若m n <，则( )
(A ） AX b =必有无穷多解 （B ） AX b =必有唯一解 （C) 0AX =必有非零解 (D) 0AX =必有唯一解
4．方程组1232332422(2)(3)(4)(1)
x x x x x x λλλλ+-=⎧
⎪
+=⎨⎪-=----⎩
无解的充分条件是λ=（ ）
(A) 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4
5．方程组1232333122
4(1)(3))(1))
x x x x x x x λλλλλλ++=-⎧
⎪-=-⎪⎨
=-⎪
⎪-=---⎩有唯一解的充分条件是λ=( ） （A) 1 (B) 2 （C ） 3 (D ） 4
6．方程组1232323
2132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪
-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷解的充分条件是λ=（ ）
(A ） 1 (B ） 2 （C ） 3 (D) 4
7． 已知12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个不同的解，12,αα是导出组0AX =的
基本解系,12,k k 为任意常数，则AX b =的通解是( ） （A ） 12
11212()2k k ββααα-+++
（B) 12
11212()2k k ββααα++-+
(C ） 1211212()2k k ββαββ-+++ （D) 1211212()2
k k ββ
αββ++-+
8．设A 为m n ⨯矩阵，则下列结论正确的是( ）
(A ） 若0AX =仅有零解 ，则AX b =有唯一解 （B ） 若0AX =有非零解 ，则AX b =有无穷多解 (C ） 若AX b =有无穷多解 ，则0AX =仅有零解 (D) 若AX b =有无穷多解 ，则0AX =有非零解
9．设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充要条件为（ ）
(A) A 的列向量线性无关 (B ） A 的列向量线性相关 (C ） A 的行向量线性无关 (D) A 的行向量线性相关
10．线性方程组1231231
23123047101
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ （ ）
（A) 无解 （B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 （D) 其导出组只
有零解
二、填空题
1. 设A 为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量X ，均有0AX ≠，则A 的秩为 .
2。

线性方程组12312123
20200kx x x x kx x x x ++=⎧⎪
+=⎨⎪-+=⎩仅有零解的充分必要条件是 .
3. 设12,,s X X X 和1122s s c X c X c X ++
+均为非齐次线性方程组AX b =的解（12,,s c c c 为
常数）,则12s c c c ++
+= 。

4。

若线性方程组AX b =的导出组与0(())BX r B r ==有相同的基础解系，则()r A = 。

5。

若线性方程组m n A X b ⨯=的系数矩阵的秩为m ，则其增广矩阵的秩为 。

6。

设1015⨯矩阵的秩为8，则0AX =的解向量组的秩为 .
7。

如果n 阶方阵A 的各行元素之和均为0，且()1r A n =-,则线性方程组0AX =的通解
为 。

8. 若n 元齐次线性方程组0AX =有n 个线性无关的解向量,则A = 。

9。

设1231211232,3,120x A a b x x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,若齐次线性方程组0AX =只有零解，则a = 。

10. 设1231211232,3,120x A a b x x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，若线性方程组AX b =无解，则a = . 11. n 阶方阵A ，对于0AX =，若每个n 维向量都是解,则()r A = 。

12. 设54⨯矩阵A 的秩为3，123,,ααα是非齐次线性方程组AX b =的三个不同的解向
量，若123122(2,0,0,0),3(2,4,6,8)T T ααααα++=+=，则AX b =的通解为 . 13. 设A 为m n ⨯矩阵，()min(,)r A r m n =<,则0AX =有 个解，有 个线性无关的
解。

三、计算题
1. 已知123,,ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，问122331,,αααααα+++是否是该方程组的一个基础解系？为什么？
2. 设5
43310
1226321131
11
11A -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦，1
20
10560
1121001
2320B --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥
-⎢⎥
--⎣⎦
，已知B 的行向量都是线性方程组
0AX =的解,试问B 的四个行向量能否构成该方程组的基础解系?为什么？ 3。

设四元齐次线性方程组为 （Ι)：1224
0x x x x +=⎧⎨-=⎩
1)求(Ι）的一个基础解系
2）如果12(0,1,1,0)(1,2,2,1)T T k k +-是某齐次线性方程组（II ）的通解，问方程组（Ι)和（II ）是否有非零的公共解?若有,求出其全部非零公共解；若无,说明理由。

4. 问,a b 为何值时,下列方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出全部解（用基础解系表示全部解）.
1）12312321231x ax x a ax x x x x ax a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 2）123212312
34
24
x x bx x bx x b x x x ++=⎧⎪
-++=⎨⎪-+=-⎩
5. 求一个非齐次线性方程组，使它的全部解为
1212123112133.(,)321x x c c c c x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
为任意实数 6. 设22139528A -⎡⎤
=⎢
⎥
-⎣⎦
，求42⨯一个矩阵B ，使得0AB =，且()2r B =。

