2019届天津市和平区高三下学期二模数学(理)试题(解析版)

2019届天津市和平区高三下学期二模数学（理）试题
一、单选题
1．设全集，集合,,则
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】由集合或，先求解，再由集合能够求出答案.
【详解】
因为全集,
集合或，
所以，所以，故选B.
【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
2．已知,x y满足约束条件
24
24
1
x y
x y
x
y
+≤
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≥
⎩
则2
z x y
=-的最小值为
A．2 B．4 C．1
2
D．
2
5
【答案】C
【解析】首先绘制出可行域，注意到目标函数取最小值时直线系方程在y轴的截距有最大值，据此结合直线方程确定目标函数取得最小值时点的坐标，然后代入目标函数确定其最小值即可.
【详解】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：2y x z =-，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程：124
x x y =⎧⎨+=⎩，可得点A 的坐标为：31,2A ⎛⎫
⎪⎝⎭， 据此可知目标函数的最小值为：max 3122122
z x y =-=⨯-=. 故选：C . 【点睛】
求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 3．执行如图所示的程序框图,若输入的6n =，则输出S =
A ．
514
B ．
13
C ．
2756
D ．
310
【答案】B
【解析】首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值. 【详解】
由流程图可知，程序输出的值为：1111
023344556
S =++++⨯⨯⨯⨯， 即1111111123344556S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111263
=-=. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4． 下列结论错误的是
A ．命题：“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2320x x -+≠”
B ．“a b >”是“22ac bc >”的充分不必要条件
C ．命题：“x R ∃∈， 20x x ->”的否定是“x R ∀∈， 20x x -≤”
D ．若“p q ∨”为假命题，则,p q 均为假命题 【答案】B
【解析】由逆否命题的定义考查选项A ，由不等式的性质考查选项B ，由全称命题的否定考查选项C ，由真值表考查选项D ，据此确定所给的说法是否正确即可. 【详解】
逐一考查所给命题的真假：
A . 同时否定条件和结论，然后以原来的条件为结论，以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题：“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则
2320x x -+≠”
B . 若“a b >”，当0c =时不满足“22ac bc >”，即充分性不成立， 反之，若“22ac bc >”，则一定有“a b >”，即必要性成立， 综上可得，“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件
C . 特称命题的否定是全称命题，命题：“x R ∃∈，20x x ->”的否定是“x R ∀∈，
20x x -≤”，
D . 由真值表可知：若“p q ∨”为假命题，则,p q 均为假命题.
即结论错误的为B 选项. 故选：B . 【点睛】
当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假. 5．()sin(2)||2f x x πϕϕ⎛⎫
=+< ⎪⎝
⎭
的图象向右平移12π
个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的值为 A ．3
π-
B ．4
π-
C ．
3
π D ．6
π-
【答案】A
【解析】由题意首先确定函数平移之后的函数解析式，所得到的图象关于y 轴对称，则
0x =时函数取得最大值或最小值，据此确定ϕ的值即可.
【详解】
()()22f x sin x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象向右平移12π个单位后的解析式为：
()sin 2sin 212126g x f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
图象关于y 轴对称，则当0x =时函数取得最大值或最小值， 即：20662
k π
π
π
ϕϕπ⨯-
+=-
+=+
，
故()23
k k Z πϕπ=+∈，令1k =-可得：3π
ϕ=-.
故选：A . 【点睛】
本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6． 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，设
(ln ),a f π=5(log 2),b f =-1
2(),c f e -=则,,a b c 的大小关系是
A ．b c a <<
B ．a b c <<
C ．c b a <<
D ．a c b <<
【答案】D
【解析】首先比较自变量的大小，然后结合函数的奇偶性确定函数在区间()0,+∞上的单调性，最后利用单调性比较函数值的大小即可.
