2018-2019学年高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义

2.2.1 向量加法运算及其几何意义 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
[A 级 基础巩固]
一、选择题
1．化简PM →－PN →＋MN →
所得的结果是( ) A.MP → B.NP → C ．0
D.MN →
解析：PM →－PN →＋MN →＝NM →
＋MN →
＝0.
答案：C
2．在平行四边形ABCD 中，AB →＋CA →
＋BD →＝( )
A.AB →
B.BD →
C.BC →
D.CD → 解析：AB →＋CA →＋BD →
＝(AB →＋BD →
)＋CA →＝AD →
＋CA →
＝CA →＋AD →＝CD →
.
答案：D
3．如图，在四边形ABCD 中，设AB →
＝a ，AD →
＝b ，BC →
＝c ，则DC →
等于( )
A ．a －b ＋c
B ．b －(a ＋c )
C ．a ＋b ＋c
D ．b －a ＋c
解析：DC →＝AC →－AD →＝AB →
＋BC →－AD →
＝a ＋c －b ＝a －b ＋c .
答案：A
4．在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →
|的值为( ) A ．1 B ．2 C.3
2
D. 3 解析：作菱形ABCD ，
则|AB →－BC →|＝|AB →－AD →|＝|DB →
|＝ 3. 答案：D
5.如图所示，已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )
A.AD →＋BE →＋CF →＝0
B.BD →－CF →＋DF →＝0
C.AD →＋CE →－CF →＝0
D.BD →－BE →－FC →＝0
解析：因为D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点， 所以AD →＝DB →，CF →＝ED →，FC →＝DE →，FE →＝DB →， 所以AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋ED →
＝0，故A 成立． BD →－CF →＋DF →＝BD →＋DF →－CF →＝BF →＋FC →＝BC →
≠0，故B 不成立． AD →＋CE →－CF →＝AD →＋FE →＝AD →＋DB →＝AB →
≠0，故C 不成立． BD →
－BE →－FC →＝ED →－DE →＝ED →＋ED →
≠0，故D 不成立． 答案：A 二、填空题
6．化简(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →
)＝________．
解析：(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →＋CQ →)＝0＋PQ →＝PQ →
.
答案：PQ →
7．设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________．
解析：当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4. 答案：20，4
8．如图所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →
＝a ，OB →
＝b ，OC →
＝c, 则OD →
＝________(用a ，b ，c 表示)．
解析：在平行四边形ABCD 中，因为OA →＝a ，OB →＝b ，所以BA →＝OA →－OB →
＝a －b ， 所以CD →＝BA →
＝a －b ， 所以OD →＝OC →＋CD →
＝a －b ＋c . 答案：a －b ＋c 三、解答题
9．如图所示，已知a ，b ，求作a －b .
解：
10．如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →
＝a ，AC →
＝
b ，AE →
＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →
，BD →
.
解：因为四边形ACDE 是平行四边形，
所以CD →
＝AE →＝c ，BC →
＝AC →－AB →
＝b －a ， 故BD →＝BC →
＋CD →
＝b －a ＋c .
[B 级 能力提升] 1．在平行四边形ABCD 中，|AB →
＋AD →
|＝|AB →－AD →|，则有( )
A.AD →＝0
B.AB →
＝0或AD →
＝0 C ．四边形ABCD 是矩形
D ．四边形ABCD 是菱形
解析：AB →＋AD →
与AB →－AD →
分别是平行四边形ABCD 的两条对角线，且|AB →
＋AD →
|＝|AB →－AD →
|，所以四边形ABCD 是矩形．
答案：C
2．对于非零向量a ，b ，当且仅当________时，有|a －b |＝||a |－|b ||.
解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |＞||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.
答案：a 与b 同向
3．如图所示，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →
＝b .
(1)用a 、b 表示AC →、DB →
；
(2)当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ (3)当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |? (4)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？ 解：(1)AC →＝AD →＋AB →＝b ＋a ，DB →＝AB →－AD →
＝a －b . (2)由(1)知a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →
. 因为a ＋b 与a －b 所在直线垂直，
所以AC ⊥BD .又因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为菱形，所以|a |＝|b |.
所以当|a |＝|b |时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直． (3)假设|a ＋b |＝|a －b |， 即|AC →|＝|BD →|.
因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 是矩形，所以a ⊥b ， 所以当a 与b 垂直时，|a ＋b |＝|a －b |.
(4)不可能．因为▱ABCD 的两条对角线不可能平行，
所以a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，也就不可能为相等向量了．。