参考答案
一、单项选择题
1。

B 2.D 3.C 4.B 5。

A 6。

C 7。

B 8。

D 9。

A 10.C
二、填空题
1.100 2。

23k k ≠-≠且 3.1 4。

r 5.m 6. 7
7。

(1,1,,1)T k （k 为任意实数） 8.0 9。

13a ≠-或 10。

1a =- 11. 0 12. 1(,0,0,0)(0,2,3,4),2
T T k k +任意实数 13.无穷,n r -
三、计算题 1。

是 2. 不能
3. 1）12(0,0,1,0),(1,1,0,1)T T v v ==- 2）(1,1,1,1)()T k k -其中为任意非零常数
4. 1）当2a =-时,无解;当21a a ≠-≠且时有唯一解：
211(1),222T a a a a a
+++++（-,）；当1a =时有无穷多解：1212(1,1,0)(1,0,1)(1,0,0)(,)T T T c c c c -+-+其中为任意常数
2）当1b =-时,无解;当14b b ≠-≠且时有唯一解：
2(2)242,111
T b b b b b b b b +++-+++（,）;当4b =时有无穷多解：(3,1,1)(0,4,0)()T T c c --+其中为任意常数
5。

1239535x x x +-=-
6。

1
001112125212⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
第五章 特征值与特征向量
一、单项选择题
1. 设001010100A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,则A 的特征值是( ）。

（a ） —1，1，1 (b) 0，1,1 （c) -1，1，2 (d) 1,1，2
2. 设110101011A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则A 的特征值是（ ）。

（a ） 0,1，1 （b ） 1,1,2 （c ） —1，1，2 (d) -1,1,1
3. 设A 为n 阶方阵， 2A I =,则( )。

（a ） ||1A = （b) A 的特征根都是1 （c ） ()r A n = (d) A 一定是对称阵
4. 若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则1122k x k x +也是A 的特
征向量的充分条件是( ）.
（a ） 1200k k ==且 (b ） 1200k k ≠≠且 (c ） 120k k = （d) 1200k k ≠=且
5. 若n 阶方阵,A B 的特征值相同，则( ）.
(a) A B = （b) ||||A B = (c ） A 与B 相似 （d ） A 与B 合同
6. 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值，则*A 的特征根之一是（ )。

(a ） 1||n A λ- （b ） 1||A λ- (c) ||A λ (d ） ||n A λ
7. 设2是非奇异阵A 的一个特征值，则211
()3
A -至少有一个特征值等于( ）。

（a) 4/3 (b ） 3/4 (c ） 1/2 （d) 1/4
8. 设n 阶方阵A 的每一行元素之和均为(0)a a ≠,则12A E -+有一特征值为（ )。

（a ）a （b)2a （c)2a+1 （d ）2a
+1
9. 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量（ )。

（a ）线性相关 (b ）线性无关 (c ）两两相交 （d)其和仍是特征向量
10. ||||A B =是n 阶矩阵A 与B 相似的( )。

（a)充要条件 (b ）充分而非必要条件 (c ）必要而非充分条件 （d ）既不充分也不必要条件
11. n 阶方阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角阵相似的（ ）.
(a ）充要条件 （b)充分而非必要条件 (c ）必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件
12. 设矩阵111
11A ααββ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭与000010002B ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
相似,则,αβ的值分别为( )。

(a ） 0，0 （b) 0,1 （c) 1,0 （d) 1，1
13. 设,A B 为相似的n 阶方阵，则（ ).
（a)存在非奇异阵P ,使1P AP B -= (b ）存在对角阵D ,使A 与B 都相似于D (c)存在非奇异阵P ,使T P AP B = （d ）A 与B 有相同的特征向量
14. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似,则( ）.
（a ） ()r A n = (b) A 有n 个不同的特征值 （c ） A 有n 个线性无关的特征向量 （d ） A 必为对称阵
15. 若A 相似于B ,则（ ).
(a ） I A I B λλ-=- （b ） ||||I A I B λλ-=-
(c ） A 及B 与同一对角阵相似 (d) A 和B 有相同的伴随矩阵
16. 设100010002A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则与A 相似的矩阵是( ）.
(a ） 110010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （b) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （c ） 101020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (d ） 200011002⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
17. 下列说法不妥的是 （ ）
（a)因为特征向量是非零向量，所以它所对应的特征向量非零 （b ）属于一个特征值的向量也许只有一个 (c)一个特征向量只能属于一个特征值 （d)特征值为零的矩阵未必是零矩阵
18. 若A B ，则下列结论错误的是 （ ）
（a)E A E B λλ-=- (b)A B = （c) 存在可逆矩阵P ,使1P AP B -= (d ）trA trB =
二、填空题
1. n 阶零矩阵的全部特征值为_______。