注意到ln 1π>
，51
0log 2log 2
<<=
，且112=
<<， 据此可得：12
5ln log 2e
π->>，
函数为偶函数，则：()()12
5ln ,log 2,a f b f c f e π-⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，
由偶函数的性质可知：函数在区间()0,+∞上单调递减，
故()()12
5ln log 2f f e f π-⎛⎫<<- ⎪⎝⎭
，即a c b <<.
故选：D . 【点睛】
本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．已知双曲线2222:1x y C a b
-=(0,0)a b >>的右焦点为(c,0)F ，直线2
a x c =与一条
渐近线交于点P ，POF ∆的面积为2a (O 为原点），则抛物线2
2b
y x a
=
的准线方程为 A ．12
y =
B ．1x =
C ．1x =-
D
．x 【答案】C
【解析】首先联立双曲线的渐近线方程和直线2
a x c
=确定点P 的坐标，然后求解POF
∆的面积得到a ,b 的关系，最后由抛物线方程确定其准线方程即可. 【详解】
不妨取双曲线的渐近线方程为0bx ay -=，
与直线2a x c =联立可得：2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，即2,a ab P c c ⎛⎫
⎪⎝⎭, 由题意可得2122POF
ab ab S c a c ⨯⨯==△，22,4b b a a
∴>=， 抛物线方程为2
4y x =， 其准线方程为1x =-. 故选：C .
本题主要考查双曲线的渐近线方程，抛物线准线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．在ABC ∆中，26AB AC ==，2
BA BC BA ⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内的一点，则当2
2
2
PA PB PC ++取得最小值时，AP BC ⋅= A ．
35
B ．9-
C ．7
D ．25
-
【答案】B
【解析】由题意结合平面向量的定义可得2
CAB π
∠=
，建立平面直角坐标系，结合平面
向量的坐标运算法则确定当2
2
2
PA PB PC ++取得最小值时点P 的坐标，然后求解
AP BC ⋅的值即可.
【详解】
2||||cos ||BA BC BA BC B BA ⋅=⋅=，||cos ||BC B BA ∴⋅=， CA AB ∴⊥，2
CAB π
∠=
，以A 为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，
则(6,0),(0,3)B C ，设(,)P x y ，
则222222222(6)(3)PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-
2222
31236453(2)(1)10x x y y x y ⎡⎤=-+-+=-+-+⎣⎦，
所以当x =2，y =1时222PA PB PC ++取最小值， 此时(2,1)(6,3)9AP BC ⋅=⋅-=-.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算法则，平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题 9．如果
2
11mi i
=+-（,m R i ∈表示虚数单位），那么m = ________. 【答案】1 【解析】首先化简2
1i
-，然后由复数相等的充分必要条件可得m 的值. 【详解】 由于
()()112111i i i i i
+-==+--， 结合题意可得：11i mi +=+，由复数相等的充分必要条件可得：1m =. 故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查复数的运算法则，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．若直线2y x =-+与曲线1222x cos y sin θ
θ
=-+⎧⎨
=+⎩(θ为参数)交于两点,A B ，则AB =_________.
【解析】首先将参数方程化简为直角坐标方程，然后求得圆心到直线的距离，最后利用弦长公式求解弦长即可. 【详解】
曲线12(22x cos y sin θθθ
=-+⎧⎨
=+⎩为参数)消去参数θ可得：()()22
124x y ++-=， 表示圆心为()1,2-，半径为2r =的圆，
圆心到直线20x y +-=的距离：2
d =
=
，
由弦长公式可得弦长为：2==
【点睛】
本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化，圆的弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答) 【答案】60
【解析】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数. 【详解】
首先选派男医生中唯一的主任医师，
然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生，
故选派的方法为：22
5410660C C =⨯=.
故答案为：60． 【点睛】
解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
12．一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为2cm 的球面上，如果该四棱柱的底面是对
的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为___________.
