2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章3.5确定圆的条件 同步测试

北师大版九年级数学下册第三章3．5确定圆的条件同步测试(原卷版)一．选择题
1．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（）
A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．无法确定2．给定下列图形可以确定一个圆的是（）
A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．已知三个点3．如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为（）
A．140°B．110°C．70°D．40°
4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
5.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）
A．三边的垂直平分线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
6．下列语句中正确的是（）
A．直径是弦，弦是直径．
B．相等的圆心角所对的弦相等
C．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
D．三点确定一个圆
7．直角三角形两直角边长分别为和1，那么它的外接圆的直径是（）A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知等边三角形的外接圆半径为2，则该等边三角形的边长是（）A．2 B．4 C．D．2
9.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AC=5，DC=3，
AB=
，则⊙O的直径AE=（）
A．．5 C．．
10．下列说法正确的是（）
A．任意三点可以确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分该弦所对的弧
C．相等圆周角所对的弧也相等
D．等弧所对的圆周角相等
11.如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC 的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（）
A．a：b：c B．111
::
a b c
C．cosA：cosB：cosC D．sinA：sinB：
sinC
12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD ＝8，则AC的长为（）
A．4 B．4C．D．2
二．填空题
13．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为．
14.平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径为．
16．在坐标系中，以O为圆心，5为半径的⊙O与点P（﹣4，4）的位置关系是：点P在⊙O（填“内”、“上”或“外”）．
17.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC和△ACD的外心距是 .
18．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则其外接圆的直径为 ．
三．解答题
19．小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）
，可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P 1P 2＝
；他还证明了线段P 1P 2的中点P （x ，y ）的坐标公
式
是：x ＝
，y ＝； 启发应用
请利用上面的信息，解答下面的问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知A （8，0），B （0，6），C （1，7），⊙M 经过原点O 及点A 、B ．
（1）求⊙M 的半径及圆心M 的坐标；
（2）判断点C 与⊙M 的位置关系，并说明理由．
20．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B．C．D．E 在以点M为圆心的同一个圆上．
21．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A（2，3），B（﹣3，﹣7），C（5，11）是否可以确定一个圆．
22.如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交
⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=3
4
，求⊙O的直
径．
23．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．
（1）求证：＝
（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．
24．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD．
（1）求证：P是线段AQ的中点；
（2）若⊙O的半径为5，D是的中点，求弦CE的长．
25．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．
（1）求证：∠ABD＝2∠C．
（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．
26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点M从C点开始以1cm/s的速度沿CB向B点运动，点N从A点开始以2cm/s的速度沿AC向C点运动，点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．
（1）2秒时，△MCN的面积是；
（2）求经过几秒，△MCN的面积是3cm2；
（3）试说明△MCN外接圆的半径能否是cm．
北师大版九年级数学下册第三章3．5确定圆的条件同步测试(解析版)一．选择题
1．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（）
A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．无法确定
解：∵r＝4，d＝4.5，
∴d＞r，
∴点P在⊙O外．
故选：C．
2．给定下列图形可以确定一个圆的是（）
A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．已知三个点解：A、不能确定．因为半径不确定，故不符合题意；
B、不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
C、能确定，给定一直径，则圆心和半径确定，所以可以确定一个圆，故符合题意；
D、不能确定，不在同一直线上三点可以确定一个圆．故不符合题意；
故选：C．
3．如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为（）