2. 设A 为n 阶方阵，且I A =2，则A 的全部特征值为_______。

3. 设A 为n 阶方阵,且0=m A （m 是自然数），则A 的特征值为_______。

4. 若A A =2，则A 的全部特征值为_______.
5. 若方阵A 与I 4相似，则=A _______。

6. 若n 阶矩阵A 有n 个相应于特征值λ的线性无关的特征向量，则=A _______.
7. 设三阶矩阵A 的特征值分别为—1，0，2，则行列式2A A I ++= 。

8. 设二阶矩阵A 满足232A A E O -+=,则A 的特征值为 。

9. 特征值全为1的正交阵必是 阵。

10. 若四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为1111
,,,2345
,则1B E --= .
11. 若22311234A B y x ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x = ，y = 。

三、计算题
1. 若n 阶方阵A 的每一行元素之和都等于a ,试求A 的一个特征值及该特征值对应的
一个特征向量。

2. 求非奇异矩阵P ，使1P AP -为对角阵.
1） 2112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2） 112131201A -⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪
--⎝⎭
3. 已知三阶方阵A 的三个特征根为1,1，2，其相应的特征向量依次为
(0,0,1),(1,1,0),(2,1,1)T T T --,求矩阵A .
4. 设2125312A a b -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪--⎝⎭
，有一个特征向量111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪
-⎝⎭，求,a b 的值，并求出对应于α的特征
值。

5. 设3312231A t s -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪
-⎝⎭
，有一个特征向量123α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求,s t 的值.
6. 设0011100A x y ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
有三个线性无关的特征向量，求,x y 满足的条件。

7. 求正交阵P ，使1
P AP -为对角阵,其中a b A b a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭。

8. 设三阶矩阵A 的特征值为-1，2,5，矩阵23B A A =-，求
（1）B 的特征值;
（2)B 可否对角化,若可对角化求出与B 相似的对角阵； （3）求,3B A E -.
9. 已知矩阵111242335A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭与22B y ⎛⎫
⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
相似， （1） 求y ；
（2） 求一个满足1P AP B -=的可逆阵P 。

10. 设532644445A -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
,求100A .
四、证明题
1. 设A 是非奇异阵, λ是A 的任一特征根,求证
1
λ
是1A -的一个特征根,并且A 关于λ的特征向量也是1A -关于1λ
的特征向量。

2. 设2A E =,求证A 的特征根只能是1±.
3. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA 。

4. 证明：相似矩阵具有相同的特征值。

5. 设n 阶矩阵A E ≠,如果()()r A E r A E n ++-=,证明:—1是A 的特征值.
6. 设A B ，证明k
k A B 。

7. 设12,αα是n 阶矩阵A 分别属于12,λλ的特征向量，且12λλ≠，证明12αα+不是A 的特
征向量.
第五章 参考答案
一、单项选择题
1。

a 2.c 3.c 4.d 5。

b 6。

b 7.b 8.d 9.b 10.c 11.b 12。

a 13。

a 14.c 15。

b 16。

b 17。

a 18.a
二、填空题
1.0
2.1，-1 3。

0 4。

0，1 5。

4I 6.I λ 7。

7 8.1，2 9。

单位 10。

24 11.—17，-12
三、计算题 1。

,(1,1,,1)T a
2.（1)1111-⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2)113211122-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭ 3.020130121-⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
4。

3,0,1a b λ===- 5.9,2,6s t λ==-=- 6.0x y +=
7。

10,0a b P P AP a b -+⎛⎫== ⎪-⎪⎝⎭⎪⎭
8。

（1)-4，2,-10 （2）4210-⎛⎫
⎪
⎪ ⎪-⎝⎭， （3）8 9.（1）6,y =（2）特征值2，2,6;111102013p -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
10。

100100100100
100100100100100
10010010010032(21)223312(23)442232(31)2(31)2(13)231⎛⎫
+----
⎪
+---⋅- ⎪ ⎪--⋅-⎝⎭
四。

证明题 (略）
第六章 二次型
一、单项选择题
1．n 阶对称矩阵A 正定的充分必要条件是（ ）。

()a 0A > ()b 存在阶阵C ，使T A C C = ()c 负惯性指数为零 ()d 各阶顺序主子式为正
2．设A 为n 阶方阵，则下列结论正确的是（ ）。

()a A 必与一对角阵合同
()b 若A 的所有顺序主子式为正，则A 正定
()c 若A 与正定阵B 合同,则A 正定
()d 若A 与一对角阵相似，则A 必与一对角阵合同
3．设A 为正定矩阵，则下列结论不正确的是（ )。

()a A 可逆 ()b 1A -正定
()c A 的所有元素为正 ()d 任给12(,,,)0,T n X x x x =≠均有0T X AX >
4．方阵A 正定的充要条件是( )。