【答案】22+
【解析】题意可得题中的四棱柱是一个正四棱柱，利用正四棱柱外接球半径的特征求得正四棱柱的高度，然后求解其表面积即可. 【详解】
由题意可得题中的四棱柱是一个长方体，且正四棱柱的底面边长为1cm ，
设高为hcm ，由题意可得：2222112h ++=，22,h h ∴==
该四棱柱的表面积为(2
211112S =⨯⨯+=+.
故答案为：22+． 【点睛】
本题主要考查正四棱柱外接球的性质，正四棱柱的表面积的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13．若不等式13222a
x x ---+≤对任意实数x 都成立,则实数a 的最大值为________.
【答案】1
3
-
【解析】首先利用绝对值三角不等式确定22x x --+的最大值，然后由恒成立的条件确定实数a 的取值范围即可确定实数a 的最大值. 【详解】
由绝对值三角不等式可得：|2||2||(2)(2)|4x x x x --+≤--+=，
132
4a
-∴≥，即132a -≥，解得13
a ≤-，
综上可知：实数a 的最大值为13
-. 故答案为：13
-． 【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式求最值的方法，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．已知函数1
3(10]()13(01]x f x x x x ⎧-∈-⎪
=+⎨⎪∈⎩，，，，
，，且函数()()g x f x mx m =--在(1
1]，-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________.
【答案】93,20,42⎛⎤⎛⎤
-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦
【解析】将原问题转化为两个函数有且仅有两个不同的交点的问题，则实数m 的值等价于直线的斜率，结合函数的图像研究临界情况即可确定实数m 取值范围. 【详解】
函数()()g x f x mx m =--在(]
1,1-内有且仅有两个不同的零点， 即函数()f x 与函数()1y m x =+在(]
1,1-内有且仅有两个不同的交点，
()1y m x =+表示过点()1,0-，斜率为m 的直线，
绘制函数()f x 的图像如图所示，考查临界情况：
首先考查经过点()1,0-且与1
31
y x =-+相切的直线方程的斜率： 由131
y x =
-+可得21(1)y x '
=-+，
故切点坐标为001,31x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭
，切线的斜率
()2011k x =-+， 切线方程为：()020011
31(1)y x x x x ⎛⎫--=--
⎪++⎝⎭
, 切线过点()1,0-，故()02
00110311(1)x x x ⎛⎫--=--- ⎪++⎝⎭
，解得：01
3x =-， 故切线的斜率
2
194113k =-
=-
⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，
由(1,0),(0,2)K B --可得20
20(1)
KB k --=
=---，
由(1,0),(1,3)K C -可得303
1(1)2
KC k -=
=--，
结合图形可得实数m 取值范围是93,20,42⎛⎤⎛⎤
-
- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦
.
【点睛】
本题主要考查已知函数零点求参数取值范围的方法，数形结合的数学思想，导函数研究函数的切线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
15．已知函数2()sin cos f x x x x = (Ⅰ)求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；
(Ⅱ)在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若
()sin(2)16
f A A π
+-=， 且ABC ∆的面积为b c +的最小值.
【答案】(Ⅰ)2,63ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)首先化简三角函数式，由化简的三角函数式得到函数的单调增区间，然后与[]
0,π进行交集运算可得函数的单调增区间； (Ⅱ)首先化简()216f A sin A π⎛
⎫
+-
= ⎪⎝
⎭
求得∠A 的大小，然后利用面积公式确定bc 的值，最后由基本不等式可得b c +的最小值. 【详解】
(Ⅰ)2
1cos 2sin 2()sin cos 22
x x
f x x x x -==
111sin 2cos 2sin 222262x x x π⎛
⎫=-
-+=-++ ⎪⎝
⎭， 由322,2622x k k π
ππππ⎡⎤+
∈++⎢⎥⎣⎦可得：()2,63x k k k Z ππππ⎡
⎤∈++∈⎢⎥⎣
⎦. 设()2[0,],,6
3A B k k k Z π
ππππ⎡
⎤
==+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
， 则2,63A
B ππ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，故()f x 在[]0,π上的单调递增区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.
