高中数学第二章参数方程二圆锥曲线的参数方程第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程

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1．双曲线的参数方程
x＝asec θ，
双曲线xa22－by22＝1 的参数方程为__y_＝__b_t_a_n__θ____
θ为参数，θ∈[0，2π）且θ≠π2，θ≠32π.
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温馨提示 参数 θ 是点 M 所对应的圆的半径的旋转 角(称为点 M 的离心角)，而不是 OM 的旋转角．
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(3)
圆
锥
曲
线
x＝t2， y＝2t
(t
为参数)的焦点坐标是 (1，
0)．( )
解 析 ： (1) 由 双 曲 线 的 参 数 方 程 易 知 其 参 数 方 程 为
x＝4sec y＝3tan
φ，
(φ φ
为参数)，但
φ∈[0，2π)且
φ≠π2，φ≠32π，
故(1)错误．
4．双曲线 x2－y2＝1 的参数方程是_______________． 解析：由 x2－y2＝1，
又 sec2θ－tan2θ＝1，
所以令 x＝sec θ，y＝tan θ.
x＝sec θ，
故参数方程为
(θ 为参数)．
y＝tan θ
x＝sec 答案：y＝tan
θ， θ (θ
为参数)
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·
|OB|
＝
1 2
×
2p|t1|. t21＋1·2p|t2| t22＋1＝(5 分)
2p2|t1t2| （t21＋1）（t22＋1）＝2p2 t21＋t22＋2＝
2p2 t12＋t112＋2≥(6 分)
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2p2 2＋2＝4p2，(7 分) 当且仅当 t21＝t112，即 t1＝1，t2＝－1 或 t1＝－1，t2＝1 时， 等号成立．(9 分) 失分警示：若漏掉一组解扣 1 分． 所以 A，B 的坐标分别为(2p，2p)，(2p，－2p)或(2p，－ 2p)，(2p，2p)时，△AOB 的面积最小，最小值为 4p2.(10 分)
5．若点 P(3，m)在以点 F 为焦点的抛物线xy＝＝44tt2，(t 为参数)上，则|PF|＝________．
解析：抛物线为 y2＝4x，准线为 x＝－1，
|PF|等于点 P(3，m)到准线 x＝－1 的距离，即为 4.
答案：4
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类型 1 双曲线的参数方程及其应用(互动探究)
φ，
(φ
为参数)的焦点坐标为
()
A．(0，0)，(0，－8) B．(0，0)，(－8，0)
C．(0，0)，(0，8)
D．(0，0)，(8，0)
解析：利用平方关系化为普通方程：（x－254）2＋y92＝
1.
所以焦点(0，0)，(8，0)．
答案：D
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3．过点 M(2，4)且与抛物线xy＝＝42tt2，只有一个公共
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(2)由参数方程消去参数 t 可得普通方程为 y2＝－
2px(p>0)，故(2)正确．
x＝t2，
(3)由
得
y2＝4x
为抛物线方程，故其焦点为
y＝2t
(1，0)．
答案：(1)× (2)√ (3)√
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2
．
椭
圆
x＝4＋5cos y＝3sin φ
点的直线有( )
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
x＝2t2，
解析：由
得
y2＝8x.
y＝4t
所以点 M(2，4)在抛物线上．
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所以过点 M(2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有 2 条．
答案：C
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|OB|＝ （2pt22）2＋（2pt2）2＝2p|t2| t22＋1，(3 分) 因为 OA⊥OB，所以O→A·O→B＝0，
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即 2pt21·2pt22＋2pt1·2pt2＝0，所以 t1·t2＝－1.(4 分)
△ AOB
的面积为
S
△
AOB
＝
1 2
|OA|
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2．抛物线的参数方程
如图，抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
x＝2pt2，
____y_＝__2_p_t ____t为参数，t＝tan1
α.
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温馨提示 t＝sin1 α(α 是以射线 OM 为终边的角)，即 参数 t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
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[迁移探究] (变换条件)如图所示，设 P 为等轴双曲 线 x2－y2＝1 上的一点，F1，F2 是两个焦点，证明： |PF1|·|PF2|＝|OP|2.