A．140°B．110°C．70°D．40°
解：在优弧AMC上任取一点P，连接AP，CP，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝20°，
∴∠AOC＝180°﹣2×20°＝140°，
∴∠P＝70°，
∵∠ABC+∠P＝180°，
∴∠ABC＝110°，
故选：B．
4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
解：如图：
根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O
即为圆心，且坐标
1
是（3，1）．
故选D．
5.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）
A．三边的垂直平分线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
解：因为到三角形各顶点的距离相等的点，需要根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，只有分别作出三角形的两边的垂直平分线，交点才到三个顶点的距离相等．
故选：A
6．下列语句中正确的是（）
A．直径是弦，弦是直径．
B．相等的圆心角所对的弦相等
C．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
D．三点确定一个圆
解：A、直径是圆中特殊的弦，它经过圆心，但弦不一定是直径，故本选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故本选项不符合题意；
C、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故本选项符合题意；
D、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意．
故选：C．
7．直角三角形两直角边长分别为和1，那么它的外接圆的直径是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长＝＝2，
∴它的外接圆的直径是2，
故选：B．
8．已知等边三角形的外接圆半径为2，则该等边三角形的边长是（）A．2 B．4 C．D．2
解：如图所示：∵⊙O是等边△ABC的外接圆，OB＝2，
∴∠OBD＝30°，
过点O作OD⊥BC于点D，则BD＝BC，OD＝OB＝1，
在Rt△OBD中，
BD＝＝，
∴BC＝2BD＝2，
故选：D．
9.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AC=5，DC=3，
AB=
，则⊙O的直径AE=（）
A． B．5 C．．
解：如图：
连接BE ，则∠BEA=∠ACB ，且三角形ABE 是直角三角形．
2222534DC
45AD AC 的直径52sin AB AE
BEA
10．下列说法正确的是（ ）
A ．任意三点可以确定一个圆
B ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分该弦所对的弧
C ．相等圆周角所对的弧也相等
D ．等弧所对的圆周角相等
解：A 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误；
B 、平分弦的直径，垂直于弦并且平分弦所对的弧，此弦不能是直径，故本选项说法错误；
C 、在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等，故本选项说法错误；
D 、等弧所对的圆周角相等，故本选项说法正确．
故选：D ．
11.如图，△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的三边分别记为a ，b ，c ，O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，则OD ：OE ：OF=（ ）
A．a：b：c B．111
::
a b c
C．cosA：cosB：cosC D．sinA：
sinB：sinC
解：设三角形的外接圆的半径是R．
连接OB，OC．
∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC．
∴∠BOD=∠COD=∠A
在直角△OBD中，OD=OB•cos∠BOD=R•cosA．
同理，OE=R•cosB，OF=R•cosC．
∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC．
故选C．
12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD ＝8，则AC的长为（）
A．4 B．4C．D．2
解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，
∴CD＝AD＝4，
∴AC＝＝＝4，
故选：B．
二．填空题
13．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 5 ．
解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
14.平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．
解：∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，
∴点A、B、C不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．
故答案为：能．
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径为3．
解：如图，连接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OA＝OB＝AB＝3，
即⊙O的半径是3，
故答案为：3．
16．在坐标系中，以O为圆心，5为半径的⊙O与点P（﹣4，4）的位置关系是：点P在⊙O外（填“内”、“上”或“外”）．
解：∵点P（﹣4，4），
∴OP＝＝4，
∴OP大于圆的半径5，
∴点P在⊙O外，
故答案为：外．
17.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，∠ACB=∠ACD=90°，点D 在边BC 的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC 和△ACD 的外心距是 .
解：∵∠ACB=∠ACD=90°，
∴Rt △ABC 和Rt △ACD 分别是AB ，AD 的中点，
∴两三角形的外心距为△ABD 的中位线，即为12
BD=3．
故答案为：3．
18．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则其外接圆的直径为 ． 解：在Rt △ABC 中，
∵∠ACB ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，
∴AB ＝＝＝， ∵直角三角形的外心为斜边中点，
∴Rt △ABC 的外接圆的直径为
． 故答案为：
． 三．解答题
19．小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）