(Ⅱ)由()sin 216f A A π⎛
⎫
+-= ⎪⎝
⎭可得：1sin 2sin 21626A A ππ⎛⎫⎛
⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 化简可得：1cos 22A =-，又02A π
<<，解得：3
A π=.
由题意可得：1
sin 2
ABC
S bc A ∆==，解得：8bc =.
b c +≥=b c =时等号成立.
故b c +
的最小值为. 【点睛】
本题主要考查三角函数式的化简，三角函数单调区间的求解，基本不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛，从高一、高二两个年级各抽取10名志愿者参赛。

在规定时间内，他们检索到的图书册数的茎叶图如图所示，规定册数不小于20的为优秀.
(Ⅰ) 从两个年级的参赛志愿者中各抽取两人，求抽取的4人中至少一人优秀的概率； (Ⅱ) 从高一10名志愿者中抽取一人，高二10名志愿者中抽取两人，3人中优秀人数记为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)
107
135
；(2)答案见解析. 【解析】(1)由茎叶图知高一年级有4人优秀，高二年级有2人优秀，利用排列组合公式和对立事件公式求解概率值即可；
(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别计算相应的概率值可得X 的分布列，然后由期望公式计算数学期望即可. 【详解】
(1)由茎叶图知高一年级有4人优秀，高二年级有2人优秀。

记“抽取的4人中至少有一人优秀”为事件A .
则226822*********
()11135135
C C P A C C =-=-
=. (2)X 的所有可能取值为0，1，2，3.
126812*********
(0)450225C C P X C C ====，
121114862812
1010208104
(1)450225C C C C C P X C C +====， 111124286212
1010707
(2)45045
C C C C C P X C C +====，
124212101042
(3)450225
C C P X C C ====，
故随机变量X 的分布列为
X
的数学期望84104724()0123225225452255
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题主要考查古典概型计算公式，离散型随机变量分布列与数学期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．如图,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直， ,//AD CD AB CD ⊥，
1
22
AB AD CD ===,点M 在线段EC 上.
(Ⅰ) 若点M 为EC 的中点，求证：//BM 平面ADEF ； (Ⅱ) 求证：平面BDE ⊥平面BEC ；
(Ⅲ) 当平面BDM 与平面ABF 时，求AM 的长. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
32
. 【解析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量的结论可证得BM ⊥平面ADEF 的法向量，从而可证得线面平行；
(2)分别求得平面BDE ，平面BEC 的法向量，由法向量的数量积为0可证得面面垂直； (3)设[],0,1EM EC λλ=∈，由题意可得点M 的坐标，分别求得两个半平面的法向量，由二面角的余弦值得到关于λ的方程，解方程求得λ的值即可确定AM 的长. 【详解】
(1)∵正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD 为交线，
∴ED ⊥平面ABCD ，由已知得DA ，DE ，DC 两两垂直，
如图建系D -xyz ，可得D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，E (0，0，1)，F (1，0，1).
由M 为C 的中点，知10,1,
2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故11,0,2BM ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭.
易知平面ADEF 的法向量为()0,2,0DC =，
0,BM DC BM DC ⋅=∴⊥，
∵BM ⊄平面ADEF ，∴BM //平面ADEF
.
(2)由(1)知()()()1,1,1,1,1,0,1,1,0BE BC BD =--=-=--， 设平面BDE 的法向量为()111,,m x y z =， 平面BEC 的法向量为()222,,n x y z =，
由111110
0m BE x y z m BD x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩得()1,1,0m =-， 由2222200n BE x y z n BC x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
得()1,1,2n =，
1100m n ⋅=-+=，故平面BDE ⊥平面BEC .