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证明：设 P(sec φ，tan φ)，
因为 F1(－ 2，0)，F2( 2，0)， 所以|PF1|·|PF2| ＝
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第二讲 参数(cānshù)方程
内容(nèiróng)总结
No
Image
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x＝4t，
所以
(t 为参数)，
y＝4t2
消去 t 得 x2＝4y.
该曲线是以 y 轴为对称轴，焦点为(0，1)的抛物线．
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1．双曲线的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角函数问题， 从而运用三角函数性质及变换公式帮助求解最值、参数 的取值范围等问题． 2．在利用参数方程求焦点坐标、准线方程时，应先 判断抛物线的对称轴及开口方向，在方程的转化过程中 要注意参数的范围限制.
第二 讲 (dìèr) 参数方程
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二、圆锥曲线的参数方程 第 2 课时 双曲线的参数方程和
抛物线的参数方程
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[学习目标] 1.了解抛物线和双曲线的参数方程，了 解抛物线参数方程中参数的几何意义(重点)． 2.利用抛 物线和双曲线的参数方程处理问题(重点、难点)．
（sec φ＋ 2）2＋tan2φ· （sec φ－ 2）2＋tan2φ ＝ 2sec2φ＋2 2sec φ＋1· 2sec2φ－2 2sec φ＋1
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＝ （2sec2φ＋1）2－8sec2φ ＝2sec2φ－1. 因为|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，
积用其参数表示，再利用均值不等式求最值．
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第二十二页， A，B 的坐标分别为 A(2pt21，2pt1)，B(2pt22，2pt2)(t1≠t2，且 t1t2≠0)，(1 分)
则：|OA|＝ （2pt21）2＋（2pt1）2＝2p|t1| t12＋1，(2 分)
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类型 2 抛物线的参数方程及其应用(规范解答)
[典例 2] (本小题满分 10 分)如图所示， O 是直角坐标系的原点，A、B 是抛物线 y2＝2px(p>0)上异于顶点的两个动点，且 OA⊥OB 于 O，A、B 在什么位置时，△AOB 的面积最小？ 最小值是多少？
审题指导：利用抛物线的参数方程，将△AOB 的面
[典例 1] 已知点 P(0，2)与双曲线 x2－y2＝1 上一点
Q，求 P、Q 两点间距离的最小值．
x＝sec θ，
解：把双曲线方程化为参数方程
(θ 为参
y＝tan θ
数)，
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设双曲线上点 Q(sec θ，tan θ)，则 |PQ|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝ (tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝ 2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3， 当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4时， |PQ|2 取最小值 3，此时有|PQ|＝ 3. 即 P、Q 两点间的最小距离为 3.
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1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)双曲线1x62 －y92＝1
的参数方程为xy＝＝34tsaenc
φ， φ (φ
为
参数)，φ∈[0，2π)．( )
(2)抛物线 y2＝－2px(p>0)的参数方程是xy＝＝2－pt2pt2，
(t 为参数)．( )
所以|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
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归纳升华 当点 P 在双曲线xa22－by22＝1 上时，可设 P(asec φ，btan φ)，其中 φ∈[0，2π)，且 φ≠π2，φ≠32π，从而把与双曲线 上的点的坐标有关的问题转化为三角函数问题来处理．
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归纳升华 若点 M 在抛物线 y2＝2px(p>0)上，可根据其参数方 程设 M(2pt2，2pt)，从而把与抛物线上的点的坐标有关的 问题转化为与参数 t 有关的问题．
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[变式训练] 如图所示，连接原点 O 和抛物线 y＝12x2 上的动点 M，延长 OM 到点 P，使|OM|＝|MP|，求点 P 的轨迹方程，并说明是什么曲线．
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解 ： 抛 物 线 标 准 方 程 为 x2 ＝ 2y ， 其 参 数 方 程 为
x＝2t，
得
M(2t，2t2)．
y＝2t2，
设 P(x，y)，则 M 是 OP 中点．
2t＝x＋2 0， 所以
y＋0 2t2＝ 2 ，
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