()a A 的各阶顺序主子式为正; ()b 1A -是正定阵；
()c A 的所有特征值均大于零； ()d A T A 是正定阵。

5．下列(,,)f x y z 为二次型的是（ )。

()a 222ax by cz ++ ()b 2ax by cz ++
()c axy byz cxz dxyz +++ ()d 22ax bxy czx ++
6． 设A 、B 为n 阶方阵，12(,,,)T n X x x x =且T T X AX X BX =则A=B 的充要条件是（ ）。

()a ()()r A r B = ()b T A A =
()c T B B = ()d T A A =，T B B =,
7． 正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( ）必成立.
()a A 的所有顺序主子式为非负数 ()b A 的所有特征值为非负数
()c A 的所有顺序主子式大于零
()d A 的所有特征值互不相同
8．设A,B 为n 阶矩阵，若（ )，则A 与B 合同.
()a 。

存在n 阶可逆矩阵,P Q 且PAQ B = ()b 存在n 阶可逆矩阵P ，且1P AP B -= ()c 存在n 阶正交矩阵Q ，且1Q AQ B -=
()d 存在n 阶方阵,C T ,且CAT B =
9．下列矩阵中，不是．．
二次型矩阵的为（ ） ()a .⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-100000000
()b ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-200010001 ()c ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--562640203
()d ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛987654321
10．下列矩阵中是正定矩阵的为（ )
()a 2334⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
()b 3426⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
()c 100023035--⎛⎝ ⎫
⎭⎪
⎪
⎪ ()d 111120102⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
11．已知A 是一个三阶实对称且正定的矩阵,那么A 的特征值可能是（ ）
()a 3，i, －1； ()b 2, －1， 3； ()c 2， i ， 4; ()d 1， 3， 4
二、填空题
1. 二次型212312233(,,,)2f x x x x x x x x =++的秩为 . 2．二次型221212122(,)63f x x x x x x x =++的矩阵为 。

3． 设104220003A ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
，则二次型T
f X AX =的矩阵为 。

4．若2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定,则t 的取值范围是 。

5．设A 为n 阶负定矩阵,则对任何12(,,,)0T n X x x x =≠均有T X AX 。

6．任何一个二次型的矩阵都能与一个对角阵 。

7．设21101000A a a ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
是正定矩阵，则a 满足条件 。

8．设实二次型22212311223(,,)22f x x x x x x x ax =+++则当a 的取值为_______ 时，二次型
123(,,)f x x x 是正定的。

9．二次型1212(,)f x x x x =的负惯性指数是__________。

10．二次型112213(,)12x x x x ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
的矩阵为 。

三、计算题
1. 求一个非退化的线性变换,将下列二次型化为标准型。

1）222123112132233(,,)2224f x x x x x x x x x x x x =+++++ 2） 21231213223(,,)2422f x x x x x x x x x x =-+-
2．设211101110A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，011121110B ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，求非奇异矩阵C ，使T
A C BC =。

3．用配方法化二次型1231213(,,)f x x x x x x x =+为标准形，并写出相应的满秩线性变换 4．求非奇异矩阵P ，使1P AP -为对角阵。

2112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 112131201A -⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪
--⎝⎭
四、证明题
1. 已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为22
12y y +，
且Q 的第3
列为22T
⎛ ⎝
⎭。

(Ⅰ）求矩阵A ; （II)证明A E +为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵.
2．设A 、B 为同阶正定矩阵，λ，0μ>，求证A B λμ+也是正定矩阵。

3．设A ， B 是同阶正定矩阵，试证A ＋B 也是正定矩阵。

第六章 参考答案
一、单项选择题
1． ()d 2． ()c 3． ()c 4． ()b 5． ()a 6． ()d 7． ()c 8． ()c 9．()d 10． ()c 11． ()d
二、填空题
1。

3 2．1333⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3． 110120203⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
, 4
．( 5．0< 6．合同 7．1a >
8．0a > 9．1
10．1222⎛⎫ ⎪⎝⎭
三、计算题
1．
1）1122233
3x y y x y y x y
=-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
2） 1123
2123332x y y y x y y y x y
=++⎧⎪
=-+⎨⎪=⎩
2． 010100001⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
， 3．解：令112123
3x y x y y x y =⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即1100110001X Y C Y ⎛⎫
⎪
== ⎪ ⎪
⎝⎭
则：
212311213
22111
12323224(,,)()()
f x x x y y y y y y y y y y =++=++-+
令1111232222333w y y y w y y w y =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即1221101100
1Y W C W --⎛⎫
⎪
=-= ⎪ ⎪⎝⎭
即12X C C W =使22
1123124
(,,)f x x x w w =- 4． 1111-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 113211122-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪
⎝⎭
四、证明题
1． 解:由题意A 的特征值为1,1,0。

且T
⎝⎭
为特征值0的特征血量
所以1的特征向量若为123(,,)T x x x 时有。