(3)设[],0,1EM EC λλ=∈，设(),,M x y z ，计算可得()0,2,1M λλ-， 则()()1,21,1,1,1,0BM BD λλ=---=--， 设平面BDM 的法向量为()333,,p x y z =，
由()()3333302110p BD x y p BM x y z λλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+-+-=⎪⎩
得21,1,1p λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，
易知平面ABF 的法向量为()1,0,0DA =，
由已知得cos ,p DA 〈〉=
2p DA
p DA
⋅=
=
，
解得12λ=
，此时10,1,2M ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，
11,1,2AM ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则3
12
AM =+=，即AM 的长为32.
【点睛】
本题主要考查利用空间向量证明线面平行的方法，利用空间向量证明面面垂直的方法，立体几何中探索问题的解决方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．设椭圆22
221x y
a b
+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为
B ．已知12AB F =
．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O
的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率． 【答案】（1
）e =
（2）直线l 的斜率为4+
4 【解析】试题分析：（1）设椭圆的右焦点2F 的坐标为(),0c ，由已知12AB F =
，可得2
2
2
3a b c +=，结合222
b a
c =-，可得221
2
c a =，从而可求得椭圆的离心率；（2）
在（1）的基础上，可先利用110F P F B ⋅=及数量积的坐标运算求出P 点的坐标，再求出以线段PB 为直径的圆的方程（圆心坐标和半径），最后设经过原点O 的与该圆相切
的直线l 的方程为y kx =，由圆心到切线的距离等于半径，列方程，解方程即可得求得直线l 的斜率．
（1）设椭圆的右焦点2F 的坐标为(),0c ．由12AB F =
，可得2223a b c
+=，又2
2
2
b a
c =-，则2212c a =，∴椭圆的离心率e =．
（2）由（1）知2
2
2a c =，2
2
b c =，故椭圆方程为22
2212x y c c
+=．设()00,P x y ．由
()1,0F c -，()0,B c ，有()100,FP x c y =+
，()1,F B c c =．由已知，有110F P F B ⋅=，即()000x c c y c ++=．又0c ≠，故有000x y c ++=①
又∵点P 在椭圆上，故22
002212x y c c
+=②
由①和②可得2
00340x cx +=．而点P 不是椭圆的顶点，故043
c
x =-
，代入①得03
c
y =
，即点P 的坐标为
．设圆的圆心为4+
，
，进而圆的半径
．设直线l 的斜率为，依题意，直线l 的方程为
y kx =．由l 与圆相切，可得
，即
，整理得
，解得
．∴直线l 的斜率为
或．
【考点】1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线和圆的方程；3．直线和圆的位置关系．
19．已知单调等比数列{}n a ，首项为12
，其前n 项和是n S ，且331
2a S +，5S ，44
a S +成等差数列，数列{}n
b 满足条件
123
1
(2)n b n
a a a a =
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设1
n n n
c a b =-
，记数列{}n c 的前n 项和是n T . ①求n T ；
②求正整数k ，使得对任意*n N ∈，均有k n T T ≥.
【答案】(1)12n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，(1)n b n n =+；(2)①.1112n n T n =
-+；②.4k =.
【解析】(1)由递推关系首先求得数列{}n a 的公比，然后可得其通项公式，利用数列{}n a 的递推关系结合
123
1
(2)n b n
a a a a =计算可得数列{}n
b 的通项公式；
(2)①.首先整理数列{}n c 的通项公式，然后利用分组求和的方法可得其前n 项和n T ； ②.计算1n n T T +-的值，利用函数增长速度的知识和不等式的解集即可确定k 的值. 【详解】
(1)设1
1n n a a q -=.由已知得53344122S a S a S =
+++，即5341
222
S a S =+， 进而有()543122S S a -=.所以53122
a a =，即2
14q =，则12q =±.
由已知数列{}n a 是单调等比数列，且112
a =，所以取1
2q =.