，可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P 1P 2＝
；他还证明了线段P 1P 2的中点P （x ，y ）的坐标公式是：x ＝
，y ＝；
启发应用
请利用上面的信息，解答下面的问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．
解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙M的直径，
∵A（8，0），B（0，6），
∴AB＝＝10，
∴⊙M的半径为5，
由线段中点坐标公式x＝，y＝，得x＝4，y＝3，
∴M（4，3），
（2）点C在⊙M上，
理由：∵C（1，7），M（4，3），
∴CM＝＝5，
∴点C在⊙M上．
20．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B．C．D．E 在以点M为圆心的同一个圆上．
证明：连接ME、MD，
∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，
∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC，
∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．
21．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A（2，3），B（﹣3，﹣7），C（5，11）是否可以确定一个圆．
解：设经过A，B两点的直线解析式为y＝kx+b，
由A（2，3），B（﹣3，﹣7），
得，
解得．
∴经过A，B两点的直线解析式为y＝2x﹣1；
当x＝5时y＝2x﹣1＝2×5﹣1＝9≠11，
所以点C（5，11）不在直线AB上，
即A，B，C三点不在同一直线上，
因为“两点确定一条直线”，
所以A，B，C三点可以确定一个圆．
22.如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交
⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=3
4
，求⊙O的直
径．
解：如图，连接BE．
∵AF=AD，AB⊥EF，
∴BF=BD．是直径
∵AB=AC，
∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E．
∵tan∠ABD=3
4
，
∴tanE=tan∠FBA=3
4
．
在Rt△ABF中，∠BAF=90°．
∵tan∠FBA=AF
AB
=
3
4
，AF=3，
∴AB=4．
∵∠BAE=90°，
∴BE是⊙O的直径．
∵tanE=tan∠FBA=3
4
，AB=4，
∴设AB=3x，AE=4x，∴BE=5x，
∵3x=4，
∴BE=5x=20
3
，
即⊙O的直径是20
3
．
23．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．
（1）求证：＝
（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．
（1）证明：连BO并延长BO交AC于T．
∵AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA，
又∵∠BAC+∠OAB＝90°，
∴∠BAC+∠OBA＝90°，
∴∠BTA＝90°，
∴BT⊥AC，
∴＝．
（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA＝90°，
∴∠OAB+∠AED＝90°，
∵∠OAB+∠BAC＝90°，
∴∠AED＝∠BAC＝∠FEC，
∵AF为⊙O直径，
∴∠ACF＝90°，
同理：∠FCE＝∠BAC，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴FE＝FC，
∵AO＝3，AE＝4，
∴OE＝1，FE＝FC＝2，
在Rt△FCA中
∴AC＝＝4
24．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD．
（1）求证：P是线段AQ的中点；
（2）若⊙O的半径为5，D是的中点，求弦CE的长．
（1）证明：∵CE⊥AB，AB是直径，
∴，
又∵
∴，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴AP＝CP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90˚，
∴∠ACE+∠BCP＝90°，∠CAD+∠CQA＝90°，
∴∠BCP＝∠CQA，
∴CP＝PQ，
∴AP＝PQ，
即P是线段AQ的中点；
（2）解：∵，AB是直径，
∴∠ACB＝90˚，∠ABC＝30˚，
又∵AB＝5×2＝10，
∴AC＝5，BC＝5，
∴CH＝BC＝，
又∵CE⊥AB，
∴CH＝EH，
∴CE＝2CH＝2×＝5．
25．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．
（1）求证：∠ABD＝2∠C．
（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．
（1）证明：∵C是的中点，
∴＝，
∴∠ABC＝∠CBD，点F是AD的中点，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，
∴∠ABD＝∠ABC+CBD＝2∠C；
（2）解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝6，
∵C是的中点，
∴OC⊥AD，
∴OA2﹣OF2＝AF2＝AC2﹣CF2，
∴52﹣OF2＝62﹣（5﹣OF）2，
∴OF＝1.4，
又∵O是AB的中点，F是AD的中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD＝2OF＝2.8．
26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点M从C点开始以1cm/s的速度沿CB向B点运动，点N从A点开始以2cm/s的速度沿AC向C点运动，点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．
（1）2秒时，△MCN的面积是4cm2；
（2）求经过几秒，△MCN的面积是3cm2；
（3）试说明△MCN外接圆的半径能否是cm．
解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝8，
根据题意得，AN＝4，CM＝2，
∴CN＝4，
∴S△CMN＝×4×2＝4（cm2）；
故答案为4cm2；
（2）设经过x秒，
根据题意得，（8﹣2x）•x＝3，
解得x1＝1，x2＝3；
即经过1秒或3秒，△MCN的面积是3cm2；
（3）∵△MNC为直角三角形，∠C＝90°，
∴MN为△MCN外接圆的直径，
假设△MCN外接圆的半径为cm，则MN＝2cm，设M点运动的时间为t秒，则NC＝8﹣2t，CM＝t，根据题意得，（8﹣2t）2+t2＝（2）2，
整理得5t2﹣32t+52＝0，
∵△＝（﹣32）2﹣4×5×52＝﹣16＜0，
∴原方程没有实数解，
∴△MCN外接圆的半径不能是cm．。