数列{}n a 的通项公式为12n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
. 123
1(2)n b n
a a a a =，
(1)232
2
22222
2n b n n
n
+∴⨯⨯⨯⨯==，
则(1)n b n n =+.
即数列{}n b 的通项公式为(1)n b n n =+. (2)①.由(1)可得：1111112(1)21n n n n n c a b n n n n ⎛⎫=-
=-=-- ⎪++⎝⎭
， 分组求和可得：1111112112n n n
T n n ⎛⎫=-
--=- ⎪
++⎝⎭. ②由于1
1111111(1)(2)222122(1)(2)
n n n n n n n n T T n n n n ++++++--=--+=++++， 由于12n +比()()12n n ++变化快，所以令10n n T T +->得4n <. 即1234,,,T T T T 递增，而456,,n T T T T 递减。

所以，4T 最大.
即当4k =时，k n T T ≥. 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和的方法，数列中最值问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20．已知函数()sin f x ax b x =+，当3
x
π
=
时，()f x 取得极小值
3
π
（1）求,a b 的值； （2）记()()158
h x x f x ⎡⎤=
-⎣⎦，设1x 是方程()0h x x -=的实数根，若对于()h x 定义域中任意的2x ，3x .当211x x -<且311x x -<时，问是否存在一个最小的正整数M ，使得()()32|h x h x M -≤恒成立，若存在请求出M 的值；若不存在请说明理由. （3）设直线():l y g x =，曲线():S y F x =.若直线l 与曲线S 同时满足下列条件： ①直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；
②对任意x R ∈都有()()g x F x ≥.则称直线l 与曲线S 的“上夹线”. 试证明：直线:2l y x =+是曲线:sin S y ax b x =+的“上夹线”. 【答案】(1)1a =，2b =-；(2)答案见解析；(3)证明见解析.
【解析】(1)由题意可得33f ππ⎛⎫=
⎪⎝⎭'03f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，据此可得,a b 的值，然后验证所得的结果满足题意即可；(2)首先由函数的单调性确定1x 的值，然后求得函数()h x 的最大值和最小值，结合恒成立的条件即可确定M 的值； (3)由题意首先证得直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点，然后令()2g x x =+，()2sin f x x x =-，易证明
()()0g x f x -≥，据此即可证明直线:2l y x =+是曲线:S y ax bsinx =+的“上夹
线”. 【详解】
(1)由已知()'cos f x a b x =+，于是得：10,233
a b a ππ
+=+=- 代入可得：1a =，2b =-.
此时，()2sin f x x x =-.所以()'12f x cosx =-. 当0,
3x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()'0f x <；当,32x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭时，()'0f x >.
所以当3
x π=
时，()f x 取得极小值
3π
-1a =，2b =-符合题意. (2)()sin 24x x h x =+，则()1cos '024x
h x =+
>.所以()h x 单调递增，又()00h =. 1x 为sin 024
x x +=的根，即10x =，也即321,1x x <<.
()()max 1sin1124h x h ∴==+，()()min 1sin1
124
h x h =-=--
.
()()()()32max sin1
11122
h x h x h h ∴-=--=+
<， 所以存在这样最小正整数2M =使得()()32h x h x M -≤恒成立. (3)由()'12cos 1f x x =-=，得 cos 0x =， 当2
x π
=-
时，cos 0x =.
此时12122,2,2
2
y y y y π
π
=-+=-
+=，
所以,222ππ⎛⎫
-
-+ ⎪⎝⎭
是直线l 与曲线S 的一个切点， 当3,cos 02x x π=-=，此时，1212332,2,22
y y y y ππ
=+=+=. 所以,222ππ⎛⎫
-
-+ ⎪⎝⎭
也是直线l 与曲线S 的一个切点， 即直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点，
对任意x R ∈，()()()()22sin 22sin 0g x f x x x x x -=+--=+≥. 即()()g x f x ≥，因此直线:2l y x =+是曲线:sin S y ax b x =+的“上夹线”. 【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。